高中数学曲线与方程

9.9 曲线与方程

一、填空题

1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是________． 解析 (x －y )2

＋(xy －1)2

＝0???

?

x －y ＝0，

xy －1＝0，

∴???

x ＝1，y ＝1

或??

?

x ＝－1，y ＝－1.

故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－

x －

2

表示的曲线是________．

解析

原方程等价于???

|y |－1≥01－(x －1)2

≥0

(|y |－1)2＝1－(x －1)2

???? |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2

＝1

????

y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或???

y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 答案 两个半圆

3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______．

解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28y x =. 答案 28y x =

4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →得???

x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy

(λ＞0)，

∴???

x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y .

由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆

5.设P 为双曲线2214

x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 .

解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得

答案 2241x y -=

6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把

纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点

P 的轨迹是________．

解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆

7．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2

16

＝1(x >3)．

答案

x 29

－

y 216

＝1(x >3)

8．对于曲线C ：

x 24－k

＋

y 2k －1

＝1，给出下面四个命题：

①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜5

2.

其中所有正确命题的序号为________．

解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当???

4－k>0，

k －1>0，

4－k≠k－1，

即???

??

k<4，k>1，k≠52

时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线． 答案 ③④

9．在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ? ????－a 2，0，C ? ????

a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝1

2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．

解析 由正弦定理得

AB 2R －AC 2R ＝12×BC 2R

， ∴AB －AC ＝1

2BC ，由双曲线的定义知动点A 的轨迹为双曲线右支．

答案

16x 2

a 2－16y 2

3a

2＝1(x >0且y ≠0) 10．已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O

为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．

解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2

→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝? ????－x 2，－y 2，

即P 点坐标为?

????－x

2

，－y 2，又P 在椭圆上，

则有? ????－x 22a 2＋? ??

?

?－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b

2＝1(a ＞b ＞0)．

答案 x 24a 2＋y 2

4b 2

＝1(a ＞b ＞0)

11．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．

解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

?????

2r 2

－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，

即???

r 2

－d 21＝169，

r 2

－d 22＝144，

消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即

x －2y ＋2

13

－

x －3y ＋2

13

＝25.

化简得(x ＋1)2－y 2＝65.

此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝65

12．直线x a ＋y

2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．

解析 (参数法)设直线x a ＋y

2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B

中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a

2

，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，

x ≠1.

答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)

13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一

条直线的平面内的轨迹是________．

解析 在边长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 之间的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，

∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．

答案 双曲线 二、解答题

14.求过直线x-2y+4=0和圆2224x y x y ++-+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积.

解析 设所求圆的方程是22241x y x y ++-++(2x y λ-+4)=0, 即22(2)2(2)140x y x y λλλ+++-+++=. (1)因为圆过原点,所以140λ+=,即14λ=-.

故所求圆的方程为2277042

x y x y ++-=.

(2)将圆系方程化为标准式,有:

2222524()(2)()2455

x y λλλ+++--=++.

当其半径最小时,圆的面积最小,此时25

λ=-为所求.

故满足条件的圆的方程是22844()()555

x y ++-=.

点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 15．如图，椭圆C ：

x 216

＋y 2

4

＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．

(1)求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；

(2)过点B 的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于点R 、S (不同于点B )，且它们的斜率

k 1，k 2满足k 1k 2＝－14

，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标． 解析 (1)由题意，得A (4,0)，B (0,2)，D (0，－2)，E (2,0)，P (4,1)． 所以直线DE 的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－1

4

x ＋2.

解方程组?

??

y ＝x －2，

y ＝－1

4x ＋2，

得???

??

x ＝16

5，y ＝65.

所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为? ????

165，65.

因为? ????165216＋? ????6524

＝1，

所以点? ????

165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．

即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2)设直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.

解方程组???

y ＝k 1x ＋2，

x 2

16＋y

2

4＝1，

得???

x ＝0，y ＝2

或???

??

x ＝－16k

11＋4k 2

1

，y ＝2－8k 211＋4k 21

，

所以点R 的坐标为? ??

??

－161＋4k 21，2－8k 211＋4k 21.

因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－1

4k 1.

直线BS 的方程为y ＝－

1

4k 1

x ＋2. 解方程组???

??

y ＝－1

4k

1

x ＋2，x 2

16＋y 2

4＝1，

得???

x ＝0，

y ＝2

或???

??

x ＝

16k 11＋4k 2

1，y ＝8k 21

－21＋4k 21

.

所以点S 的坐标为? ????

16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21.

所以点R ，S 关于坐标原点O 对称． 故R ，O ，S 三点共线，即直线RS 过定点O .

16．已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A 、B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为2

2

的椭圆，其左焦点为F .若点P 是圆O 上的一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q .

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；

(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与点A 、B 重合)，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析 (1)因为a ＝2，e ＝

2

2

，所以c ＝1. 则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 2

2

＋y 2＝1.

(2)因为P (1,1)，所以k PF ＝1

2，所以k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x .

又椭圆的左准线方程为x ＝－2，所以点Q (－2,4)．

所以k PQ ＝－1.又k OP ＝1，所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切．

(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切． 证明如下：

设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±1)，则y 20＝2－x 2

0，所以k PF ＝

y 0x 0＋1

，k OQ ＝－

x 0＋1

y 0

. 所以直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1

y 0x .

所以点Q ?

?

???－2，

2x 0＋2y 0. 所以k PQ ＝

y 0－

2x 0＋2

y 0

x 0＋2

＝

y 20－x 0＋x 0＋

y 0＝－x 20－2x 0

x 0＋y 0＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0

，

所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切．

17．如图，在直角坐标系中，A 、B 、C 三点在x 轴上，原点O 和点B 分别是线段

AB 和AC 的中点，已知AO ＝m (m 为常数)，平面的点P 满足PA ＋PB ＝6m .

(1)试求点P 的轨迹C 1的方程；

(2)若点(x ，y )在曲线C 1上，求证：点? ??

??x

3，y 22一定在某圆C 2上； (3)过点C 作直线l 与圆C 2相交于M 、N 两点，若点N 恰好是线段CM 的中点，试求直线l 的方程．

解析 (1)由题意可得点P 的轨迹C 1是以A 、B 为焦点的椭圆，

且半焦距长c ＝m ，长半轴长a ＝3m ，则C 1的方程为x 29m 2＋y 2

8m 2＝1.

(2)若点(x ，y )在曲线C 1上，则x 29m 2＋y 28m 2＝1.设x 3＝x 0，y

22＝y 0，

则x ＝3x 0，y ＝22y 0.

代入x 29m 2＋y 28m 2＝1，得x 20＋y 20＝m 2

，

所以点? ????x

3，y 22一定在某一圆C 2上． (3)由题意，得C (3m,0)．

设M (x 1，y 1)，则x 21＋y 21＝m 2

.①

因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以N ?

????

x 1＋3m 2，y 12. 代入C 2的方程得?

????x 1＋3m 22＋? ????y 122

＝m 2.② 联立①②，解得x 1＝－m ，y 1＝0. 故直线l 有且只有一条，方程为y ＝0.

18．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0)，B (4,0)，动点P 与点A 、B 连线的斜率之积为－1

4.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C ，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r . ①求圆M 的方程；

②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．

解析 (1)设P (x ，y )，则直线PA 、PB 的斜率分别为

k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4

.

由题意，知y x ＋4·y

x －4＝－14，即x 216＋y 2

4

＝1(x ≠±4)．

所以动点P 的轨迹方程是

x 216

＋y 2

4

＝1(x ≠±4)．

(2)①由题意，得C (0，－2)，A (－4,0)， 所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.

设M (a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a )2

＋(y －2a －3)2

＝r 2

. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2

＝d 2

＋?

??

??3r 22，得a ＝r

2. 所以⊙M 的方程为? ?

???x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.

②假设存在定直线l 与动圆M 均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意．

设直线l ∶y ＝kx ＋b ，

则?????

?k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2

＝r 对任意r ＞0恒成立． 由????

??? ??

??k 2－1r ＋b －3＝r 1＋k 2，

得? ??

??

k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 所以?????

? ????k 2－12

＝1＋k 2

，k －b －

＝0，

b －2

＝0.

解得??

?

k ＝0，

b ＝3

或???

k ＝－43，

b ＝3.

所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．