综合实验二：人口增长模型及其数量预测

综合实验一：人口增长模型及其数量预测

一、实验目的及意义

1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

2.训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；

3.应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模

型；

4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

二、实验内容

1.数学建模的基本方法；

2.查阅资料理解Malthus 人口指数增长模型和Logistic 模型；

3.Matlab 软件中曲线拟合函数的异常情况处理；

4.误差分析与模型检验。

三、实验步骤

1.分析理解Malthus 人口指数增长模型和Logistic 模型；

2.利用Matlab 软件求解上述两个模型；

3.设计数据拟合方法；

4.编写M 文件, 保存文件并运行观察运行结果( 数值或图形) ，并进行误差分析；

5.利用至少两种模型预测人口数量；

6.分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

从 1790 — 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示：

表综 2.1

用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。

提示 1 ：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r 。记时刻t 的人口为x ( t ），（即x ( t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0 ，于是得到如下微分方程：

提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设

r(x)=r(1-x/) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

2010年美国人口预测报告

97自动化乔宇

实验目的：

1．掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法

2．学会用拟合方法解决实际问题

实验内容：

给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。

表1 美国人口统计数据

实验分析：

首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010年的美国人口。利用MA TLAB 软件作出美国人口统计数据的连线图如图1。

图1 美国人口统计数据连线图图2 建模方法1的拟合效果图

建模方法1：

由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x =f (t ), f (t )=e a +bt ，a ,b 为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a ,b 是函数∑=-=

n

i i

i

x t f b a E 1

2

)

)((),(的最小值点。其中x i 是t i 时刻美国的人口数。利用

MATLAB 软件中的曲线拟合程序“curvefit ”，编制的程序如下：

指数函数的函数M ——文件

function f=fun1(a,t) f=exp(a(1)*x+a(2));

用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序

t=1790:10:1990;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(t,x,'*',t,x); a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun1',a0,t,x) ti=1790:5:2020; xi=fun1(a,ti); hold on plot(ti,xi); t1=2010; x1=fun1(a,t1) hold off

在MA TLAB 命令窗口运行该程序，输出结果a = 0.0148 -23.8311；x1 =358.4822

因此，参数a=0.0148, b=-23.8307，拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.4822。但在求解时，出现提示“矩阵接近奇异或尺度不好，结果可能不准确”。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图2。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.4822百万。

建模方法2：

上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x ∞，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x ∞)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t →∞时，静增长率趋于零。

按照这个假设，得到

???

??=-=∞00

)()1(x

t x x x r dt

dx

(1)

这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic 模型）。 在MA TLAB 命令窗口键入

dsolve(‘Dx=r*x*(1-x/c)’,’x(1790)=3.9’) 输出： ans=

c/(1+1/39*exp(-r*t)*exp(1790*r)*(10*c-39)) 其中c=x ∞。

因此，人口的变化规律为：

r t e

x x x )1790(3910

)1(1--∞∞

-+=

(2) 利用MATLAB 软件中的“curvefit ”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(2)中的待定参数r 和x ∞。编制的MA TLAB 程序如下：

定义函数(2)的函数M ——文件

function f=fun3(a,t)

f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2)));

用该函数来对所给的美国人口数据作最小二乘拟合，并作出图形观察拟合效果，编制的M ——文件如下：

x=1790:10:1990;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun3',a0,x,y) xi=1790:5:2020; yi=fun3(a,xi); hold on plot(xi,yi); x1=2010; y1=fun3(a,x1) hold off

图3 a0=[0.001,1]时的拟合效果图 图4 a0=[300,1.2]时的拟合效果图

运行该程序输出a =[140.8449 0.0389],y1 =139.8928,并伴随有提示说“超过了最大迭代次数”。即(2)中的r=0.0389, x∞=140.8449，拟合效果见图3。从图形看出，拟合效果不好，特别是越过拐点之后，在1950年之后，与实际情况的偏离越来越大，转折太早，导致过早进入人口饱和期，极限人口x∞=140.8449也太小，不合实际。其原因何在呢？是否是a的初值取得不好，导致迭代次数很多，超过了预设值，都还没收敛到最优解？改变a的初值，取a0=[300, 1.2]时，误差更大，拟合曲线紧贴着横轴，近似于一条直线，如图4。

再将r（即a(2)）的初值取为小于1的数，比如取a=[200, 0.1]时，得到

a =[311.9557 0.0280], y1 =267.1959，即(2)中的r=0.0280, x∞=311.9557，2010年美国的人口预计为267.1959百万人。这个结果还比较合理，当t→∞时，静增长率趋于零，人口数趋于311.9557百万人，即极限人口x∞=311.9557百万。拟合效果见图5，效果比前面两种情形都好。

图5 a0=[200,0.1]时的拟合效果

只要取初值a0(2)在0与1之间，a0(1)大于150小于2000，结果均相同，因此，拟合中使用的优化方法对该问题来说是比较稳定的。

建模方法3：

从图5 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此，把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。将拟合准则改为：

∑∑

+

=

=-

+

-

=

21

12

1

2)

)

(

(

)

)

(

(

)

(

min

n

i

i i

n

i

i

i

x

t

f

w

x

t

f

a

E（3）

其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。

实现这些功能的MA TLAB程序如下：

先编写一个函数M——文件，以定义优化问题(3)中的目标函数。

function f=fun5(a)

n=16;w=2;

x=1790:10:1990;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ...

92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4];

y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);

f=[fun3(a,x1),w*fun3(a,x2)]-[y1,w*y2];

主程序：

t=1790:10:1990;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ...

92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4];

plot(t,x,'*',t,x);a0=[300,0.03];

a=leastsq('fun5',a0)

ti=1790:5:1990;

xi=fun3(a,ti);

hold on;

plot(ti,xi,t,x,'*');

x1=fun3(a,2010)

hold off

1)先取n=17,w=1.5,运行上述程序，得到结果a = [324.0666, 0.0276];

x1 = 272.7996.

2) 再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果a=[345.1439,0.0270];x1=280.0539.

我们把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中，很容易作出比较，见图6.第二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合，因此，对将来人口的预测应该更好。

图6 建模方法3的拟合效果比较

实验结果：

经过不断修改模型，调整参数，我们得到了一个较满意的结果，人口增长率r=0.0270,极限人口x =345.1439(百万)，并预测2010年美国人口为280.0539百万。