银行不良贷款问题的数学模型

基于回归分析模型的对银行不良贷款的预测

摘要

本文基于商业银行不良贷款余额进一步增加，不良贷款率攀升的背景而提出的；要解决的问题是为商业银行预测不良贷款额变化趋势，并找出控制不良贷款的方法。基于建设银行现状，对问题展开分析并通过网络等渠道查找相关的数据，对影响银行不良贷款余额的显著因素进行归纳。同时采用多元线性规划和多项式回归相结合的方法建立数学模型，就不良贷款余额与各种因素的关系展开分析。

对于第一问，对“总资产”、“资本充足率”、“货代比”、“存款总额”、“贷款总额”、“利息收入”等六个影响因素及不良贷款率，用回归分析的方法建立模型。先用通过SPSS软件分析其相关程度并排除无关变量，再用MATLAB软件，计算出的相关系数，并进行多元线性回归求得不良贷款额的回归方程，结合“贷款总额”从而对银行未来对不良贷款进行预测。不良贷款率影响因素如图4.1所示：

图1 不良贷款率与各因素的关系

对于第二问，对“业绩增速”、“净息差”与“不良贷款”，采用多元线性回归和多元多项式回归的方法建立数学模型。先用通过SPSS软件分析其相关程度，并通过MATLAB软件绘制散点图。计算出的相关系数，并进行多元多项式回归，并把多元多项式回归转化为多元线性回归，求得不良贷款额率的增长的回归方程，得到了“业绩增速”、“净息差”与“不良贷款”之间的关系。

对于第三问，基于上面两个模型，用控制变量的方法、以及微分的思想方法，以“直”代“曲”，化繁为简，对不良贷款的变化进行预测，并对其进行定量分析。

关键字：商业银行预测不良贷款回归分析相关系数残差分析定量分析

一问题重述

1.1 背景知识

商业银行主要业务之一就是对项目建设、固定资产投资等进行贷款。目前较为突出的的问题是虽然我国银行贷款额平稳增长，但是商业银行普遍存在的比例较高的呆、坏帐和逾期贷款等不良贷款问题，使不良贷款率过高，给银行贷款业务的发展带来较大压力。

1.2 现状分析

截至2014年4月29日晚间，工农中建四大行的一季报出齐。虽然四家银行的业绩增速、净息差变化不尽相同，但是却暴露出了同一个问题——不良贷款余额进一步增加，不良贷款率几乎都在攀升。这也是几乎所有上市银行面临的窘境。在资产质量方面，从一季报可以看出，随着经济结构转型推进，去产能化和去杠杆化等各种因素对包括四大行在内的商业银行的资产质量构成影响。虽然信贷质量总体保持稳定，但四家银行的不良贷款余额都在进一步增加。而不良贷款率仅农行与去年年末持平，其余三家均进一步上升。

1.3 需解决的问题

1.利用网络等渠道收集有关数据资料，建立银行不良贷款的预测模型，并分析模型的误差和可信度。

2.银行的业绩增速、净息差变化与不良贷款的增长之间是否存在联系，试进行实证分析。

3.不良贷款是多方面因素造成的，试通过相关的数据作定量分析，帮银行找出控制不良贷款的途径和办法。

二模型假设

1.假设不良贷款的变化趋势趋于稳定，研究数据以外的其他因素影响不发生偶

然的变化；

2.网络等渠道收集的各类信息真实可靠贴近实际，能反映不良贷款的数据；

3.调查数据年间货币汇率和银行的利率没有重大的变化；

4.假设银行对不良贷款预测的弹性需求趋于线性；

5.本论文不考虑各银行之间的竞争关系。

三符号说明

符号表示意义

N不良贷款额

y不良贷款额率

b回归系数

k

x总资产

1

x资本充足率

2

x存贷比

3

x存款总额

4

x贷款总额

5

x利息收入

6

x净利息差

7

x业绩增速

8

Q残差平方和

Z不良贷款额率的增长

四问题分析

不良贷款，不良贷款亦指非正常贷款或有问题贷款，是指借款人未能按原定的贷款协议按时偿还商业银行的贷款本息，或者已有迹象表明借款人不可能按原定的贷款协议按时偿还商业银行的贷款本息而形成的贷款。然而不良贷款的形成客观上与银行业务的种种方面息息相关。其中银行的“总资产”、“资本充足率”、“存贷比”、“存款总额”、“贷款总额”、“利息收入”等六个方面影响甚重。

就问题一分析，大量的数据与材料表明，造成不良贷款的原因离不开6个关键性的因素：“总资产”、“资本充足率”、“存贷比”、“存款总额”、“贷款总额”、“利息收入”。通过对上述6个变量的数据整合，采取多元线性回归分析预测的

方法建立合适的模型。

对于问题二，通过业绩增速、净息差变化与不良贷款率的增长之间的数据关系，通过绘制直观的散点图并作数据拟合粗略的得到分别对应的关系。然后尝试通过建立多元的线性回归模型及多项式回归模型，然后把两种模型做对比，以直至找到更合理的，并且相关系数大的模型以找到不良贷款与业绩增速和净息差之间的关系，并检验其残差平方和。

对于第三问，通过前两问的分析求解，我们已经得到了对不良贷款额的估计。从所得到的多元函数关系，就可以利用控制这些变量，以达到控制不良贷款的目的，此外，不良贷款是多方面造成的，我们还可以从贷款者的角度分析不良贷款的成因，利用这些信息，帮助银行有效控制不良贷款。

五 模型的建立与求解

5.0 数据处理

由于原数据中“总资产”“ 存款总额”“贷款总额”“利息收入”数值较大及“资本充足率”“存贷比”数值较小，造成有效数字位数不能统一，为了消除各变量数值大小差异的影响，故将数据标准化。对上述几个指标中，以“亿”作为单位的数据将其缩小一百倍，用“百分比”为单位的将其放大一百倍，数据处理后方便计算，该处理并不对模型造成影响。

在控制变量的过程中，为了对各个变量的影响作定量分析，把近年各指标的平均数作为模型变量的稳定值。 5.1.1 基于问题一模型建立

根据散点图分析结果以及各指标的计算公式，可以认为“总资产”、“资本充足率”、“存贷比”、“存款总额”、“贷款总额”、“利息收入”6个因素与“不良贷款额率”有一定的线性关系。建立了上述六个指标与“不良贷款额率”之间的关系，即可用各个指标求出“不良贷款额率”的估计值，然后通过该“不良贷款额率”估计值与“贷款总额”即可预测不良贷款的情况。于是就问题一的模型，先对其进行多元线性回归分析。

多元线性回归的参数估计在要求误差平方和（∑2ε）为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。 建立多元线性回归分析模型为：

()

???=+++++++=2

6655443322110,0σ

εε

N x b x b x b x b x b x b b y

将收集到的独立的观测数据记：

()654321,,,,,,t t t t t t t x x x x x x y ，7,6,5,4,3,2,1=t

可得：

()

???=+++++++=2t 6655443322110,0σεεN x b x b x b x b x b x b b y t t t t t t t t

记：

?????

?

?=7671161111x x x x X ，??????????=71y y Y ， []T 71εεε =，[]T b b b b 610,,, =

该回归模型可转化为：

???=+=),0(72

E N Xb Y σεε

其中7E 为7阶单位矩阵。

5.1.2 基于问题一参数估计和模型求解

对模型中的参数610,b b b 仍用最小二乘法进行估计，即选取估计值j b ∧

，使得当j i b b ∧

=)6,,2,1( =j ，误差平方和 ()

∑∑==----==t

i t t t t i t x b x b b y Q 1

2

661101

2

ε达到最小。为此)6,2,1(,0 ==??j b Q j

，得到()Y X X X b T

T 1-∧=，将∧b 代回原模型得

到y 的估计值。

而这组数据的拟合值∧∧=b X Y ，拟合误差∧

-=Y Y e 称为残差，可作为随机变

量ε的估计。而()∑∑==----==t

i t t t t

i t x b x b b y Q 1

2

661101

2 ε称为残差平方和，即

??

? ??∧b Q 。 用MATLAB 软件及SPSS 软件对上述模型进行分析求解，得到以下结果：

用MATLAB 软件绘制不良贷款率与各相关变量的散点图

图1 不良贷款率与各相关变量的散点图

输入数据到SPSS ，找出6个数据中应排除的变量5x ，

图2 SPSS 对无关变量的分析结果图

使用MATLAB 软件对关于排除5x 后的回归方程进一步求解，得到：

=0b 3.4601，=1b 0.2691，=2b 0.4448，=3b 0.8803，=4b -0.7720，=6b 3.0482

[][][][][][]?????????

?

?------9327.15,8364.95875.5,135.74250.48,6645.466851.91,7954.908067.5,2685.53608.33,4406.26643

210的置信区间：

的置信区间：的置信区间：的置信区间：

的置信区间：

的置信区间：

b b b b b b 则该多元线性回归方程为：

643210482.37720.0-8803.04448.02691.04601.3x x x x x y ++++= ①

则不良贷款的估计值即为：

y x N 5= ②

5.2.1 基于问题二的模型建立

根据散点图分析结果以及借助SPSS 软件对三组数据的分析结果，可以认为“净利息差”、 “业绩增速”与“不良贷款额率的增长”有较强的相关关系。对于其间的相关关系，暂时不能作断定。于是就问题二的，我们试对其建立多元线性回归模型和多元二项式回归模型，观察两个模型各自的相关性，若有相关关系满足要求，则在这两个模型中选择相关性更强的一个作为问题二的模型。 将收集到的独立的观测数据记：

()87,,t t t x x z ，7,6,5,4,3,2,1=t

(1)建立多元线性回归分析模型为：

()

?

??=+++=2

81710,0σεε

N x b x b b z 可得：

()???=+++=2

t

82710,0σεεN x b x b b z t t t t 记：

?????

?

?=7877181711x x

x x X

，????

?

?????=71z z Z ， []T 71εεε =，[]T b b b b 210,,=

该回归模型可转化为：

???=+=)

,0(72

E N Xb Z σεε

其中7E 为7阶单位矩阵。

(2)建立多元多项式回归分析模型为：

()

???=++++++=287528427382710,0σεεN x x b x b x b x b x b b z

可得：

()

???=++++++=2t 87528427382710,0σεεN x x b x b x b x b x b b z t

t t t t t t t

记：

?????

?

?=7877181711x x

x x X

，????

?

?????=71z z Z ， []T 71εεε =，[]T b b b b b b b 543210,,,,,=

该回归模型可转化为：

???=+=),0(72

E N Xb Z σεε

其中7E 为7阶单位矩阵。

5.2.2 基于问题二的参数估计和模型求解

对7x ，8x ，Z 的数据，先输入SPSS 软件，进行相关分析，分析结果表示两变量与Z 的相关度都较高，没有需要剔除的无关变量。

对两个模型中的参数k b b b 10,仍用最小二乘法进行估计，即选取估计值j b ∧

，使得当j i b b ∧

=时，误差平方和 ()∑∑==----==t

i t t t t i t x b x b b y Q 1

2

661101

2

ε达到最

小。为此)6,2,1(,0 ==??j b Q j

。得到()Y X X X b T

T 1-∧= 将∧b 代回原模型得到y

的估计值。

而这组数据的拟合值∧∧=b X Y ，拟合误差∧

-=Y Y e 称为残差，可作为随机变量ε的估计。而()∑∑==----==t

i t t t t

i t x b x b b y Q 1

2

661101

2

ε称为残差平方和，即

??

? ??∧b Q 。 用MATLAB 软件及SPSS 软件对上述模型进行分析求解，得到以下结果： 用MATLAB 软件绘制7x ，8x ，Z ，2

7x ，2

8x 的散点图：

图3 7x ，8x ，Z ，2

7x ，2

8x 的散点图

借助SPSS 软件分析7x ，8x 与Z 之间的相关程度，相关程度较高。 使用MATLAB 软件回归方程进一步求解： (1)对模型进行多元线性回归，得到：

=0b -1.4788，=1b 0.6176，=2b -0.0212

[][][]???

??0146.0,0571.0-3741.2,1388.1-6785.2,6361.5-2

10的置信区间：的置信区间：

的置信区间：

b b b 复相关系数=2R 0.4184，由此得出该模型复相关系数较小，表明要素或变量之间的线性相关密切程度较低，故将该模型舍弃。 (2)将多元多项式回归模型转化为多元线性回归模型，得到

=0b -36.2486，=1b 26.5886，=2b -0.0639，=3b -4.9100，=4b -0.0007，=5b 0.0342

[][][][][][]?????????

?

?------3893.2,3208.20271.0,0286.09595.61,7795.710572.5,1850.51168.341,9396.2873330.340,8302.412543

210的置信区间：

的置信区间：的置信区间：的置信区间：

的置信区间：

的置信区间：b b b b b b 则该多元线性回归方程为：

872

82787870342.00007.0-9100.4-0639.0-5886.262486.36-),(g x x x x x x x x ++= ③ 则不良贷款额率的增长的估计值即为：

),(g Z 87x x = ④

5.3.1 基于问题三的模型建立

结合上述两个模型，可以对不良贷款进行有效的预测和控制。在函数模型的弯曲变化中，用微分的思想方法，化简模型，以研究在较稳定、变化范围较小的情况下的不良贷款额的变化趋势以及变化量。

(1)结合问题一模型， “总资产”、“资本充足率”、“存贷比”、“存款总额”、“贷款总额”、“利息收入”，这六个变量中，回归后只有4x （即存款总额）的系数为负。在保证其他变量一定和市场不发生波动的情况下，存款总额4x 与不良贷款率Y 呈负相关，提高存款总额，就可以降低不良贷款率，以致减少不良贷款余额。基于两者之间的关系，可就“存款总额”对“不良贷款额”的影响作定量分析。

S1.将除去4x 外各指标的稳定值代回回归结果y ，得到各指标趋于稳定时的线性回归结果：

44*x b c y +=；

S2.代入4x 的稳定值*4x 与稳定值加一个单位的值1*4+x ，比较*

4*x y 与1

*

*4+x y 的大

小，得到它们的差

*

4*4*

1

*

x x y y -+；

S3.得到在较稳定情况下定量分析的4x 对y 的影响，结合稳定情况的贷款总额，总结市场波动不大的情况下“存款总额”对“不良贷款额”的影响的定量分析。 (2)结合问题二的模型，“净利息差”、 “业绩增速”与“不良贷款额率的增长”之间回归得到一个二元多项式函数，对这个函数用控制变量的思想，分别对7x ，

8x 求偏导数，得到两者的偏导数，即可以对“净利息差”、 “业绩增速”对“不

良贷款率的增长”的在市场较稳定的情况下的影响作定量分析。 S1.分别求出),(87x x g 对7x ，8x 的偏导数

787),(x x x g ??，8

87)

,(x x x g ??，并分别利用7x ，8x 的稳定值分析),(87x x g 在稳定值附近的单调性；

S2.分别代入),(87x x g 的*7x ，*8x 稳定值，并分别研究*7x ，*8x 每增加一个单位后，对*87),(x x g 的变化情况；

S3.得到在较稳定情况下定量分析的7x ，8x 对),(87x x g 的影响，总结市场波动不大的情况下，“净利息差”、 “业绩增速”对“不良贷款额率的增长”的影响，结合较稳定情况下的“不良贷款率”与“贷款总额”，得到“净利息差”、 “业绩增速”对“不良贷款额”的影响的定量分析。 5.3.2 基于问题三模型的定量分析

六 模型的检验

6.1 基于问题一模型检验

（1）=2R 0.9968 ，在多元线性回归中2R 是y 与x 复的相关系数，说明了该模型变量间的线性程度非常高，同时反映了该模型的准确性与科学性

（2）=2s 0.0080，该模型的残差的方差的和，把2s 与回归变量做比较，说明了该模型的因变量变异的程度较小，也反映出该模型的准确性。图4为残差分析图

图4 问题一多元线性回归残差分析图

6.2 基于问题二的模型检验

（1）=2R 0.8529 ，在多元线性回归中2R 是y 与x 复的相关系数，说明了该模型变量间的线性程度非常高，同时反映了该模型的准确性与科学性

（2）=2s 0.0763，该模型的残差的方差的和，把2s 与回归变量做比较，说明了该模型的因变量变异的程度较小，也反映出该模型的准确性。图5为残差分析图

图5 问题二多元多项式回归残差分析图

七模型评价、推广与改进

优点

从网络等渠道得到各银行各方面各参数较为准确和合理的数据，运用了MATLAB、SPSS等软件进行了分析和统计，采用了多元线性回归和二元多项式回归等模型对问题进行求解。本模型通过对“总资产”、“资本充足率”、“货代比”、“存款总额”、“贷款总额”等各个影响不良贷款的因素进行处理和规划，较为准确的对银行不良贷款进行预测。从“业绩增长率”、“净息差”对不良贷款余额的关系中对银行在处理和控制不良贷款余额时提供了相对可信的意见和参考。综上所述，该模型一定程度上推广性相对较强，准确率较高。

缺点

本模型仅仅对银行产生不良贷款的重要因素进行分析和求解，选择性的忽略了相关程度比较低的参数。该数学模型的确定建立在银行业绩发展比较稳定的前提下，难以对来自社会、环境、政府决策等方面带来的影响进行预测和估计。另外在数据查找和统计方面仅仅对年度总体数据的变化进行求解，难免对各年度各季度的预测细致致志。

改进方法

目前为止，我们进行的都是多元线性回归(multiple linear regression)。举个例子，若对w i d g e t 的需求是价格(2X )、消费者收入(3X )以及竞争产品价格(4X )的函数的话，那么，我们写出推广的需求函数：

4433221)(X B X B X B B Y E +++=

即),,()(432i i i X X X Y Y E = ⑤

这就是多元线性回归的一个例子。这个回归方程中有不止一个的自变量或解释变量用以解释应变量的行为。该模型表明：对w i d g e t 需求量的条件均值是价格、消费者收入及竞争产品价格的线性函数。单个消费者的需求函数(即随机的总体回归函数)为：

i i i i i i u Y E u X B X B X B B Y +=++++=)(4433221 ⑥

式(5-11)表明：由于随机误差项i u 的存在，个人需求量不同于群体的平均需求量。正如前面讲过的，即使在多元回归分析中，也需引进误差项，因为我们不能把所有可能影响需求量的因素都考虑进去。

注意：式⑤和式⑥都是参数线性的，因此，它们都是线性回归模型。而进入模型的解释变量本身不需要是线性的。不过在widget 一例中，却是线性的。

八 参考文献

[1]赵静,但琦.数学建模与数学实验（第3版）[M].北京:高等教育出版社,2008. [2]陈光亭,裘哲勇.数学建模[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]秦慧群,钟茜.基于回归分析模型的不良贷款的预测与关联度分析[J].时代金融,2013,06:209-210.

[4]吴珊.基于多元回归分析的我国某商业银行的不良贷款研究[J].商,2013,10:119.

附录1 中国建设银行相关数据

披露期总资产

(亿)

资本充

足率%

存贷

比%

存款总额

(亿)

贷款总额

(亿)

利息收

入(亿)

不良贷款

额（亿）

2007年年度65981.77 12.58 61.27 53403.16 31832.29 2848.23 827.64 2008年年度75554.52 12.16 59.5 63759.15 36835.75 3565 814.07 2009年年度96233.55 11.7 60.24 80013.23 46929.47 3394.63 703.94 2010年年度108103.17 12.68 62.47 90753.69 55260.26 3777.83 629.97 2011年年度122818.34 13.68 65.05 99874.5 63251.94 4822.47 689.45 2012年年度139728.28 14.32 66.23 113430.79 73098.79 6032.41 723.68 2013年年度145218.21 13.34 70.28 116907.2 85900.57 6462.53 852.64

披露期不良贷款额

率%

不良贷款额

率的增长%

净利息

差%

业绩增速%

2007年年度 2.6 -0.69 3.07 49.08

2008年年度 2.21 -0.39 3.1 34.10

2009年年度 1.5 -0.71 2.41 15.29

2010年年度 1.14 -0.36 2.49 26.31

2011年年度 1.09 -0.05 2.7 25.52

2012年年度0.99 -0.1 2.75 14.13

2013年年度0.99 0 2.56 11.36

注：数据采自和讯网(https://www.360docs.net/doc/a73533299.html,/),2014.7.22

2 问题一的程序

定义数组：

x1=[145218.21 139728.28 122818.34 108103.17 96233.55 75554.52 65981.77]; x2=[13.34 14.32 13.68 12.68 11.7 12.16 12.58];

x3=[70.28 66.23 65.05 62.47 60.24 59.5 61.27];

x4=[116907.2 113430.79 99874.5 90753.69 80013.23 63759.15 53403.16];

x5=[85900.57 73098.79 63251.94 55260.26 46929.47 36835.75 31832.29];

x6=[6462.53 6032.41 4822.47 3777.83 3394.63 3565 2848.23];

y=[0.99 0.99 1.09 1.14 1.5 2.21 2.6];

Y=[y'];

绘制散点图MATLAB程序：

subplot(2,3,1);

plot(x1,Y,'*') %绘制x1与Y的散点图

hold on

subplot(2,3,2);

plot(x2,Y,'*') %绘制x2与Y的散点图

hold on

subplot(2,3,3)

plot(x3,Y,'*') %绘制x3与Y的散点图

hold on

subplot(2,3,4);

plot(x4,Y,'*') %绘制x4与Y的散点图

hold on

subplot(2,3,5);

plot(x5,Y,'*') %绘制x5与Y的散点图

hold on

subplot(2,3,6)

plot(x6,Y,'*') %绘制x6与Y的散点图

线性回归分析MATLAB程序:

X=[ones(7,1) x1'*0.0001 x2'*0.01 x3'*0.01 x4'*0.0001 x6'*0.0001]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) %进行多元线性回归

rcoplot(r,rint) %画残差分析图

3 问题二的程序

定义数组：

x7=[3.07 3.1 2.41 2.49 2.7 2.75 2.56]';

x8=[49.08 34.10 15.29 26.31 25.52 14.13 11.36]';

Z=[-0.69 -0.39 -0.71 -0.36 -0.05 -0.1 0]';

绘制散点图MATLAB程序：

subplot(2,2,1)

plot(x7,Z,'*') %绘制x7与Z的散点图

hold on

subplot(2,2,2)

plot(x8,Z,'*') %绘制x8与Z的散点图

subplot(2,2,3)

plot(x7.^2,Z,'*') %绘制x7.^2与Z的散点图

hold on

subplot(2,2,4)

plot(x8.^2,Z,'*') %绘制x8.^2与Z的散点图

线性回归分析MATLAB程序:

X=[ones(7,1) x7 x8];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Z,X) %进行多元线性回归

rcoplot(r,rint) %画残差分析图

多项式回归分析MATLAB程序:

X=[ones(7,1) x7 x8 x7.^2 x8.^2 x7.*x8];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Z,X) %进行多元多项式回归rcoplot(r,rint) %画残差分析图