共轭复数的性质

共轭复数的性质

上海市奉贤中学 余意

教学目的：1、掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广；

2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培养学生

类比推广思想、从特殊到一般的方法和探究方法。

3、力求激发学生学习的兴趣，让学生体验探索研究的乐趣，努力创设以学生为中心的课堂研究氛围。

教学重点：共轭复数性质的探究。 教学难点：共轭复数性质的应用。 教学过程：

复习共扼复数概念：

共扼复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z 的共扼复数用z 表示。

若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi (a ，b ∈R)

互为共扼的两复数所对应的点关于x 轴对称。研究复数的模

发现1：| z |＝22b a +，|z |＝22b a + 研究结论1：| z |＝|z | （学生说出） 发现2： z ＋z ＝2a ，z －z ＝2bi

——共扼复数之和为实数，共扼复数之差为纯虚数？(后半句不正确！) ——若b ＝0 (z 是实数)，则z －z ＝0，即z ＝z (逆命题成立吗？) ——若a ＝0，则z ＋z ＝0，即z ＝－z (如何深入研究？) 研究结论2：z ＝z ?z ∈R (学生证明)

研究结论3：z ＝－z ( z ≠0) ? z 为纯虚数 (学生证明) 发现3：z z ＝a 2＋b 2 (联想到| z |＝22b a +)

研究结论4：| z |2＝z z —— 非常重要的一个结论：复数与实数进行转换 注意： 2

2

||z z ≠，特别地1||=z 时，1=z z

让学生各自找两个复数，如z 1＝1＋2i ，z 2＝3－4i ，计算：(1)1z ＋2z (2) 2

1＋z z

解：(1) 1z ＋2z ＝i 2＋1＋i 4－3＝(1－2i)＋(3＋4i)＝4＋2i

(2) 21＋z z ＝)i 4－3(＋)i 2＋1(＝i 2－4＝4＋2i

发现3：(1)21＋z z ＝1z ＋2z —— 是否巧合？能否证明？ 思考：能否推广到减法、乘法、除法运算？ 研究结论5：(1) 2

1＋z

z ＝1z ＋2z (2) 2

1－z

z ＝1z －2z

(3) 21z ?z ＝1z ?2z (4) )z z (

2

1＝

2

1z z ( z 2≠0)

思考：能否推广到n 个复数的运算？ (1) n

21＋z

＋＋z z ＝1z ＋2z ＋…＋n z (2) 221z ??z ?z ＝1z ?2z ?…?n z

特别地，若1z ＝2z ＝…＝n z ＝z ，则n z ＝(z )n

（1）R z z ∈+是复数R z ∈的 条件。

（2）R z ∈是zi 为纯虚数的 条件。

练习2：设21,z z 为非零复数，2121z z z z A +=，则A 是（ ） A 、虚数 B 、实数 C 、纯虚数 D 、实数或虚数

例题、若复数z 满足1||=z ，请问z

z 1+

是实数吗？若是，请证明。若不是，请说明理由。

作业：1、《走进新课程》P73 8、9 P74 8 2、已知z 为虚数，且z ≠±i ，若

2

＋z

1z 为实数，求| z |。

《共轭复数的性质》教案说明

一、教材分析

数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的，数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展，数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具。那么把实数集扩充为复数集，建立复数的代数运算结构，从而充分认识数学内部的矛盾和运动对数学发展的作用。

本节课是学习了复数的有关概念、复数的运算基础上，进一步探究共轭复数的性质，是对复数概念的进一步深化，从而进一步提高数学符号变换的能力，为实系数一元二次方程的解学习设下伏笔。

二、学生分析

实数在学生的脑海中根深蒂固，所以建构复数内有关概念及其运算时，经常会受到实数内经

验的干扰，比如绝对值对复数模的负迁移；由2

2

||z z ≠引起的负迁移等。所以本人在教学中重视学生以往经验对数学学习的作用，了解学生已有的认知结构及其建立的背景，在学习复数的相关概念和运算后，继续探究共轭复数的性质。让学生充分认识在实数内成立的法则、公式、及其它一些性质，不一定在复数范围内成立，并进一步深化复数集中实数、纯虚数的概念。由于4班的学生思维敏捷，有独创性、钻研性，所以课堂上可以推行竞争学习的方式，既可提高学生探索的能力，也可培养学生求真的学习态度。

三、目标分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“应用”的层次，即能综合地、灵活地、创造性地运用所学的数学知识和技能来解决有关问题。

根据上述这些分析，教学目标的设计分成以下三方面：

1、掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广；

2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培养学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法。

3、力求激发学生学习的兴趣，让学生体验探索研究的乐趣，努力创设以学生为中心的课堂研究

实际上，互为共轭的两个复数的性质是通过复数运算得到的结论，所以本节课的重点是探究共轭复数的性质。由于复数的模、共轭复数的实部、虚部是实数，而在复数学习中，复数实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，但学生不容易顺利地及时转换概念，更不容易灵活运用共轭复数的性质，所以共轭复数性质的应用便成了本堂课的难点。

四、过程分析

改变学生的学习方式，推进学生数学素养的发展，主要取决于学生主体意识的形成和对学生主体参与能力的培养。在这堂课的设计中，从课题的引入到问题的研究都以此为目标：

1、课题引入：通过共轭复数的对称性，让学生体验数学对称美，并且在探究共轭复数性质的过程中感受数学的简单美，从而激发学生学习的兴趣。

2、课堂中研究结论2、3实质上是两个特殊复数的四则运算，从而进一步加强学习了复数的运算，并且深化了实数、纯虚数的概念，这是本章学习的重点之一；研究1，4是与复数的模相关的性质，复数的模是本章学习的重点也是难点，重要性在于它既是复数的几何特征之一，也在于是复数问题实数化的途径之一。通过性质探究的过程，可对实数与复数进行比较学习，让学生知道22||z z =在实数集成立，而在复数集是不成立的。问题5是共轭复数的四则运算，利用从一般到特殊的方法进行探究，并进行类比推广，进一步培养学生的符号变换能力，提高学生的探究能力。

五、方法分析

本节课，采用“探究发现式”教学模式为学生创设了探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间。

六、评价分析

通过探究共轭复数的性质的过程，提高学生辨析概念的能力，以严格地论证来说明学习数学是需要求真的态度和科学的方法。

教后感：

本节课设想是采用“探究发现式”的教学模式来授课，可是结论1、结论2已经在前两节课的学案上出现了，对于学生来说共轭复数的性质不陌生，我预测课堂上学生探究共轭复数性质的积极性不高，所以我上课时采用师生共同研究的方式来解决前四个结论，练习1是学生自己独立完成。可是在讲解中，激情不够高，搞得声音轻，问的“问题”也没切中要害，渐渐地，学生发言的主动性降低。幸运的是，学生做完练习2后，我请祝贺同学回答解法时，他回答“没计算，是看出来的”，就这句话，全体学生哄堂大笑，学习氛围又调动起来了，学生的学习积极性高涨，我也更加兴奋了；但是，此题的另外两种方法是本人讲授的，如果本人引导后，给学生充足的时间，让学生去想、去发现2121z z z z A += 可以整体代换，只需求A 或者求21z z ，那么就相当成功，可是本人“包办”了，担心例题没时间讲。明显地，时间安排不够合理，课前准备不够充分，课堂应变能力还要提高。

点评（宋林荣：中学数学高级教师 ，区名教师）

总体上说，余意上的这堂《共轭复数的性质》课条理清晰，板书规范，表达流畅，具有较好的

教学基本功。这节课主要体现了两个“关注”和两个“突出”的特点。

（1）关注三位目标。从制定的教学目标看，有知识与技能、过程与方法以及情感态度、价值观。制定目标恰当。在课堂教学过程中，力求体现制定的目标，因而有较好的达成度。

（2）关注学习过程。比较强调学生的学习行为和习惯，鼓励学生，激发起学生的学习热情。课堂上，采用提问、练习和板书等形式，引导学生积极参与，努力让学生去尝试，及时发现学生学习中的错误，不断修正错误。

（3）突出教学理念。从这节课的设计意图看，把学习五条共轭复数的性质，设计成对这五条性质的探究，让学生自主发现，然后及时引导学生去证明。不但使学生学到共轭复数的性质，更重要的是逐步学会探究的方法，形成探究的意识。

（4）突出数学思想。数学思想的形成，不是几节课能够解决的，而是渗透在平时的教学之中。余意老师的这节课做的比较好。虽然没有大讲数学思想，但在课堂上渗透了数学思想。如归纳思想、代换思想类比推广思想等。渗透数学思想比较自然，顺理成章。

几点建议：

（1）既然这节课让学生探究，在行进过程中，就得放开些。让学生更多的暴露些错误。学生的错误是“坏事”，但也是“好事”。学生的错误还不是真正的错误，学习是需要有一个过程，探究的过程需要有一定的时间保证的。

（2）引导要注意得法。如说明1212A z z z z =?+?

为实数第三种方法：代换法，教师不应当自己说出，而是让学生发现更好。其实只要引导得法，学生能够解决的。

（3）要重视数学的严谨性。如共轭复数的加、乘运算律，个数推广至有限对共轭复数时，学生不经意的用了不完全归纳法，老师应及时地指出，需用数学归纳法严格论证。只是这节课没有充裕的时间去证明。这样处理使得这节课更加严谨。