江苏苏州高三数学

苏州市2016届高三调研测试

数学Ⅰ试题 2016．1

参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2

2

1

1()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答

案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A e＝ ▲ ．

2． 复数i

(0)12i a z a =

<+，其中i 为虚数单位，||z

a 的值为 ▲ ． 3． 双曲线22

145

x y -=的离心率为 ▲ ． 4． 若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，

则该组样本数据的方差为 ▲ ．

5． 已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则

实数x = ▲ ．

6． 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果

为 ▲ ．

7． 函数22,

0,()1,0

x

x f x x x ??=?-+>??≤的值域为 ▲ ．

8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件

“两次向上的数字

（第6题图）

之和等于7”发生的概率为 ▲ ．

9． 将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个

圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ．

10． 已知θ是第三象限角，且2

sin 2cos 5

θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ． 11． 已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为

T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ ．

12． 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段

弧，则22a b +＝ ▲ ．

13． 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大

值为0x ，则0

2

00

(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 14． 已知14

ab =

，,(0,1)a b ∈，则

1211a

b

+

--的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）

在ABC ?中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B +b A

C c

=．

（1）求角C 的大小；

（2）若ABC ?的面积为，6a b +=，求边c 的长．

16． （本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .

（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；

（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .

17． （本小题满分14分）

图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧?

ACB 的中点，渠宽AB 为2米．

（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；

（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

18． （本小题满分16分）

（第16题图）

1

E

A

B A

D C

B

A

（第17题图2）

如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2

＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，

点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．

（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；

②求PB PM ?u u u r u u u u r 的取值范围．

19． （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11

2

a =

，113n n n a a p nq -+-=?-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围.

20．（本小题满分16分）

已知函数()e (21)x

f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．

（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；

（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；

②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．

2016届高三调研测试

数学Ⅱ（附加题）

2016．1

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．

，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，四边形 ABDC 内接于圆，BD =CD ，过C 点 的圆的切线与AB 的延长线交于E 点． （1）求证：2EAC DCE ∠=∠；

（2）若BD ⊥AB ，BC =BE ，AE =2，求AB 的长．

B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111??

=????

e ，并且矩阵M 对应的变

换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M .

C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C

的参数方程是x y ?=?

?=

??

()t 为参数，在以坐标原

点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，求曲线

1C 与2C 的交点在直角坐标系中的直角坐标.

D ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）

设函数f (x )＝????x ＋1

a ＋|x －a |(a ＞0)． （1）证明：f (x )≥2；

（2）若f (3)＜5，求实数a 的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为2

3

，购买C 种商品的概率为

1

2

.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；

（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.

23．（本小题满分10分）

如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为12,,,k x x x L ，其中{0,1}i x ∈（1i k ≤≤），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为0x . （1）当k =4时，若要求0x 为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？ （2）当k =11时，若要求0x 为3的倍数，则有多 少种不同的标注方法？

第k 层第3层

第2层第1层

（第23题图）

苏州市2016届高三调研测试

数学Ⅰ试题

2016．1

参考答案与评分标准

一、填空题

1．{2} 2．－5

3．

32 4．2 5．9 6．5

3

7． (,1]-∞ 8．16 9．5 10．3125

- 11．5或6 12．18 13．12 14

．4+

二、解答题

15．解：（1）由余弦定理知2222222

2cos cos 222a c b b c a c a B+b A a b c ac bc c

+-+-=?+?==，…

3分

cos cos 1a B+b A c ∴=，

1

cos 2C ∴=， …………………………………5分

又()0,C ∈π，

3

C π

=

. ………………………7分 （2

）1

sin 2

ABC S ab C ==V Q 8ab ∴=， ………………………

10分

又Q 6a b +=，()2

2222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分

c ∴=…………………………………14分 16．解：（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线， 所以EF ∥AC ． ………………………2分

由直棱柱知AA 1=P

CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为

平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． ………………5分

所以EF ∥A 1C 1，

故A 1，C 1，F ，E 四点共面．……………7分 （2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ?平面1111A B C D ，

所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分

（第16题图）

1

E

A

B

因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以11A C 11B D ⊥．

又1DD I 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………………11分

因为OD ?平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．

又OD ⊥A 1E ，11A C I 11A E A =，11AC ?平面A 1C 1FE ，1A E ?平面A 1C 1FE ， 所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分

17．解：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，

因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，

则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分

因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，

在Rt △ODM

中，0.8DM ==（米）． ………………………5分

所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ………………………6分

（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为

(cos ,sin )(0)2

P θθθπ

-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作

半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分 令y ＝0，得1(,0)cos E θ，令y ＝-1，得1sin (,1)cos F θ

θ+-．

设直角梯形OCFE 的面积为S ，则

11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ

++=+?=+?=

（02

θπ

-<<）． ……………………10分

22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ

-+-+'==，令0

S '=，解得6θπ

=-， 当26θππ

-<<-时，0S '<，函数单调递减；

当06

θπ

-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………

12分

所以6

θπ

=-时，面积S

此时1sin()

6cos()6

CF π

+-=

=π-

3米时，所挖的土最少． ……………14分 18．解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -

，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，

则直线PM

11y =-

，即1y -，

联立，22

1,41,

x y y ?+=????-??

解得1,7x y ?=????=??或0,1x y =??=-?（舍），

即1)7M ． ………………2分

连BF ，则直线BF

11

y

+

=

，即0x +=， 而2BF a ==

，172d +===

． ………………………4分

故1122277

MBF S BF d =??=??=V ． ………………………5分

（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)1

0k m m

---==--，

则直线PM 的方程为1

1y x m

=-

-， 联立2211,1,

4

y x m

x y ?=--????+=??化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………

8分

所以2

2212

412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以12313

44

k k m m ?=-?=-为定值． (10)

分

② 由①知，(,3)PB m =-u u u r ，2322222841212

(,2)(,)4444

m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++u u u u r ，

所以324222212121536(,3)(,)444

m m m m m PB PM m m m m ++++?=-?-=

+++u u u r u u u u r ， …………………13分

令2

44m t +=>，故22(4)15(4)36788

7t t t t PB PM t t t t

-+-++-?===-+u u u r u u u u r ，

因为8

7y t t

=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，

所以88

74794

PB PM t t ?=-+>-+=u u u r u u u u r ，即PB PM ?u u u r u u u u r 的取值范围为(9,)+∞． (16)

分

解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为00

1

1y y x x +=-， 令2y =-，得0

0(,2)1

x P y --+. …………………7分 所以0101y k x -=

，()020*******

y k x x y +--==

-

+， 所以()()()()

22

00001222

000031313113

441y y y y k k x x x y --+-=?===--（定值）. …………………10分

②由①知，00(,3)1x PB y =+u u u r ，0000(,2)1

x

PM x y y =+++u u u u r ，

所以()()()

()200000002

00023212311x y x x PB PM x y y y y y +??

?=+++=++ ?+++??u u u r u u u u r =()()

()

()()()

2000002

0041272321

1y y y y y y y -+-+++=

++． …………………

13分

令()010,2t y =+∈，则()()818

7t t PB PM t t t

-+?=

=-++u u u r u u u u r ， 因为8

7y t t

=-++在(0,2)t ∈上单调递减，

所以88

72792

PB PM t t ?=-++>-++=u u u r u u u u r ，即PB PM ?u u u r u u u u r 的取值范围为(9,)+∞． ……

16分

19．解：（1）0q =，113n n n a a p -+-=?，∴2112a a p p =+=+，321

342

a a p p =+=+，

由数列{}n a 为等比数列，得2

1114222p p ????

+=+ ? ?????

，解得0p =或1p =. ………………

3分

当0p =时，1n n a a +=，∴1

2

n a = 符合题意； ………………………

4分

当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴

()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =()12

111131133322132

n n n ----++++=+=?-L ，

∴1

3

n n a a +=符合题意. ………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，

∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =()()211331212n n q -++++-+++-????L L =()1

1312n n n q -??--?

?. ………………8分

∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ?∈N ，有()()1411

31271222

n n n q a q -??--=-??≥恒成立，

即()

1232712n n n q ----≥对*n ?∈N 恒成立. ………………………10分

当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥； 当2n =时，有2410q --≥，∴12

5

q ≥；

当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；

当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； ………………………12分

当5n ≥时，2

120n n -->，所以有12327

12

n q n n ----≤恒成立，

令()12327

5,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()

21122

22123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴527

4

q c =≤. ………………………15分

综上所述，27

34

q ≤≤. ………………………16分

法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，

又4a 为数列{}n a 的最小项，所以4354

0,0,a a a a -??-?≤≥即930,

2740,q q -??-?≤≥

所以27

34

q ≤≤. (8)

分

此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，

所以1234a a a a >>≥. …………………………………………………………10分

当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127

232304

n n n b b q --+-=?-?->≥， 所以1n n b b +>，所以4560b b b <<

即4567a a a a <<

综上所述，当27

34

q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项， 即所求q 的取值范围为27

[3,]4

. …………………………………………………………

16分 20．解：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-， ……………

1分

由于'(0)0f =，

当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0

所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. …………………4分

（2）①由()0f x <得()()e

211x

x a x -<-．

当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()

e 211

x x a x ->-；当1x <时，()

e 211

x x a x -<

-. (6)

分

记()g x =

()

e 211

x x x --，()()()

()

(

)()

22

2

e e e '()232112111x x x g x x x

x x x x x =

-+---=

--，

∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2??+∞ ?

??

上为增函数，()0,1和31,2??

???上为减函数．

∴ 当1x >时，3

2e 342a g ??

>= ???

，当1x <时，()01a g <=． (8)

分

综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,??

-∞+∞ ???

U ． (9)

分

②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，

又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e

3

12a <≤. ………………………12分

当3

2

4e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，

又()g x 在区间312?? ???，上单调递减，在3,2??

+∞ ???上单调递增，且3

2e 342g a ??=< ???

，

∴()()23g a g a

≥，解得32e 532a

15分

综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 3

5[,1)3,22?? ???

U ． (16)

分

苏州市2016届高三调研测试

数学Ⅱ试题

2016．1

参考答案与评分标准

一、选做题

21．A ．（1）证明：因为BD =CD ，所以∠BCD =∠CBD ．

因为CE 是圆的切线，所以∠ECD =∠CBD ． …………………………………2分

所以∠ECD =∠BCD ，所以∠BCE =2∠ECD ．

因为∠EAC =∠BCE ，所以∠EAC =2∠ECD ． …………………………………5分

（2）解：因为BD ⊥AB ，所以AC ⊥CD ，AC =AB ． …………………………………6分

因为BC =BE ，所以∠BEC =∠BCE =∠EAC ，所以AC =EC ． ………………………7分

由切割线定理得EC 2=AE ?BE ，即AB 2=AE ?( AE －AB )，

10分

B ．解：设a b c d ??=????M ,则1133113a b c d ????????

==????????????????,故3,3a b c d =??=?

++． …………………3分

19215a b c d -??????

=??????

??????

,故29,

215a b c d -=??

-=?

++． …………………………………6分 联立以上两方程组解得1,4,3,6

a b c d =-==-=,故

M =1436-????-??

. …………………10分 C ．解：由?????x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得曲线C 1的普通方程y ＝3

3x (x ≥0)； …………………3分

由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4. …………………………6分

联立?????y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，

解得???x ＝3，y ＝1.

故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. …………………………

10分

D ．（1）证明：由a >0，有f (x )＝????x ＋1a ＋|x －a |≥????x ＋1a －(x －a )＝1

a

＋a ≥2， 所以f (x )≥2. …………………………4分

（2）解：f (3)＝???

?3＋1

a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1

a ，由f (3)<5得3

. (6)

分

当0

a ，由f (3)<5得1＋52

8分

综上，a 的取值范围是? ??

?

?1＋52，5＋212. …………………………

10分

22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,2,3i A i =，则：33211

()4324

P A =??=,

232132132111

()(1)(1)(1)43243243224

P A =??-+?-?+-??=

, ………………………3分

所以该网民至少购买2种商品的概率为 3211117

()()42424

P A P A +=+=

. 答：该网民至少购买2种商品的概率为17

24

. (5)

分

（2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,

3211

(0)(1)(1)(1)43224

P ==-?-?-=h ,

又211(2)()24P P A ===h , 31

(3)()4P P A ===h ,

所以

11111

(1)1242444

P ==---=h .

所以随机变量h 的概率分布为：

(8)

分

故数学期望1111123

012324424412

E =?

+?+?+?=

h . (10)

分

23．解：（1）当k =4时，第4层标注数字依次为1234,,,x x x x ，第3层标注数字依次为12,x x +

2334,x x x x ++，第2层标注数字依次为1232342,2x x x x x x ++++，

所以0x =123433x x x x +++. …………………………2分

因为0x 为2的倍数，所以1234x x x x +++是2的倍数，则1234,,,x x x x 四个都取0或两

个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+24C +1=8种标注方

法. …………………………4分

（2）当k =11时，第11层标注数字依次为1211,,,x x x L ，第10层标注数字依次为12,x x +

231011,,x x x x ++L ，第9层标注数字依次为123234910112,2,,2x x x x x x x x x ++++++L ，

以

此

类

推

，

可

得

0x =129

110

2103101011x C x C x C x x +++++L . …………………………6分 因为283746510

10101010101045,120,210,252C C C C C C C =======均为3的倍数，所以只要19

1102101011x C x C x x +++是3的倍数，即只要121011x x x x +++是3的倍数. ………………

8分

所以121011,,,x x x x 四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个349,,,x x x L 可以取0或

1，这样共有（1+34C ）72?=640种标注方法. …………………………

10分