数学建模论文

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘 要

易拉罐饮料是平时常喝的饮料。单个易拉罐的形状无关大局，但是成千上万易拉罐的形状就直接影响生产销售的成本利益。因此，对易拉罐的形状、尺寸进行优化设计具有重要的现实意义。

对于容量一定的易拉罐的形状和尺寸的最优化设计问题，本文采用多元函数求极值的方法以及利用求条件极值的方法算出了易拉罐的规格尺寸，通过与实际测量的规格尺寸的对照比较知道所建立模型是合理的。根据所建的模型，本文设计出了正椭圆形的易拉罐。有关结果如下：

对于一个355毫升的可口可乐易拉罐来说，它从盖顶到盖底的高度约为12.2cm ，中间胖的部分的高度约为10.2cm ，顶盖的直径约为6.1cm ，中间胖的部分直径约为6.6cm ，罐壁的厚度约为0.01cm ，顶盖的厚度约为0.03cm ，易拉罐上部分圆台的高度约为1cm ，（以上数据均为本组亲手测量）。

对于问题二，本文建立了表面用料的体积的函数表达式和易拉罐容量体积约束条件，由条件极值计算得14

r h =，实际测量值 6.1/2112.24r h ==，得出理论计算值与实际测量数据相吻合，由此说明本文建立的模型比较合理。

对于问题三，本文结合问题二，进一步建立表面用料体积函数式，仍由条件极值算得1h =1.1 1.0cm cm ≈ 3.4 3.3R cm cm =≈与实际测量数据也基本相吻合，进一步说明所建立的模型的合理性。

对于问题四，本文设计的易拉罐的形状是正椭圆柱形状。当它的容积V 一定，若长

轴a 是短轴b 的k 倍，即a kb =，则短轴b 与高H 的比例为

1.5(1)4k k

+。这就是本文所设计的正椭圆柱形的易拉罐的尺寸和比例

对于问题五，我们根据以前的学习经验和现在参加数学建模的体验，谈了自己对数学建模的认识。我们认为建模的难点是模型的假设，关键步骤是模型的建立。建模的实质就是将实际问题转化翻译成数学语言，然后归结为某一种方法来求解，再由实际中的数据检验这种方法求解问题的精确性，精确度高的可将这种方法，也就是数学模型推广到实际中去应用。

关键词：易拉罐最优设计条件极值

一、问题重述

销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量它的各部分的直径、高度、密度，并列表说明；如果数据是查阅资料得到的，那么注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3．设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。求它的最优设计。同样把所求结果与测量结果进行比较。

4．根据你对易拉罐的洞察和想象能力，自己设计一种易拉罐的形状和尺寸。5．根据你们以前的学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述一下数学建模，它的关键步骤和难点。

二、问题分析

对于容积一定的容器，怎样设置它的规格尺寸，使该容器的表面用料最省。这一类问题可以转化为条件极值问题[1]。建立关于表面用料参量的优化函数表达式（或者是表面用料表面积或者是表面的用料的体积）和容器容积的约束函数，利用条件极值求出易拉罐各部分的尺寸，与测量尺寸进行比较，说明其结果的合理性。同样，我们用条件极值问题自己设计了一种易拉罐的形状和尺寸。实际中的易拉罐各部分的直径、高度、厚度，我们可以用千分尺和游标卡尺测得。

三、模型假设

1、对于问题二，我们假设易拉罐是一个正圆柱体。

2、对于问题三，我们假设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面是一个正圆柱体。

四、符号说明

V表示容量的容积

h表示盖顶到盖底高度

r表示顶盖的半径

R表示中间胖的部分的半径

d表示罐壁的厚度

h表示上部分圆台的高度

1

Vs 表示易拉罐壳的用料体积

S 表示正椭圆柱的表面积

C 表示正椭圆柱椭圆的周长

a 表示椭圆的长轴

b 表示椭圆的短轴

H 表示正椭圆柱的高

五、模型的建立

对于问题2,设易拉罐为正圆柱体.罐壁的厚度0.01d cm =,则顶盖的厚度则为30.3d cm =,如图1（源程序见附录）

图1

我们进行如下建模: 设易拉罐所用材料的体积为Vs ,易拉罐的容积为V ,则

221(,)(())Vs r h r d r h ππ=+- 2(,)V r h r h π= 因为b r ≤所以带2b 的项可以忽略,因此

2(,)24Vs r h rhd r d ππ=+

记2(,)g r h r h V π=-

于是我们可以建立以下的数学模型:

min (,)

0,0

(,)0Vs r h r h s t g r h >>??=

其中Vs 是目标函数, (,)0g r h =是约束条件,V 是已知的.

对于问题3,此时易拉罐上部分为正圆台[2],下部分是一个正圆柱,如图2（源程序见附录）

设圆台的高为1h ,下部分圆柱盖底的半径为R ,同样可列出

图2

2211222111(,)[()]32()

(,)()()3Vs R h R r R d r d R h h V R h h R r Rr R h h ππππ

π=++?++-=+++-

将6,12,0.01r h d === 代

入上式,得

211(,)[(6)]0.01 1.082(12)0.01Vs R h R R R h πππ=++?++-?

22111(,)(366)(12)3V R h h R R R h π

π=+++-

记

22111(,)(366)(12)3f R h h R R R h V π

π=+++--

于是,我们建立以下的数学模型:

1min (,)Vs R h 10,0R h >> 1..

(,)0s t f R h = 其中Vs 是目标函数,1(,)f R h 是约束条件,V 是已知的

对于问题4,我们设计的易拉罐的形状是正椭圆柱形易拉罐.且长轴(a )与短轴的比是K ,即,a kb =.设S 为正椭圆柱形易拉罐表面积,V 为该易拉罐的容积,C 为椭圆的周长.同样,我们也可以列出

(,)2()S b n ab C a b H π=++

(,)V b H abH π=

其中

(,)4[1.5()C a b b a b π=≈+ a kb = 将C ，a 代入上面式子，得：

2(,)2[1.5(1)S b H k b bH k ππ=++-

2(,)V b H k b H π=

记2(,)U b H k b H V π=-

同理，我们可以建立数学模型

min (,)S b H 0,0b H >> ..(,)0s t U b H =

其中S 为目标函数，(,)U b H 是约束条件，V 是已知的。

六、模型的求解与检验

问题1的求解：

实际测量的355ml 可口可乐易拉罐各部分的尺寸如图表1

图表1

问题2，问题3，问题4的求解的思路是：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的元条件极值问题[3]，对于一元函数，我们可以对一元函数的极值问题进行求解。

问题2的求解和检验：

对问题2所建立的数学模型进行求解，得：

1 6.1/2412.2

r h ==与实际测量的数据一致。 为检验这个r 确实使Vs 达到极小，计算Vs 的二阶导数3

''4[2(1)2]V Vs b a r π=++由r>0，知 ''V >0，从而，这个r 能使Vs 达到局部极小。

问题3的求解和检验：

对问题3所建立的数学模型进行求解，得：

1 1.1 1.0h cm cm =≈， 3.4 3.3R cm cm =≈与实际测量的数据基本吻合。

用上检验法，对Vs 求二阶导数，易知 1''0(0,0)V h R >>>由，这组解能使S 达到局部极小。

问题4的求解与检验：

对问题4进行求解，得b H =也用上面的检验法，对S 求二阶导易知''S >0(由0,0b H >>),从而b 和H 是值能使S 达到局部极小。

这就是本文用所建模型设计的正椭圆柱形易拉罐的尺寸和比例

（以上计算过程均由Mathematica 软件[4]完成）

七、模型的应用与推广

生活中的优化规划问题处处存在。由此，我们经过研究，得出一个最优化的模型。其实人们正在不知不觉间应用这个模型，比如茶杯，水杯的设计，玻璃啤酒瓶形状以及商品的包装箱设计等问题。同时，我们也可以根据本模型设计出许多更具有新颖性的事物。因此，本模型可以在生活和生产实际得到更为广泛的应用和推广。

八、模型的评价与改进

本文将容积的优化问题从理论上建立了一个数学模型，忽略了实际情况中的一些因素。实际情况中顶盖的四周有一个高约0.5cm 的凸起。而底盖也不是一个圆面，而是一个类似球冠的曲面。凸起的作用是增加视觉效果，迎合消费者的心理，给消费者一种易拉罐容积很大的错觉。底盖为曲面的作用是减少底面接触物体对易拉罐的冲撞，防止对底面大面积的冲撞而发生爆炸。对模型的改进可以从这两方面进行考虑。

我的“数学建模”认识

随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人

的生产、工作和社会活动中。数学建模也在教育界以及生活中得到了越来越广泛的普及。那么，什么是数学建模呢？我谈谈自己的看法。

用数学去解决实际问题还需要在实际问题和数学理论和方法之间搭建桥梁，数学建模就是桥梁之一。确切地说，数学建模[5]就是通过对实际问题的分析，通过抽象和简化，明确实际问题中最重要的变量和参数，通过某种“规律”建立变量和参数间的数学问题（我们也可以把实际问题“翻译”为数学问题，或称之为这一简化阶段的一个数学模型），在用精确或近似的数学方法求解之，然后把数学的结果“翻译”成普通又能懂的语言，并用现场实验数据或历史记录或其他手段来验证结果是否符合实际并用来解决实际问题，这样的过程的多次执行和完善就是数学建模的全过程。这就是数学建模。

这是参考专家的说法，我认为数学建模就是将实际问题转化成数学问题的思想去解决，然后再将这种数学思想运用到实际中去，也就是我们平时所说的，“从实践中来到实践中去”的思想。

具体来说，数学建模的一般步骤[6]是：（一）模型准备。（二）模型假设（三）模型构成（四）模型的求解（五）模型的分析（六）模型的检验（七）模型的应用几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，在从数学模型回到现实对象的循环。

难点是模型假设，关键步骤模型的构成，也即模型建立。

根据对象的特征和模型目的，抓住问题的本质，忽略次要因素做出必要的合理的假设。假设的不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型，假设过分详细，会使很难或无法继续下一步工作。

模型的建立是很关键的。它用将普通语言表达的实际问题的主要方面用数学的语言表述为明确的数学问题，然后用数学的方法去解决去实现它们。

建模给我们的体会是永远无穷的。“只有参加了建模，你才会认识到你的知识有多少的贫乏，你才会体会到世界是多么的精彩，数学有多精彩”这应该是所有参加建模人的共同感受。

的确，数学建模所涉及的问题是异常丰富多彩的。很多问题情形我们从来都没有听说过，因此为了解决问题，我们会集中精力，强化学习这方面的知识，这种能力的培养可以增加我们应对生活中突发紧急情况的能力。当我们对某一问题困惑时，通过查阅资料，或脑子里灵感闪现而使这个问题豁然开朗。这时我们会产生极大的愉悦感和成功感。“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”我们也会感觉到解决问题是多么快乐的一件事啊！

建模就在我们生活中，建模又是艰辛的。生活中处处存在建模问题。易拉罐的优化设计问题正说明了这一点。一个好的模型是通过反复修改而做出来的，我们采用了由浅入深的思想.首先建立一个比较简单的模型，然后通过减少假设条件、多次修改、多次验证，最后得到一个比较复杂的、精确较高的模型。“玉不琢不成器”精工细琢才能成就好的作品。我们的模型就是这样建立的。我们首先考虑易拉罐是正圆柱体的情况，然后再考虑易拉罐上面是正圆台，下面是正圆柱体的情况。

虽然参加数学建模不一定能取得好的成绩，但那种与人合作的精神，分析问题和解决问题的精神是我终生都受益的。

参考文献