解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章教案资料
第一章矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面；（2）单位圆
（3）直线；（4）相距为2的两点
2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，
在矢量、OB、、OD、OE、
OF、AB、BC、CD、DE、
和中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的矢量对是：图1-1
.
和
和
和
和
和
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中，
2
1
AC. KL与方向相同；在?DAC
中，
2
1
AC. NM与AC方向相同，从而
KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面
体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互
为相反矢量的矢量：
(1) 、; (2) 、; (3) 、
;
(4) AD
、; (5) BE、.
[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量b
a,应满足什么条件？
（1=
+（2+
=
+
（3-
=
+（4+
=
C
（5
=
[解]：（1）,
-=+；
（2）,
+=+
（3
≥且,
-=+ （4）,
+=
（5）,
≥
-=-
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简)()()()(→
→→→-?+--?-b a y x b a y x ．
⑵ 已知→
→
→
→
-+=3212e e e a ，→
→
→
→
+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→
→+b a 23．
⑶ 从矢量方程组?????=-=+→→→→
→→b
y x a
y x 3243，解出矢量→x ，→y ．
解 ⑴
→
→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-a
y b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →
→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，
→
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→
BD 的中点分别为E 、F ，求→
EF ．
解 →→→→
→→→→→→→
-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(2
1)865(212121．
3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→
→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．
4 在四边形ABCD 中，→
→
→
+=b a AB 2，→
→
→
--=b a BC 4，→
→
→
--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．
证明∵→
→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→
AD ∥→
BC ，∴ABCD 为梯形．
6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
可 以构成一个三角形.
[证明]： )(21
+=
Θ )(21
BC BA BM +=
)(2
1
+=
0)(2
1
=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL
从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.
[证明] LA OL OA +=Θ OM += NC ON OC +=
)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++
ON OM OL OC OB OA ++=++∴
8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA +OB +OC +＝4.
[证明]：因为OM ＝
21
(OA +OC ), ＝2
1
(OB +OD ), 所以 2OM ＝2
1
(OA +OB ++OD ) 所以
OA +OB +OC +＝4.
9 在平行六面体ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明
→
→→→=++AG AH AF AC 2．
证明 →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+++=+++=++AG CG FG AF AC DH AD AF AC AH AF AC 2．
图1-5
10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →
→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，
→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →
→→+=BC AD MN ，即
)(21→→→
+=BC AD MN ，故→MN 平行且等于)(21→→
+BC AD ．
11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD
的交点
但 OB
OD OC OA
OB
OC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-=Θ
由于)(+∥,)(+∥,而AC 不平行于，
∴0=+=+，
从而OA=OC ，OB=OD 。
12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0ρ
.
[证明]：因为
1OA ＋3OA ＝λ2OA , 2OA ＋4OA ＝λ3OA , ……
1-n OA +1OA ＝λn OA ,
n OA ＋2OA ＝λ1OA ,
所以 2(1OA +2OA +…+n OA )
＝λ(1OA +2OA +…+n OA ),
所以 (λ－2)(1OA +2OA +…+n OA )＝0ρ
. 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0.
所以 1OA +2OA +…+n OA ＝0ρ
.
13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明：n PA PA PA n =+++K 21 证明：21=+++n OA OA OA ΛΘ
()()()
21=-++-+-∴PA PA n Λ
即 n PA PA n =+++Λ21
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形ABCD 中，
（1）设对角线,,==求.,,, 解：()()()()
a b DA a b CD a b BC a b AB +-=-=+=--
=2
1
,21,21,21．设边BC 和CD 的（2）中点M 和N ，且==,求,。 解：()
(
)
32122,21-=??
?
??--==-=
()
+=??? ??++-
=-==212
1
222
2．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设,,,321e e e ===三个
面上对角线矢量设为,,,===试把矢量γμλ++=写成321,,e e e 的线性组合。
证明：2312,e e e e -==-==， 13e e -==，
AF AH AC a γμλ++=
()()()321e e e γμμλγλ++-++-=
3. 设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OP ＝λ
λ++1
[证明]：如图1-7，因为
＝－OA ,
PB ＝OB －,
所以 －OA ＝λ (OB －),
(1+λ)OP ＝+λ,
从而 OP ＝λ
λ++1OB
.
4. 在ABC ?中,设,1e =2e =
.
(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()
12123
1
31,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123
1
32e e +=
（2）因为
||||TC ＝|
|11e , 且 BT 与TC 方向相同，
所以 BT |
|21e . 由上题结论有
|
|||1||21
2
211e e e e e e +||||212
112e e +5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ?的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量
OC OB OA ,,,的分解式。
解：G Θ是ABC ?的重心。∴连接并延长与BC 交于P
()
(
)()
AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+?==+=
31
213232,21Θ 同理()(
)
+=+=3
1
,31 C O
()++=+=∴31
（1） G P
()++=+=3
1
（2） A B
()
CB CA OC CG OC OG ++=+=31
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得
()()
++++++
++=3
131
3 ++= 即()
OC OB OA OG ++=
3
1
6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A
()
BC BA OB BM OB BP OB OP ++=+
=+=3
1
3211 (
)()
OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=31
31 A
同理()OP ++=31
2 N M
(
)
OP ++=31
3 B L C
321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） （第3页）
7．已知矢量,不共线，问-=2与23-=是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的μλ,，使得0=+μλ 即
()
()()()0232022=--+-?=--+-μλμλμλλ
故由已知,不共线得
{
{000320
2===-=--?μλμλμλ与假设矛盾， 故不存在不全为0的μλ,，使得
0=+μλ成立。所以,线性无关。
8. 证明三个矢量a ρ＝－1e +32e +23e , b ρ＝41e －62e +23e ，c ρ
＝－31e +122e ＋113e 共面，
其中能否用b ρ
,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
[证明]：由于矢量1e , 2e , 3e 不共面，即它们线性无关.
考虑表达式 λ+μb ρ+v ＝0ρ
，即
λ (－1e +32e +23e )+μ (41e －62e +23e )+v (－31e +122e ＋113e )＝0ρ
,
或 (－λ+4μ－3v ) 1e +(3λ－6μ＋12v ) 2e +(2λ+2μ＋11v ) 3e ＝0ρ
.
由于1e , 2e , 3e 线性无关，故有
??
?
??=++==-+-.01122,01263,034v v v μλμλμλ＋
－ 解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.
由于 λ＝－10≠0，所以a ρ
能用b ρ,c ρ线性表示
a ρ＝－10
1b ρ＋51c ρ.
9．证明三个矢量λννμμλ---,,共面。 证明：()()()0=-+-+-λννμμλΘ
∴三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。
－＝λ(OA －),
所以 BC ＝λ, 从而 //.
故 A ，B ，C 三点共线.
§1.5 标架与坐标
3. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρ
ρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，
M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 8. 已知矢量, , 的分量如下：
(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将c 表成a ，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.
[解]:(1) 因为 1
214202
10---＝0,所以 a , b , c 三矢量共面,
又因为a , b 的对应坐标成比例，即a //b
，
故不能将表成, 的线性组合.
(2) 因为 6
500123
21-＝0,所以 a , b , c 三矢量共面.
又因为 a , b
的对应坐标不成比例，即a
，
故可以将c 表成a , b 的线性组合.
设 c ＝λa ρ+μb ρ
, 亦即{0, 5, 6}＝λ{1, 2, 3}+μ{2, －1, 0} 从而
??
?
??==-=+.63,02,02λμλμλ 解得 λ＝2，μ＝－1,
所以 c ρ＝2a ρ－b ρ
.
7．已知A,B,C 三点坐标如下：
（1）在标架{}21,;e e O 下，()()().4,2,2,2,1,0--C B A
（2）在标架{}3
2
1
,,;e e e O 下，()()()
4,3,2,2,0,1,0,1,0---C B A
判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式. 解：（1）因为()()3,2,3,2-=-=AC AB 所以AC AB -= 共线
（2）{}{}4,2,2,2,1,1-=---= 设λ=，但λ不存在 所以C B A ,,不共线.
得??
?
??==-=+6
3520
2λμλμλ 所以???-==12μλ .
9. 已知线段AB 被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A 与B 的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).
在A i G i 上取一点P i ，使i i P A ＝3i i G P , 从而i OP ＝313++i
i OG ，
设A i (x i , y i , z i )(i ＝1, 2, 3, 4)，则
G 1???
?
?++++++3,3,34324
324
32
z z z y y y x x x , G 2???
?
?++++++3,3,
34314
31431z z z y y y x x x , G 3???
?
?++++++3,3
,34214
214
21
z z z y y y x x x , G 4??
?
?
?++++++3,3
,33213
213
21
z z z y y y x x x , 所以
P 1(
31334321+++?
+x x x x ,31334321+++?+y y y y ,3
1334
32
1+++?+z z z z )
≡P 1(
4
4321x x x x +++,44321y y y y +++,44
321z z z z +++).
同理得P 2≡P 3≡P 4≡P 1，所以A i G i 交于一点P ，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的
三倍.
§1.6 矢量在轴上的射影
1．已知矢量与单位矢量e 的夹角为ο
150，10=AB AB ，又如果e e ='AB AB .
[解] AB ,35150.10),(-==∠ο
COS AB e
射影矢量=- ?
?=∠-='∠∴-='30),(180),(,AB e AB e e e Θ
∴AB ,3530.10),(=='∠ο
COS AB e
AB =
2试证明：射影l (λ+1a λ2a +…+λn n a )＝λ1射影l 1a +2λ射影l 2a
+…+λn 射影l n a .
[证明]：用数学归纳法来证.
当n ＝2时，有
射影l (λ1+1a λ22a )＝射影l (11a λ)+射影l (22a λ)＝λ1射影l 1a +λ2射影l 2a . 假设当n ＝k 时等式成立，即有
射影l (k k a a λλ++Λ11)＝λ1射影l 1a +…+λk 射影l k a . 欲证当n ＝k +1时亦然. 事实上 射影l (1111+++++k k k k a a a λλλΛ) ＝射影l [(k k a a λλ++Λ11)+11++k k a λ] ＝射影l (k k a a λλ++Λ11)+射影l (11++k k a λ)
＝λ1射影l 1a +…+λk 射影l k a +λk+1射影l 1+k a 故等式对自然数n 成立.
§1.7 两矢量的数性积
1．证明：
（1） 矢量a r 垂直于矢量
()ab c r r r ()ac b -r r r
；
（2）在平面上如 果1
m ρ
2m ρ，且a ρi m ρ
?＝b ρ?i m (i=1,2)，则有＝b ρ.
证明：（1） ∵a r .()()a b c ac b ???-??
u u r r r r r r ()()a ab c a ac b =-r r r r r r r r
()()ab ac ac ab =-r r r r r r r r =0
∴矢量a r 垂直于矢量()ab c r r r ()ac b -r r r
.
（2） 因为 1m ρ
2m ρ,所以，对该平面上任意矢量c ρ
＝λ1m ρ＋μ2m ρ,
(a －b ρ)?c ρ＝(a －b ρ)(λ1m ρ＋μ2m ρ)
＝λ1m ρ(a －b ρ)+μ2m ρ
(a －b ρ)
＝λ(a 1m ρ－b ρ1m ρ)+μ(a 2m ρ
－b ρ2m ρ)＝0,
故 (a －b ρ)⊥c ρ.
由c ρ
的任意性知 －b ρ＝0ρ.
从而 a ＝b ρ.
2．已知矢量b a ,互相垂直，矢量c 与b a ,的夹角都是?
60，
321===计算：
22)2)(4();3).(23)(3();)()(2(;))(1(-+---++
[解]：
11
32460cos 32460cos 3214424)2)(4(;
27
60cos 32660cos .398.692.3)3).(23)(3(;321))()(2(;52021.2))(1(222
2
22
22
2
22
22=+?+??-?-=++--+=-+-=??+?--=+--=---=-=+=-+=+?+=++=+????c b c b c a b a a c b a a b a b a b a b b a a b a
3. 计算下列各题.
（1）已知等边△ABC 的边长为1,且BC a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,,AB C =u u u r u r
求ab bc ca ++r r r r r r ；
(2)已知,,a b c r r r 两两垂直,且1,a =r 2,b =r 3,c =r
求r a b c =++r r r r 的长和它与,,a b c r r r 的夹
角.
(3)已知3a b +r r 与75a b -r r 垂直，求,a b r r
的夹角.
(4)已知2,a =r 5,b =r 2
(,),3
a b π∠=r r 3,p a b =-u r r r 17.q a b λ=+r r r 问系数λ取何值时
p u r 与q r
垂直？
解
(1)∵
1,
a b c ===r r r
∴
cos120ab bc ca a b ++=??r r r r r r r r
0cos120b c +??r r
c a +??r r 0cos12032
=-
(2)∵,a b c ⊥⊥r r r 且1,a =r 2,b =r 3c =r
.
设r a b c =++r r r r 23i j k =++r r r
∴r =
r = 设r r 与,,a b c r r r
的夹角分别为 ,,.αβγ
∴cos 14α=
=
cos 7β==
cos 14γ==
∴arccos
α
=14
，arccos 7
β=
，arccos 14γ=
(3)(3)(75)a b a b +?-r r r r
0=，即22716150a ab a +-=r r r r (1)
(4)a b -?r r (72)a b -r r
0=，即2273080a ab b -+=r r r r (2)
(1)-(2)得：22a b b ?=u u r r r (1)8(2)5?+?得：2
2a b a ?=u u r r r
∴a b =r r ∴cos (,)a b ∠r u u r a b a b ?=?u u r r r r 2212b b
=r r 12= ∴cos (,)a b ∠=r r 3π
(4)a b ?u u r r =a b ?r r cos (,)a b ∠=r r 1
25()2??-5=-
p q ?=u u r r (3)17a b a b λ-?+r r r r
（）2235117a ab a b b λλ=+-?-r r r r r r 680170λ=-+= ∴40λ=
8（）页后
4. 用矢量法证明以下各题：
(1) 三角形的余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明：（1）如图1-21，△ABC 中，设AC ＝b ρ
,AB ＝c ,BC ＝a ，
且|a ρ
|＝a ，|b ρ|＝b ,|c |＝c . 则a ＝b ρ－c ,
a 2＝(
b ρ－
c ρ)2＝b ρ2+c 2－2b ρ?c ＝b ρ2+c 2－2|b ρ||c |cos A . 此即 a 2＝b 2+c 2－2bc cos A.
(2) 如图1-22，设AB , BC 边的垂直平分线PD , PE 相交于P , D, E, F 为AB, BC, CA 的中点, 设PA ＝a , PB ＝b ρ, PC ＝c , 则AB ＝b ρ－a , BC ＝c －b ρ,
CA ＝a －c , ＝2
1
(a +b ρ),
＝
2
1(c ρ＋b ρ). 因为 ⊥, ⊥BC ,
所以 21(a +b ρ)(b ρ－a )＝2
1(b ρ2
－a 2)＝0,
21(b ρ+)(－b ρ)＝2
1
(2－b ρ2)＝0, 从而有 2＝b ρ2＝2, 即 ||2
＝|b ρ|2＝||2,
所以 21(c ρ＋a ρ)(a ρ－c ρ)＝2
1(a ρ2－c ρ
2)＝0,
所以 PF ⊥CA , 且 |a |＝|b ρ
|＝|c |.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距
.
图
1-11
图1-12
5 已知平行四边形以=r a ﹛1，2，-1﹜，=r
b ﹛1，-2，1﹜为两边
(1)求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角
解：
(1)a ==
r b ==r
cos a b a b
θ?=?u u r r r r 1=-6 ∴1arccos 6θ=或1
arccos 6π-
(2)1c a b =+=u r r r
，2c a b =-=u u r r r
.
12
12
cos c c c c α?=?u r u u r u r u u r =0
∴2
π
α=
6 已知△ABC 的三顶点(0,0,3),A (4,0,0),B (0,8,3)C -
试求：(1)△ 三边长 (2)△三内角 (3)三中线长 (4)角A 的角平分线矢量AD
u u u r
（中点在BC 边上），并求AD u u u r
的方向余弦和单位矢量
解： (1) (4,0,3),AB =-u u u r
(0,8,6)AC =-u u u r ，(4,8,3)BC =-u u u r
∴5,AB =u u u r 10,AC =u u u
r BC =u u u r
(2)cos AB BC A AB BC
?∠=?u u u r u u u r u u u r u u u r 9=25 ∴A ∠=9
arccos 25
cos AC BC C AC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r
∴arccos
C ∠=445
cos BA BC B BC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r =
445
∴arccos B ∠=445
(3)11AD AB BD =+u u u u r u u u r u u u u r )9
=(2,4,-2
∴1AD =u u u u
r 2 2BD u u u u r 2BA AD =+u u u r u u u u r
)=(-4,4,0 ∴2BD u u u u
r =
33CD CA AD =+u u u u r u u u r u u u u r 9
(2,8,)2
=-
∴32CD =u u u u r
(4)cos AB AD AC AD AB AD AC AD
θ??==??u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AD u u u r =﹛88
,,433-﹜
∴cos α=
，cos β=
cos γ=
设它的单位矢量为﹛,,a b c ﹜，且2
2
2
1a b c ++=
MB V ==----22
2
134
2
1
03∴﹛,,a b c ﹜=
§1.8 两矢量的失性
1.已知1a =r ,5,b =r 3.a b ?=r r 试求: (1)a b ?r r
(2)2()()a b a b ??+?-??
r r r r (3)2
(2)(2)a b b a ??-?-??r r r r
解:(1) sin (,)a b ∠r
r =
45
==
∴sin (,)a b a b a b ?=??∠=r r r r r r
4.
(2)原式= 2()()a b a a b b ??+?-+???r r r r r r 2
(2)a b =-?r r 24a b =?r r 64=.
(3)原式=2224a b b b a a b a ???-?-?+?=??
r r r r r r r r 2
(3)a b -?r r =924144?= 2. 证明：
（1）(?b ρ)2≤2?b ρ2，并说明在什么情形下等号成立. （2） 如果+b ρ+＝0ρ
，那么?b ρ＝b ρ?＝?，并说明它的几何意义.
(3)如果a b c d ?=?r r r u r ,a c b d ?=?r r r u r .那么a d -r u r 与b c -r r
共线.
(4)如果,a p n =?r u r u r ,b q n =?r r u r ,c r n =?r r r
那么,
,,a b c
r r r 共面.
证明: （1） (?b ρ)2＝|?b ρ|2＝||2|b ρ|2sin 2
∠(,b ρ)
≤||2|b ρ|2＝2?b ρ
2.
要使等号成立, 必须sin 2
∠(,b ρ)＝1, 从而sin ∠(,b ρ)＝1,
故∠(a ,b ρ)＝2π
，即当a ⊥b ρ时，等号成立.
（2）由a +b ρ+c ＝0ρ, 有 (a +b ρ+c )?c ＝0ρ?c ＝0ρ, 但 c ?c ＝0ρ
，
于是 a ?c +b ρ?c ＝0ρ
,
所以 b ρ
?c ＝c ?a .
同理 由 (a +b ρ+c )?a ＝0ρ, 有 c ?a ＝a ?b ρ, 从而 a ?b ρ＝b ρ
?c ＝c ?a .
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
(3)∵(a d -r u r )?(b c -r r )=a d a c b d d c ?-?-?+?r u r r r r u r u r r
=c d b d b d c d ?-?+?-?r u r r u r r u r r u r =0 ∴a d -r u r 与b c -r r 共线.
(4)()a b c ?=r r r ()()()p n q n r n ?????=u r r r r r r {
}
()()p n n q p n q n ???-???u r r r r u r r r r ()r n ??r r =0 ()()0p n q n r n -?????=u r r r r r r ∴()a b c ?=r r r 0 ∴,,a b c r r r
共面
3. 如果非零矢量i r (i ＝1,2,3)满足321r r r ?=，2r ＝3r ?1，3r ＝1r ?2r ，那么1,2r ,3r 是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.
[证明]：由矢性积的定义易知1r ,2r ,3r 彼此垂直，且构成右手系.
下证它们均为单位矢量.
因为 1r ＝2r ?3r ，2r ＝3r ?1r , 所以 |1r |＝|2r ||3r |, |2r |＝|3r ||1r |, 所以 |1r |＝|3r |2|1|.
由于 |1r |≠0，从而 |3r |2＝1，|3r |＝1. 同理可证 |2r |＝1，|1r |＝1. 从而1r ,2r ,3r 都是单位矢量.
4.已知: {}2,3,1a =-r ,{}1,2,3,b =-r
求
与a r ,b r 都垂直,且满足下列条件的矢量c r
:
(1)c r 为单位矢量 (2)10c d ?=r u r ,其中d =u r
{}2,1,7-.
解: (1)设{},,c x y z =r
.∵,,c a c b ⊥⊥r r r r 23c b x y z ?=-+r r =0 (1) ∴23c a x y z ?=-+r r =0 (2) 222
x y z ++=1 (3) 由(1),(2),(3)得
: c =????
r (2)设{},,c x y z =r
.∵10c d ?=r u r ∴27x y z +-=10 (4) 由(1),(2), (4)得: 35255,,666c ??=????
r .
5. 在直角坐标系内已知三点(5,1,1),A -(0,4,3),B -(1,3,7)C -,试求:
(1)三角形ABC 的面积 (2)三角形ABC 的三条高的长.
解
:
(1) (5,5,4AB =--u u u r
）
,
(4,4,8AC =--u u u r
）
,
(1,1,4BC =u u u r
）
cos AB AC
A A
B AC
?∠=?u u u r u u u r u u u r u u u r
=
, 5sin 6A =.
1sin 2
ABC S AB AC A =??=V u u u
r u u u r .
(2)AB =u u u r ,
AC =u u u r
, BC =u u u r .
∴111
h =,
2h =, 38h =.
图1-13
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
《解析几何初步》复习教案
课题：《解析几何初步》章节复习第一课时 —————直线和直线的方程 内容出处：北师大版教材必修2第二章《解析几何初步》章节小结与复习 授课教师：江西省景德镇一中胡闵红 【三维目标】 知识与能力： （1）通过复习使学生加深理解有关概念，掌握有关公式，使学生掌握直线方程的五种形式和它们之间的联系，进一步巩固和深化直线方程，形成较完整知识体系，完成知识学习“由厚到薄”的全过程。 （2）通过对直线方程的梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。 过程与方法： 通过动画、图表多种形式进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记。同时凸现知识之间的联系。 在复习的基础上使学生进一步领悟到数形结合、分类讨论等数学思想方法的作用，努力提高学生的思维能力和解决问题的策略水平。 情感态度与价值观： 学生通过对知识的整合、梳理，掌握直线方程各种形式之间的联系，进一步培养学生分析和解决问题的能力。让学生参与复习活动，使学生体验到学习数学的乐趣，感受到数学的结构美，数形结合的统一美。 【教学重点】帮助学生建立和完善本章的知识结构，综合地应用直线方程的知识解决问题。 【教学难点】使学生学会如何根据题目的已知条件恰当选择直线方程形式求解问题。【教学教具】多媒体辅助教学设备。
【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学步骤】 （一）创设情境，导入复习课： 说明：如此设计目的是在于激发学生兴趣。 （二）知识梳理： 1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角。对于与x 轴平行的直线，我们规定倾斜角为00。 所以倾斜角的范围为00[0,180) 2、斜率： 在当倾斜角不等于90°时，斜率等于倾斜角的正切值；如果倾斜角等于90°时，斜率不存在。 斜率也可以由两点坐标表示，21 21 y y k x x -= -12()x x ≠。 设计意图：通过动画直观的复习倾斜角和斜率。 3、直线方程的五种形式： 如下表：
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
空间解析几何考题
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
新课标高中数学必修解析几何全部教案
百读文库CHENyx2011 woaiwojia直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
03级空间解析几何期末试卷B
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
高等数学-向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是 _______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{ }{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→→b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+= -3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线123z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线? ??=-+-=-+0201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线???+==-+1 022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的方程分别 是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是________________(请用 x y x ,,的一个方程表示). 10. 曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面.
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：