2016年高考真题——理科数学(浙江卷)Word版含解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=

A.[2,3]

B.(-2,3]

C.[1,2)

D.

2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则

A. B. C. D.

3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域

中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=

A. B.4 C. D.6

4.命题“使得”的否定形式是

A.使得

B.使得

C.使得

D.使得

5.设函数，则的最小正周期

A.与b有关，且与c有关

B.与b有关，但与c无关

C.与b无关，且与c无关

D.与b无关，但与c有关

6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且

，，

，.

（表示点P与Q不重合）

若，为的面积，则

A.是等差数列

B.是等差数列

C.是等差数列

D.是等差数列

7.已知椭圆与双曲线

的焦点重合，分别为的离心率，则

A.且

B.且

C.且

D.且

8.已知实数.

A.若则

B.若则

C.若则

D.若则

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.

10.已知，则A=，b=.

11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.

12.已知，若，则a=，b=.

13.设数列的前n项和为，若

，则=，=.

14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC

外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面

体PBCD的体积的最大值是.

15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，

均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=（Ⅰ）证明：2A B

=（Ⅱ）若ABC ?的面积24

a S =，求角A 的大小.

17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC，90ACB ∠=?，

1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，

（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面（Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.

18.（本题满分15分）设3a ≥，函数2

()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,

其中

（Ⅰ）求使得等式2

()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围（Ⅱ）（i）求()F x 的最小值()

m a

（ii）求()F x 在[0,6]上的最大值()

M a 19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:22

21(1)

x y a a

+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）

（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

20、（本题满分15分）设数列满足1

||12

n n a a +-

≤，（Ⅰ）求证：1

1||2

(||2)(*)

n n a a n N -≥-∈（Ⅱ）若3||(2

n

n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.

2016年高考浙江卷数学（理）试题答案及解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}

{

}

2

13,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ?=R eA ．[2,3]B ．(-2,3]C ．[1,2)

D ．(,2][1,)

-∞-?+∞【答案】B

【解析】根据补集的运算得

{}

[](]2

4(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B．

2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则A ．m ∥l B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n

【答案】C

3.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

200

340x x y x y -≤??

+≥??-+≥?

中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=A ．

B ．4

C ．

3D ．6

【答案】C

【解析】如图?PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，

即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=??+=?x y x y 得(1,1)-Q ，由2

0=??+=?x x y 得(2,2)-R

，

==AB QR C．

4.命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x >”的定义形式是A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x

n x

n x

<【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2

n x ≥的否定是2

n x <．故选D．5.设函数2

()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B

6.如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*

N ，

1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.

若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则

A ．{}n S 是等差数列

B ．2

{}n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列

D ．2{}n d 是等差数列

【答案】A

【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即

11

2

n n n n S h B B +=

，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么

11tan n n n h h A A θ+=+?，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么

1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=

+?，111111

(tan )2

n n n n S h A A B B θ+++=+?，作差后：1111

(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=?，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A．

7.已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2

的离心率，则

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

【答案】A

【解析】由题意知2

2

11-=+m n ，即2

2

2=+m n ，

222

122222

1111()(1)(1)-+=?=-+m n e e m n m n

，代入222=+m n ，得2

12,()1>>m n e e ．故选A．8.已知实数a ，b ，c

A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100

D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100【答案】D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【答案】9

【解析】1109

M M x x +=?=10.已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．

1

【解析】22cos sin 22sin(2)14

x x x π

+=+

+，所以2, 1.A b ==11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）

，则该几何体的表面积是cm 2，体积是

cm 3.

【答案】72

32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32???=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72

??+??-?=12.已知a >b >1.若log a b +log b a =5

2

，a b =b a ，则a =，b =.

【答案】4

2

【解析】设log ,1b a t t =>则，因为215

22

t t a b t +=?=?=，

因此2

2222, 4.

b a b b a b b b b b b a =?=?=?==13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=

.

【答案】1

121

14.如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.

【答案】

1

2

【解析】ABC ?中，因为2,120AB BC ABC ==∠= ，所以30BAD BCA ∠== .

由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B

=+-?2222222cos12012=+-??= ，

所以AC =设AD x =

，则0t <<

DC x =-.

在ABD ?中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A

=+-?22222cos30x x =+-?

24x =-+.

故BD =

.

在PBD ?中，PD AD x ==，2PB BA ==.

由余弦定理可得2222222(4)cos 2222

PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===???，

所以30BPD ∠=

.

过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d

=则11

sin 22

PBD S BD d PD PB BPD ?=?=?∠，

即12sin 302

d x =? ，

解得d =

而BCD ?

的面积111

sin )2sin 30)222

S CD BC BCD x x =

?∠=-?= .设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD

的体积

11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ???=?=≤?=?

=.

设t ==

，因为0x ≤≤12t ≤≤.

则||x -=

（2x <≤||x x ==

故x =

.

此时，16V t +-=

21414

()66t t t t

-=?=-.由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612

V t V <=-=.综上，四面体PBCD 的体积的最大值为

1

2

.

15.已知向量a 、b ,｜a ｜=1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,

则a ·b 的最大值是．

【答案】

12

【解析】221

|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2

e e e +?≤?+?≤+≤++?≤??≤ ，即最

大值为

1

2

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；

（II ）若△ABC 的面积2

=4

a S ，求角A 的大小.

【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A -B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．

（II ）由24a S =得2

1sin C 24a ab =，故有

1

sin sin C sin 2sin cos 2

B =B =B B ，

因sin 0B ≠，得sin C cos =B ．

又B ，()C 0,π∈，所以C 2

π

=

±B ．当C 2πB +=

时，2πA =；当C 2π-B =时，4π

A =．

综上，2πA =或4

π

A =．

17.(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面

ABC ,=90ACB ∠ ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.

(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；

(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.

【试题分析】（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B -A -的平面角，再在Rt QF ?B 中计算，即可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值．

（II ）方法一：

过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．

因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ．所以，QF ∠B 是二面角D F B -A -的平面角．

在Rt C ?A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ 13

=

．

在Rt QF ?B 中，FQ 13=

，F B =，得cos QF 4

∠B =．

所以，二面角D F B -A -的平面角的余弦值为

4

．

18.（本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x ?1|，x 2?2ax +4a ?2}，其中min{p ，q }=,>p p q q p q.

≤??

?，，

（I ）求使得等式F （x ）=x 2?2ax +4a ?2成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.

【试题分析】（I ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；

（II ）（i ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（ii ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值

()a M

．

（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2

242g x x ax a =-+-，则

()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，

所以，由()F x 的定义知()()(){}

min 1,m a f g a =，即

(

)20,3242,2a m a a a a ?≤≤+?=?

-+->+??（ii ）当02x ≤≤时，

()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，

当26x ≤≤时，

()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．

所以，

()348,34

2,4

a a a a -≤

≥?．19.（本题满分15分）如图，设椭圆22

21x y a

+=（a ＞1）.

（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；

（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

【试题解析】（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22

2

11y kx x y a

=+??

?+=??得()2

2

2

2120a k x

a kx ++=，

故

10x =，2222

21a k

x a k

=-+．

因此

2122a k x AP =-=

?+（II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足

Q AP =A ．

记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．

20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足1

12

n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1

1

2

2n n a a

-≥-，n *∈N ；

（II ）若32n n a ??≤ ???

，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *

∈N ．

【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得11

12

n n a a +-≤，变形为11222n n n a a ++-≤，再用累加

法可得

11n n

a a -

<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得

1

12

n m n

m

n a a --

<

，进而

可得3224m

n

n a ??<+? ???

，再利用m 的任意性可证2n a ≤．

（II ）任取n *

∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，

11212222222

2n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-??????-

=-+-+???+- ? ?

??????11111

222n n m +-≤

++???+112

n -<，故

112

2

2m n

n n a a -??<+? ???11132

222m

n n m -????≤+???? ???????

3224m

n ??

=+? ???

．

从而对于任意m n >，均有