指数函数应用举例
指数函数应用举例
明确目标
指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。
合作交流
例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到亿元）
例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到）
探究展示
由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1
≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0 例3 服用某种感冒药,每次服用的药物含量为,随着时间的变化，体内的药物含量为其中以小时为单位。问服药4小时后，体内药物的含量为多少8小时后，体内药物的含量为多少 拓展训练1我国工农业总平均值计划从2000年到2020年翻两番，设平均增长率为ｘ则（） A ()19 1x +=4 B ()20 1x +=3 C ()20 1x +=2 D ()20 1x +=4 2一种产品的年产量原来是ａ，计划使年产量平均每年比上一年增加ｐ，则年产量ｙ随着年数ｘ变化的关系为 3某市2004年有常住人口54万，如果人口按每年％的增长率增长，那么2010年该市常住人口约为多少万人（精确到万） 4某放射性物质，每经过一年残留量是原来的％，每年的衰变速度不变，问100g这样的物质，经过8年衰变还剩下多少克（精确到） 5某种细菌在培养过程中，每一小时分裂一次(一个分裂成两个)，经过5小时后，这种细菌可由一个繁殖成多少个 指数函数第一课时教案 一．教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念，图像和性质； ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质； ③指数函数性质的简单应用； ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法 师生之间，学生与学生之间合作与交流，逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的学习兴趣，体会指数函数是一种重要的函数模型，并且由广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。 二．教学重点 1. 指数函数的概念的理解； 2. 指数函数的图像和性质。 三．教学难点 底数a 对函数值变化的影响。 四．教学过程 1. 以生活实例引入新课 材料一：一把一米长的尺子第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。 （学生思考，老师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中的有效信息，并简单板书。） 材料二：(细胞分裂问题)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ （方法同上） 从问题的解决回到数学问题：比较关系式：x y )2 1 (=，x y 2=有何异同？ （学生讨论，老师及时总结得到如下结论） 在x y ) 2 1(=和x y 2=中，每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应，因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数，且函数形式相同，解析式的右边都是指数形式， 且自变量都在指数位置上。 由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴．指数函数的概念 一般的，形如x a y =的函数叫做指数函数。 （其中x 是自变量，a 称为指数函数的底。） ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别？ 指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像 对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3. 指数函数教学设计 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 《指数函数》教学设计 三、目标分析 １．知识技能目标 掌握指数函数的概念、图象和性质。 ２．过程与方法目标 通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。 ３．情感、价值观目标 让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。 难点： 1、对于1>a 和10<0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块； ·本篇课文所需课时为2课时，90分钟，本节课是第一课时； ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后，通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义，理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法 ①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性； ③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣； 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学，激发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年） 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么？ 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)2 1 1 1( +=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 变式训练一：已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像； 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 课题：指数函数的实际应用（二） ——金融投资理财应用 授课人：马欣 授课时数：1课时 授课班级：经贸14级1班 一、教学目标： 知识与技能：理解利率、年化利率、保险理财、余额宝、P2P理财等金融知识；了解指数型函数模型，会将金融实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从介绍金融投资理财知识开始，通过个人金融行为的实际问题，理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合指数函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）知识准备： 百度百科： 1、利率表示一定时期内利息量与本金的比率，通常用百分比表示，按年计算则称为年利率。其计算公式是：利息率= 利息量/ （本金x时间）×100%。加上x100%是为了将数字切换成百分率。 2、年化利率：年化利率是通过产品的固有收益率折现到全年的利率。 3、理财保险：通过保险进行理财，是指通过购买保险对资金进行合理安排和 规划，防范和避免因疾病或灾难而带来的财务困难，同时可以使资产获得理想的保值和增值。 4、余额宝是支付宝打造的余额增值服务。把钱转入余额宝即购买了由天弘基 金提供的余额宝货币基金，可获得收益。余额宝内的资金还能随时用于网购支付，灵活提取。特点：把钱转入余额宝，可以获得一定的收益。支持支付宝账户余额支付、储蓄卡快捷支付（含卡通）的资金转入。不收取任何手续费。通过“余额宝”，用户存留在支付宝的资金不仅能拿到“利息”，而且和银行活期存款利息相比收益更高。 5、P2P理财是指以公司为中介机构，把借贷双方对接起来实现各自的借贷需求。借款方可以是无抵押贷款或是有抵押贷款，而中介一般是收取双方或单方的手续费为盈利目的或者是赚取一定息差为盈利目的的新型理财模式。 （一）银行个人存款 例1：以银行整存整取2年为例，年利率为2.5%，存入1万元，2年后可取出多少钱？利息是多少？ 本息：10506 ?元 100002≈ + %) 5.2 1( 利息：10506-10000=506元 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域。 （二）余额宝 例2：2015年10月18日，余额宝公布的年化利率为2.975%，如果你在余额宝转入1万元，并且一直不使用这笔金额。 （1）试建立余额宝帐户资金年增长模型的数学解析式； （2）2年后，你在余额宝的资金增长为多少元？ 解：（1）x ? = 10000+ .2 y%) 1( 975 （2）当2 x时，10604 = ? = y元 %) + 975 100002≈ .2 1( （三）分红型保险（以平安鑫祥两全保险为例） 例3：某35岁男性，投保平安鑫祥两全保险（分红型），基本保险金额5 函数的应用举例 教学目标 1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题． (1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义． (2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题． (3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题． 2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值． 3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解． 教学建议 教材分析 （1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出 现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点． （2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识． 教法建议 （1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要． （2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行． 《指数函数及其性质》教学设计 感受指数函数的图象及其性质，深化学生数形结合的思维习惯。 五、教学重点及难点 重点：指数函数的概念、图像、性质 难点：指数函数性质的应用 六、教学过程 教师活动预设学生活动设计意图 一导入 阅读材料，思考以下问题： 1、如材料所说，将你现在的能力视作1， 若每天进步一点，1.01=1+0.01，,7天 后你的能力为多少？30天呢？x天 呢？设经过x天后你的能力为y，求 y与x的关系式 2、将你现在的能力视作1，若每天退步 一点，0.99=1-0.01,7天后你的能力为 多少？30天呢？x天呢？设经过x天 后你的能力为y，求y与x的关系式 3、问题1、2中两个关系式是不是函 数？有什么共同特点？阅读材料：1.01的365次方 1.01=1+0.01，也就是每天进 步一点，1.01的365次方也就是说 你每天进步一点，一年以后，你将 进步很大，远远大于“1”； 1是指原地踏步，一年以后你 还是原地踏步，还是那个“1”； 0.99=1-0.01，也就是说你每天 退步一点点，你将在一年以后，远 远小于“1”，远远被人抛在后面， 将会是“1”事无成。 通过导入激发学生的 学习兴趣，同时从数学 的角度去提醒学生，时 间积累对收获的重要 影响。 二、指数函数的定义 1、一般地，函数y=a x(a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定 义域是R。 2(1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x；自主学习： 阅读课本P54页内容，回答下列问 题 1．指数函数的定义： 2、分析指数函数y＝a x(a＞0，且 a≠1)的结构特征： 从两个实际函数中抽 象出指数函数的模型 课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的 应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．三个数a ＝(－0.3)0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a C [∵a ＝(－0.3)0＝1，b ＝0.32＜0.30＝1，c ＝20.3＞20＝1， ∴c ＞a ＞b .故选C.] 2．若? ????122a ＋13－2a ，∴a >12.] 3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，12 B.? ???? 12，＋∞ C.? ?? ?? 12，1∪(1，＋∞) D.? ?? ??12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3 在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋ 3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是? ? ???－∞，12， 选A.] 4．已知函数f (x )＝3x －? ?? ??13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 A [因为f (x )＝3x －? ????13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－ x －? ????13－x ＝? ?? ??13x －3x ＝－???? ?? 3x －? ????13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝? ????13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －? ?? ??13x 在R 上是增函数．] 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3 D ．32 C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.] 二、填空题 6．已知a ＝ 5－12 ，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． m 《指数函数》教学设计 三、目标分析 １．知识技能目标 掌握指数函数的概念、图象和性质。 ２．过程与方法目标 通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。 ３．情感、价值观目标 让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 ` 二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。 难点： 1、对于1>a 和10<0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 — 3 * a 的范围 a>0，且a≠1 4 定义的形式（对应法则） y=a x 进一步提问：为什么规定定义中10≠>a a 且 将a 如数轴所示分为：0a 五部分进行讨论： ： (1)如果0无意义时当时当x x a x a x ,00,0 (3)如果1=a ，11==x y ，是个常值函数，没有研究的必要； (4)如果10<a 即10≠>a a 且，x 可以是任意实数。 * 因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在10≠>a a 且的前提下，x 可以是任意实数,即指数函数的定义域为R 。 〈三〉指数函数性质 根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表： ~ a>1 0 4.2.2指数函数应用举例 明确目标 指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。 一.合作交流 例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到0.01亿元） 例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的95.27％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？ 二.探究展示 由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1 ≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 4.5.3对数函数的应用举例 教学目的：掌握利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。 教学重点：利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。 教学难点：通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义；根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，根据实际问题建立数学模型。 教学方法：学导式教学法 教学过程： 1.复习 数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．今天我们就一起来探讨几个有关指数函数和对数函数的应用问题。 例1.现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算： (1) 10年后这个城市的人口预计有多少万？ (2) 20年后这个城市的人口预计有多少万？ (3) 在今后20年内，前10年与后10年分别增加了多少万人？ 分析：按年自然增长率为1.2%，计算1年后该城市的人口总数为100+100×1.2% =100（1+1.2%）（万人） 2年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%） （万人） 依此…n 年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）n （万人） 解：（1）10年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）10≈112.67 （万人） （2）20年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）20 ≈126.94（万人） （3）前10年增加的人口为112.67-100=12.67（万人） 后10年增加的人口为126.94-112.67=14.27（万人） 答：… 例2.1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率控制在1.25%。问哪一年人口总数将达到14亿？ 解：设x 年后人口总数将达到14亿，则有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=1214 两边取常用对数可得：x=12 14log 0125.1 ≈12.4 答：13年后即2008年我国人口总数将达到14亿。 例3.库存的某种商品的价值是50万元，如果每年的损耗是4.5%，那么经过多少年，它的价值将为20万元？ 指数函数 教学设计 本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。 一、教材的地位和作用 本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数， 以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 二、教学目标 知识目标：①掌握指数函数的概念； ②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。 能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力； ②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力； 情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际背景； ②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。 三、教学重难点 教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。 指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。 教学难点：弄清楚底数a 对函数图像的影响。 对于底数1>a 和 10< 课题：指数函数实际应用 一、教学目标： 知识与技能：理解生活中出现的“单利”、“复利”的概念；理解指数增长模型和指数减少模型，了解指数型函数模型，会将实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从所熟悉的实际问题开始，通过理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）居里夫人发现的放射性元素：钋和镭 例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物 质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)作出上述函数图像； (3)结合图像，大约经过几年剩留量是原来的一半？ 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函 数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确 定函数的定义域。 （二）世界人口增长状况 例2：统计资料显示,2010年甲乙两个国家的人口情况如下：甲国人口数为75967（千），人口年增长率2.0%；乙国人口数为79832（千），年增长率为1.4%，假设两国的人口增长率不变. （1）试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式； （2）作两国的人口增长曲线图，根据图像你能作出怎样的预测. （三）储蓄问题（单利，复利） 练习：某种储蓄按复利计算，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元。已知：1176 0225 .15= .1 （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式。 （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和。（四）归纳总结： ①指数增长模型 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(+ =表示； N P y) ②指数减少模型 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(- =表示。 N y) P （五）作业：4.2（2）指数函数教案
指数函数及其性质教案
指数函数的性质及应用
指数函数教学设计
指数函数图像与性质的教案
指数函数的教学设计方案
指数函数与对数函数的实际应用.doc
指数函数的性质的应用教案
(完整版)指数函数及其性质教案
指数函数实际应用(2)金融投资理财应用
函数的应用举例教案
指数函数教学设计
2021-2022学年高中数学人教A版必修1作业：2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
《指数函数》教学设计
4.2.2指数函数应用举例
指数函数与对数函数的实际应用
指数对数函数应用举例教案
指数函数 教学设计
指数函数实际应用