初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数
第十六讲 锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：
在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值
一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过
瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰
富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系；
3．同角三角函数间的关系．
平方关系：sin 2α+cos 2α=1；
商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝
135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．
思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=
135=AC CD ，tanB=2=BD
CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证
明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==
； （2）R C
c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )
A ．32+
B ．32-23-
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥
AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，
(1)求证：AC ＝BD ；
(2)若sinC=13
12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC=AC
AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．
【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．
(1)求实数p 、q 应满足的条件；
(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B
的正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，
建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如
果cos α>2
1 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ． 2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB 13
5，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．
4．化简
(1)263tan 27tan 22-+ = ．
(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下
表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A ．甲的最高
B ．丙的最高
C ．乙的最低
D ．丙的最低
6．已知 sin αcos α=8
1，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( ) A ．
23 B ．2
3- C ．43 D ．43- 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )
A ．3
B ．32
C ． 23
D ．4
3 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=5
1，则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ． 1
D ．22
9．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的
值．
10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=
43，求AE 的长．
11．若0°<α<45°，且sin αcon α=
16
73，则sin α= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那
么α的取值范围是 ．
13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．
14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( )
A ．61
B ．5
1 C ．9
2 D ．10
3 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是
( )
A ．2
B ．2
3 C ．1 D ．21 16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=2
3，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．
29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．
19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．
(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 π
(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．
参考答案
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
2．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴BD=10cm（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义 锐角三角函数 锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。 具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。在用大写 字母表示角度时，一般省略“∠”符号。 在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知 ∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5. 另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。 解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。因此，△ABE和△DFA是全等三角形。 接下来，求sin∠EDF的值。由于∠BAC=45°，所以 ∠AED=45°。由于△ABE和△DFA全等，所以 ∠XXX∠BAE=45°。因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2. 例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求 △ABC面积（结果可保留根号）。 解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。根据三角函数的定义，可以得到：
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数
第十六讲 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论： 在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值 一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过 瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰 富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证 明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32-23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥ AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题 1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（） A．√10 2B．√15 3 C．√6 4 D．√10 4 2．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=3 5,那么tanB=() A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（） A．sinA=√3 2B．tanA=12C．cosB=√3 2 D．tanB=√3 4．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（） A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（） A．2海里B．2sin55°海里
C．2cos55°海里D．2tan55°海里 6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1 cos2α ，正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（） A．1 1−sinαB． 1 1+sinαC． 1 1−cosα D．1 1+cosα 8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）
浙教版初中数学九年级锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 . 同理sin B b B c ∠ == 的对边 斜边 ；cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边 ；tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边 ． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的 记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 “tanAEF ”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在 0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． C a b
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重 合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题． 【详解】 解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°， 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ，
故选：A ． 【点睛】 本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A 2 B 22 C 42 D 32 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?DE 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45? ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60? ∴BD=33AD=263 ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°． 在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD ?DE=222242 故选：C 【点睛】
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数 我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、 c ，则有：sin cos a A B c = =，cos sin b A B c ==，tan a A b =，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系 由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ． 因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换． 例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1 sin 2 A =，BD ＝2，求BC 的长． 解：由于∠A ＋∠B ＝90°， 所以1 cos sin(90)sin 2 B B A =-==． 在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以21 2BC =． 所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c = ，cos b A c =， 所以22222 2 222 sin cos a b a b A A c c c ++=+=（sin 2A 、cos 2 A 分别表示sin A 、cos A 的平方）． 又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2， 所以sin 2 A +cos 2 A =2 2c c =1． 应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题16 锐角三角函数(教师版)
人教版备考2023中考数学二轮复习专题16 锐角三角函数 一、单选题 1．（2021九上·潍城期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=√3 2 ，tanB=√3，则△ABC的形状是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念 【解析】【解答】解：∵sinA=√3 2 ，tanB=√3， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 故答案为：C 【分析】利用特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。 2．（2021九上·乳山期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=√3 2 ，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念 【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=1 2，cosB=√3 2， ∴∠A=30∘，∠B=30∘， ∴∠C=180∘−30∘−30∘=120∘， ∴△ABC是钝角三角形. 故答案为：B. 【分析】利用特殊角的三角形函数值求出∠A=30∘，∠B=30∘，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。 3．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（）
A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 【答案】C 【知识点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图， 在ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴tanB =AC BC =86=43 . 故答案为：C 【分析】利用在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB =AC BC ，代入计算可求出结果. 4．（2022九上·潞城月考）如图，在RtΔABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下 列结论中错误的是（ ） A ．a 2+b 2=c 2 B ．sinB =cosA C ．tanA =a c D ．sin 2A +cos 2A =1 【答案】C 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：A ∶在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，由勾股定 理得a 2+b 2=c 2，因此A 不符合题意； B ∶由三角函数的定义得sinB =b c =cosA ，所以B 不符合题意； C ∶ 由三角函数的定义得tanA =a b ，所以C 符合题意； D ∶ ∵sin A =a c ，cosA=b c ∴sin 2 A +cos 2 A =a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2 c 2=c 2 c 2 =1 所以D 不符合题意．
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好 278页 初中奥数辅导讲义 培优计划（星空课堂） 第一讲走进追问求根公式 第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角 2 第二十讲直线与圆 第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆 第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆 第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手 3 第一讲走进追问求根公式
形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、 因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的 最普遍、最具有一般性的方法。求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含 了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了 2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基 本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二 次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这 个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例 题求解】 【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（） A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关 键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。【例3】解关于某的方程(a1)某22a某a0。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分a10及a10两种情况讨论。【例4】设方程某22某140，求满足该方程的所有根之和。
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之羊若含玉创作 【考纲领求】 锐角三角函数的界说、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，树立数学模子，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理 sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． a b
要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中界说的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分离是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及懂得成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；别的，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的界说知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 应用三角函数的界说，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的纪律会发明：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，
中考数学锐角三角函数(大题培优)附答案解析
中考数学锐角三角函数(大题培优)附答案解析 一、锐角三角函数 1．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=1，点D 在边AC 上且BD 平分∠ABC ，设CD=x ． （1）求证：△ABC ∽△BCD ； （2）求x 的值； （3）求cos36°-cos72°的值． 【答案】(1)证明见解析；（2） 152 -+；（3）5816． 【解析】 试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数，得到∠DBC=∠A ，再由∠C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似； （2）根据（1）结论得到AD=BD=BC ，根据AD+DC 表示出AC ，由（1）两三角形相似得比例求出x 的值即可； （3）过B 作BE 垂直于AC ，交AC 于点E ，在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 试题解析：（1）∵等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1， 设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ， ∴ AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，
解得：x1=15 2 -+ ，x2= 15 2 -- （负值，舍去）， 则x= 15 -+ ； （3）过B作BE⊥AC，交AC于点E， ∵BD=CD， ∴E为CD中点，即15 -+ 在Rt△ABE中，cosA=cos36°= 15 151 4 15 1 AE AB -+ ++ == -+ + 在Rt△BCE中，cosC=cos72°= 15 15 4 14 EC BC -+ -+ ==， 则cos36°-cos72°= 51 4 =- 15 4 -+ = 1 2 ． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形． 2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦// CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ OP =，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20 AB=， 4 cos 5 AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y．
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形之公保含烟创作 【考大年夜纲求】 锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用 锐角三角函数解决与直角三角形有关的实质问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、高档题体现； 2.命题的热门为依照题中给出的信息建立图形，建立数学模型，而后 用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的观点 以下图，在Rt △ABC 中，∠C＝90 °，∠A 所对的边BC 记为 a，叫做∠A的对B边，也叫做∠ B的邻边，∠B所 对的边 AC 记为c a b ，叫做 ∠B 的对边，也是∠ A 的 邻边，直角 C A b C 所对的边 AB 记为 c ，叫做斜 边． 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即 A的对边 a sin A 斜边 c ； 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA ，即 cos A A的邻边 b 斜边 c ； 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a A的邻边 b .
sin B B的对边 b B的邻边 a B的对边 b cos B c ； tan B a ． 同理斜边 c ；斜边B的邻边 重点解说：(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义 的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变卦时，比值也随之变 卦． (2)sinA ， cosA ，tanA 鉴别是一个完好的数学符号，是一个整体，不可以写成，，，不可以认识成 sin 与∠A ，cos 与∠A ， tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”， 但对三个大年夜写字母表示成的角( 如∠AEF) ，其正切应写成“tan ∠AEF”，不可以写成“tanAEF ”；此外，、、 常写成 、、．(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数 值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4) 由锐角三角函数的定义知： 当角度在0 °＜∠A＜ 90 °之间变卦时，，，tanA ＞0 ． 考点二、特别角的三角函数值 应用三角函数的定义，可求出 0°、30 °、45 °、60 °、90 °角的各三角函数值，归纳以下： 重点解说：(1) 经过该表能够方便地知道0 °、30 °、45 °、60 °、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角 的三角函数值，就能够求出这个锐角的度数，比如：若，则 锐角．(2) 认真研究表中数值的规律会发现：sin 0 、、
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)
锐角三角函数 第一部分同角三角函数 “做一做” 从表中不难得出： 130cos 30sin 0 2 2 =+ ， 00 30tan 30 cos 30sin = 145cos 45sin 0 2 2 =+ ， 0 045tan 45 cos 45sin = 160cos 60sin 0 2 2 =+ ， 00 60tan 60cos 60sin = 那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 2 2 =+B A ，A A A tan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系： 如图，在0 90,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 2 2 =+B A （平方关系） ②A A A cos sin tan = ，A A A sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a c b A c a A =+==
1cos sin 222 222 22 2==+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 2 2 =+A A ②a b A b a A c b A c a A ==== cot ,tan ,cos ,sin A b a b c c a c b c a A A tan cos sin ==⋅==∴ A a b a c c b c a c b A A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A A A sin cos cot = ③a b A b a A ==cot ,tan 1cot tan =⋅=⋅∴a b b a A A 即 1cot tan =⋅A A 通过以上证明，可以得出以下结论： ①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 2 2 =+A A ． ②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A A A cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即A A A sin cos cot =． ④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,5 3 cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠ 为锐角 1sin 0<<∴A 又 ,1cos sin 2 2 =+A A 5 3cos = A 542516531cos 1sin 2 2 ==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=∴A A
初中数学关于“锐角三角函数”的知识梳理与习题分析
初中数学关于“锐角三角函数”的知识 梳理与习题分析 锐角三角函数是每年中考都会考到的内容，在考试中题目变化多样，问题新颖，同时也经常与勾股定理、四边形等数学知识相结合，关于锐角三角函数知识 的学习在初中数学教学中至关重要。本文首先对初中阶段的锐角三角函数相关知 识进行了简单的知识梳理，后就锐角三角函数常见的一些数学题型进行了整合与 分析，希望能够帮助教师更加具有针对性地展开锐角三角函数教学，进一步提升 学生关于这部分知识的学习效果。 锐角三角函数是苏教版九年级下册第七章的内容，也是初等数学中的基础知识，这部分内容的学习对于学生的知识应用与问题解决能力提升都起着重要的作用，同时也能有效增强学生的线性思维敏感度，为学生后续的三角函数学习打下 坚实的基础。 一、初中数学“锐角三角函数”的知识梳理 （一）锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，那么：∠A的对边a与邻边b的比就叫做∠A的正切，也就是tanA，tanA==； ∠A的对边a与斜边c的比就叫做∠A的正弦，也就是sinA，sinA==； ∠A的邻边b与斜边c的比就叫做∠A的余弦，也就是cosA，cosA==。 关键点：1.在三角形中，锐角三角函数的数值与三条边的边长无关，而是与 三角形锐角的大小有关。
2.任何一个锐角都具有三角函数，并不因为这个角不在某个三角形中而不存在。 （二）特殊角的三角函数 1 01 关键点：锐角三角函数与锐角的角度可以互相推算，根据本表可以方便地了 解30°、45°、60°角的三角函数，反之也可以由锐角三角函数迅速得出这个角 的度数。 （三）锐角三角函数数值的变化 当∠A为锐角时，各三角函数的数值均为正数，当0°≤∠A≤90°时，sinA、tanA会随着角度的增大而增大，而cosA则会随着角度的增大而减小。 （四）三角函数之间的关系 1、互余角的三角函数关系 在Rt△ABC中，如果∠A与∠B互为余角，则Sin（90°-∠A）=cosA=sinB；cos（90°-∠A）=sinA=cosB。 2、平方关系
初中数学专项练习《锐角三角函数》50道解答题包含答案
初中数学专项练习《锐角三角函数》50 道解答题包含答案 一、解答题(共50题) 1、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号） 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长. 3、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便 A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园． （1）在图中画出点C． （2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
4、如图，某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AB的高为13米，灯杆BC与灯柱AB的夹角∠B＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为20 米，已知tan∠CDE＝，tan∠CED＝，求灯杆BC的长度. 5、如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部 的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度 米，求起点拱门的高度，(结果精确到；，参考数据： ) 6、如图①，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）如图②，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值； （3）如图③，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数 1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为〔〕A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能确定 2．如图1，P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，那么cosα的值等于〔〕 A．3 4 B． 4 3 C． 4 5 D． 3 5 图1 图2 图3 图4 图5 3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么以下各项中正确的选项是〔〕A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=2 3 ，那么tanB等于〔〕 A．3 5 B． 5 3 C． 2 5 5D． 5 2 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，那么sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，那么sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，那么∠B的度数为_______． 8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值． 9．：α是锐角，tanα=7 24 ，那么sinα=_____，cosα=_______． 10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P〔2，23〕，求角α的三个三角函数值． 12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．
初中锐角三角函数习题及详细答案
锐角三角函数 一、选择题 1．30°的值为（） A．3 2B．2 2 C．1 2 D．3 3 2．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt∠，1 BC=，2 AB=，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．tan3 B= 3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（） A．3 4B．4 3 C．3 5 D．4 5 4．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的程度间隔）为4m．假如在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面间隔为（） A．5m B．6m C．7m D．8m 5．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452 AOC OC ∠== °，，则点B 的坐标为（） A．(21)，B．(12) ，C．(211) +，D．(121) + ， 6．如图，直线及⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠ = 30°，则的长为（） A．43 B．4 C．3．2 7．图是某商场一楼及二楼之间的手扶电梯示意图．其中．分别表示一楼．二楼地面的程度线，∠150°，的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（） A83 3 m B．4 m C．3．8 m 8)如图，小明要测量河内小岛B到河边马路l的间隔，在A点测得30 BAD ∠=°，在C点测得60 BCD ∠=°，又测得50 AC=米，则小岛B到马路l的间隔为（）
米． A ．25 B ．253 C ． D ．25253+ 9．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 10．将宽为2的长方形纸条折叠成如图所示的形态，那么折痕PQ 的长是（ ） A ． 233 B ．433 C ．5 D ．2 11．如图，在矩形中，⊥于 E ，∠∶∠1∶3，且10，则的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ． 2 2 5 12．如图，已知△中，∠90°，三角形的顶点在互相平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的间隔 为2 , l 2，l 3之间的间隔 为3 ,则的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7 13．如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ） A ．30π B ．40π C ．50π D ．60π 14．在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地动身，沿北偏东60°方向走了5到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的间隔 为（ ）
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ⨯===g △ 12231232BD CN S ⨯===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90︒ 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒ ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒ ∴326． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°． 在Rt △EBD 中，BD=263 ，∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形． 3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，