2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设函数，若，则等于（）

A. 2

B. -2

C. 3

D. -3

【答案】C

【解析】

【分析】

对求导，令，即可求出的值.

【详解】因为，所以，

又因为，

所以，故选C.

【点睛】该题考查的是有关根据某个点处的导数，求参数的值的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，属于简单题目.

2.函数在点处的切线方程是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线方程．

【详解】函数y＝e x+x+1的导数为y′＝e x+1，

可得在点（0，2）处的切线的斜率为k＝2，

即有切线方程为y＝2x+2．

故选：B．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．

3.下列导数运算正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由判断；由判断；由判断

判断；由判断.

【详解】根据题意，依次分析选项，

对于，，错误；

对于，，正确；

对于，，错误；

对于，，错误；故选B．

【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．

4.定积分的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由定积分公式可得，应选答案A。

5.函数的单调递增区间是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求出的导函数，令导函数大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集可得到的范围，即为函数的单调增区间.

【详解】因为函数，

所以，

由，可得，

故函数的单调递增区间为，故选A.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是一道中档题.求函数单调区间的步骤是：求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间.

6.函数在上的最大值是（）

A. -1

B. 1

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数研究函数f（x）在上的单调性，由单调性即可求得最大值．

【详解】由题可得，显然当时，，故函数在上单调递增，故函数在上的最大值为．故选D．

【点睛】本题考查利用导数研究函数在区间上的最值问题，属基础题，准确求导，熟练运算，是解决该类问题的基础．

7.已知函数，则（）

A. 是的极大值点

B. 是的极小值点

C. 是的极小值点

D. 是的极小值点

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的导函数和极值的概念求解.

【详解】，令，得或；令，得.于是

是的极小值点，是的极大值点.故选B.

【点睛】可导函数在处取得极值的充要条件是,且在的左右两侧,的符号不同；如果的符号从的左侧到右侧由正变负，那么是的极大值；如果的符号从

的左侧到右侧由负变正，那么是的极小值.

8.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先由的图像判断出的单调性，进而可判断出结果。

【详解】由的图像可得：当时，，即；

当时，，即,

所以函数在0上单调递增，故选B.

【点睛】本题主要考查由导函数的图像判断函数的图像，属于基础题型.

9.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导，先求函数得单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得实数a的取值范围.

【详解】，解不等式，得，

即函数的单调递减区间为，

又函数在区间上单调递减，

则，即且，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

10.已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（）

A. 1

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.

详解：联立方程：可得：，，

即交点坐标为，，

当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：

，

整理可得：，则，

同理，当时计算可得：.

本题选择D选项.

点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；

(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.

11.若存在正实数使成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将不等式转化为在区间上有解，求最小值，得的取值范围

【详解】存在正实数使成立，即在区间上有解，令，

，所以在区间上单调递增，所以，又在区间上有解，所以，选择A

【点睛】不等式的存在性成立问题或恒成立问题可以进行参变分离，转化为函数的最值问题求解

12.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

函数有两个零点，等价于的图象与轴有两个交点，利用导数研究函数的单调性性、求出最小值，令最小值小于零即可得结果.

【详解】∵函数有两个零点，

所以的图象与轴有两个交点，

∴函数，

当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数；

故当时，函数取最小值，

又∵，；

∴若使函数有两个零点，则且，即，故选B．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及零点，属于中档题. 函数零点的几种等

价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根

函数与的交点.

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知，，则等于______．

【答案】

【解析】

【分析】

求函数的导数，利用方程关系进行求解即可．

【详解】函数的导数，

，

，则，

，

故答案为：1

【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件求出函数的导数，解方程是解决本题的关键．

14.如图所示，阴影部分为曲线与轴围成的图形，在圆：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为___．

【答案】

【解析】

分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线与轴围成的图形的面积，利用几何概型求出概率.

详解：由题圆：的面积为曲线与轴围成的图形

的面积为故该点取自阴影部分的概率为.

即答案为.

点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.

15.过曲线上一点处的切线分别与轴，轴交于点、，是坐标原点，若的面积为，则_．

【答案】

【解析】

【分析】

求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．

【详解】由题意可得y0=x0﹣，x0＞0，

∵y′=1+，

∴切线的斜率为1+，

则切线的方程为y﹣x0+=（1+）（x﹣x0），

令x=0得y=﹣；

令y=0得x=，

∴△OAB的面积S=，

解得x0=（负的舍去）．

故答案为：

【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

16.已知函数，如果函数在定义域内只有一个极值点，则实数的取值范围是___．

【答案】

【解析】

【分析】

求函数的导数，由解得或，利用导数研究函数的单调性，讨论方程

根的情况，可得只有一个极值点时的取值范围.

【详解】函数，

，

令，解得或，

令，可得，

可得时，函数取得极小值，，

可得时，令，没有根，此时函数只有一个极值点1；

时, 有根，但不是极值点，

此时函数也只有一个极值点1 ,满足题意；

时，有解，函数有两个或三个极值点，不满足条件，舍去，

综上所述，实数的取值范围是，故答案为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是难题.求函数极值点的个数，不但要看方程根的个数，还得看根的两边导函数值的符号是否相反.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的极值．

【答案】（1）见解析（2）极大值为，极小值为

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，令导函数为0，求出两个根，分别令导数大于零，小于零，求得自变量的范围，从而确定出函数的单调区间；

（2）根据函数的单调性，从而确定出函数的极值.

【详解】（1）

令

当，即或，函数单调递增，

当，即，函数单调递减，

函数的单调增区间为和，单调递减区间为

（2）由（1）可知，当时，函数有极大值，即

当时，函数有极小值，即

函数的极大值为，极小值为

【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，灵活掌握基础知识是正确解题的关键.

18.已知函数，

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若，试求函数的最值．

【答案】（1）（2）.

【解析】

【分析】

（1）求得，将x=0代入和，求得斜率及M坐标，即可得切线方程；

（2）利用分析得到函数的单调性，再比较与，从而得到最值.

【详解】（1），所以，

故：，又，

所以函数在点处的切线方程为：；

（2）因为，由得：，

当时，；当时，；

∴函数在单调递增，在单调递减；

又，

故时，.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，综合考查了学生的计算能力，属于有难度的题目．

19.已知函数，．

（1）求该函数图象的切线经过点的方程；

（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积．

【答案】(1) 切线方程为或(2)

【解析】

【分析】

（1）设切点为，切线斜率，即可求得曲线在点处的切线方程，把点代入解出即可；（2）联立函数与直线的方程，从而可得函数的图象

与直线所围成的封闭图形的面积：，利用微积分基本定理即可得出．

【详解】（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入，得或，所

以切线方程为或.

（2）由或

所以所求的面积为.

【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何

意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.

20.已知函数，

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若，求在区间上的极大值与极小值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）极大值，极小值.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间；

（Ⅱ）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可.

【详解】（Ⅰ）的定义域为，当时，

，

，的单调递减区间为；

（Ⅱ），，

，在是增函数，在为减函数，在为增函数，

极大值，极小值.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，属基础题．21.设函数，，

（1）求函数的极值；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），无极大值；（2）。

【解析】

【分析】

（1）令f′（x）＝lnx+1，得x＝，分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调区间，判断出极值点．（2）在x＞0时，2f（x）

【详解】（1）∵，∴，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴，无极大值。

（2）若对，恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，

设，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴，

∴实数的取值范围是。

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

22.已知函数．

（1）证明：当时，恒成立；

（2）若函数在上只有一个零点，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析（2）或

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，得到函数的最小值为2，即可证明.

（2对a分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．

【详解】（1）f′（x）=，

令f′（x）=0，得到x=0,

当x<0时，f′（x）<0，单调递减，

当x>0时，f′（x）>0，单调递增, ∴在x=0处取得最小值.

,

∴.

（2）当a=0时，>0恒成立，无零点，与题意不符；

当a<0时，f′（x）=,在R上单调递增,

又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时，=e>0，

根据零点存在性定理，在R上有唯一零点，

当a>0时，f′（x）=

令f′（x）=，x=lna,

，f(x)单减，

，f(x)单增，

在x=lna处取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，

Lna=2，所以a=

∴当a<0或a=时，在R上有唯一的零点.

【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．