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2018级中考数学专题训练一材料阅读

1. 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数〃.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1, 2, 3, 2, I,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1, 2, 3, 2, 1,因此12321 是一个“和谐数〃，再加22, 545, 3883, 345543, 都是“和谐数"?

（1）请你直接写出3个四位〃和谐数〃；请你猜想任意一个四位“和谐数〃能否被11整除？并说明理由；（2）己知一个能被11整除的三位"和谐数〃，设其个位上的数字x （1W X W4, x为口然数），十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

2. "十字相乘法〃能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x, y的二次三项式來说，方法的关键是把J项系数a分解成两个因数％,血的积，即a=ai

(H2X+C2y)?

例：分解因式：x2 - 2xy - 8y2.

解：如图1,其中1 = 1X1,?8= ( -4) X2,而?2二以2+以(?4)?

?e. x - 2xy - 8y = (x - 4y) (x+2y)

而对于形如ax'+bxy+cy'+dx+ey+f的x, y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2,将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为笫二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b, pk+qj二e, mk+nj=d,即第1, 2列、第2, 3列和第1, 3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j) (nx+qy+k)；例：分解因式：x2+2xy -

3y2+3x+y+2

解：如图3,其中 1 = 1X1,?3二(?1) X3, 2=1X2；

而2=1X3+1X ( - 1), 1= ( - I) X2+3X1, 3=1X2+1X1；

/.x2+2xy - 3y?+3x+y+2二(x - y+1) (x+3y+2)

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)分解因式：

(1)6x2? 17xy+12y2= (3x - 4y) (2x ? 3y)

(2)2x2? xy - 6y2+2x+17y - 12= (x - 2y+3) (2x+3y - 4)

(3)x2 - xy - 6y2+2x - 6y= (x - 3y) (x+2y+2)

(2)若关于x,

y的二元二次式x2+7xy - I8y2 - 5x+my - 24可以分解成两个一次因式的积，求m的值.

3. 能被3整除的整数具有一些特殊的性质：

(1)定义一种輕被3整除的三位数战的“F"运算：把盂的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到—个新数?例如abc=213 时，贝IJ： 213^36(23+13+33=36)^243(33+63=243).数字111 经过三次"F〃运算得 , 经过四次吓〃运算得—,经过五次"F"运算得_,经过2016次〃F〃运算得_.

(2)对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如, 一个四位数，千位上的数字是a,百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除.你会证明这个结论吗？写出你的论证过程(以这个四位数为例即可). 4. 定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组.如(3, 6)为两个数的祖冲之数组，因为3X6能被(3+6整除)；又如(15, 30, 60)为三个数的祖冲之数组，因为(15X30)能被(15+30)整除，(15X60)能被(15+60)整除，(30 X60)能被(30+60)整除…

(1)我们发现，3和6, 4和12, 5和20, 6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n (n - 1)

(n>2, n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想.

(3)若(4a, 5a, 6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.

5. 如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1,那么我们把这样的自然数叫做“妙数"?例如：321, 6543, 98,...都是"妙数".

（1）_____________________________________________________ 若某个"妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数〃为______________________________________ .

（2）证明：任意一个四位〃妙数〃减去任意一个两位“妙数〃之差再加上1得到的结果一定能被11整除. （3）在某个三位“妙数〃的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A, 且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n,使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由.

6. 连续整数之间有许多神奇的关系，

如：32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的止整数组为“奇幻 数组〃，进而推广：设三个连续整数为a, b, c (a

若a 2+b 2=c 2,则称这样的正整数组为“奇幻数组〃；

若a 2+b 2

若a 2+b 2>c 2,则称这样的正整数组为“梦幻数组〃.

(1) 若有一组正整数组为“魔幻数组〃，写出所有的“魔幻数组

(2) 现有几组“科幻数组〃具有下面的特征：

32+424-52,O . 25 ；

102+112+122+132+142_O -------- 365 =2；

2详+222+232+242 + 252+262+27 2」

2030 ；

由此获得启发，若存在n (7

若有3个连续整数: 若有5个连续整数: 若有7个连续整数:

7.我们对多项式x2+x - 6进行因式分解时，可以用特定系数法求解.例如，我们可以先设X2+X-6= (x+a) (x+b),显然这是一个恒等式.根据?多项式乘法将等式右边展开有：x2+x - 6= (x+a) (x+b) =x2+ (a+b) x+ab 所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=l, ab= - 6,解得a=3,匕二?2或者沪-2, b=3.所以x?+x?6= (x+3) (x -2).当然这也说明多项式x2+x?6含有因式：x+3和x?2?

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法.利用上述材料及示例解决以下问题.

(1)己知关于x的多项式x2+mx - 15有一个因式为x-1,求m的值；

(2)已知关于x的多项式2X3+5X2?x+b有一个因式为X+2,求b的值.

&阅读下列材料解决问题：

材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1, 3, 6, 10, 15, 21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数.

把数1, 3, 6, 10, 15, 21.??换一种方式排列,即

1 = 1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

? ? ?

从上而的排列方式看，把1, 3, 6, 10, 15,...叫做三角形数“名副其实"?

（1）设第一个三角形数为a1 = l,第二个三角形数为a2=3,第三个三角形数为巧二6,请直接写出第n个三角形数为如的表达式（其中n为正整数）.

（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由. （3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由.

9.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为"麻辣数〃.女口：2=13 -（?1）彳，26=33 - I3,所以2、26均为"麻辣数〃.

【立方差公式『-b3= （a - b）（a2+ab+b2）］

（1）请判断98和169是否为“麻辣数〃，并说明理由；

（2）在小组合作学习中，小明提出新问题："求出在不超过2016的自然数中，所有的，麻辣数,之和为多少？〃小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+l表示…，再结合立方差公式…〃，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程.

10?下而是某同学对多项式（x?? 4x+2）（x?? 4x+6） +4进行因式分解的过程.

解：设x2 - 4x=y

原式=（y+2）（y+6） +4 （第一步）

=y2+8y+16 （第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2 - 4x+4）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的—.

A、提取公因式B.平方差公式

C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底—?（填“彻底〃或“不彻底〃）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果—.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x?-2x）（X2-2X+2） +1进行因式分解.

11. 阅读材料：

材料一：对于任意的非零实数X和正实数k,如果满足邑为整数，则称k是X的一个“整商系数〃.

3

例如：x=2时，k二3= 竺Z=2,则3是2的一个整商系数；

3

x=2时，k二12=>贬X 2二g,则12也是2的一个整商系数；

3

16X(*) 1

x二丄时，“6=----------- =1,则6是丄的一个整商系数；

2 3 2

结论：一个非零实数X有无数个整商系数k,其中最小的一个整商系数记为k (x),例如k (2)二色

2 材料二：对于一元二次方程ax2+bx+c=O (aHO)中，两根x】，X2有如下关系：

X1+X2二?—；X1X2=—

a a

应用：

(1)k (―) = k (-—)=

2 — 2 —

(2)若实数a (a<0)满足k (2) >k (丄)，求a的取值范围？

a a+1

(3)若关于x的方程：x2+bx+4=0的两个根分别为Xi、X2,且满足k (xj) +k (x2)=9,则b的值为多少?

12. 定义符号min {a, b}的含义为：当a2b 时，min {a, b}=b；当a

(1) 求min {x2 - 1, - 2}:

(2) 已知min{x2 - 2x+k, - 3}= - 3,求实数k的取值范围；

(3) 已知当-2WxW3时，min{x2 - 2x - 15, m (x+1) }=x2 - 2x - 15.直接写出实数m的収值范围.

13. 对于非负实数舍五入〃到个位的值记为,即：当n为非负整数时，如果n-丄WxVn+丄,则

2 2

=n.女山<0> = <0.46>=0, <0.64> = <1.49> = 1, <3.5> = <4.28>=4,…试解决下列问题：

(1)填空：?=_______ 5为圆周率)；

②如果<2x - 1 >=3,贝9实数x的取值范围为_______ ；

(2)试举例说明：当x二___ , y= ____ 时，= +

(3)求满足=?x的所有非负实数x的值.

14.设a, b是整数，且bHO,如果存在整数c,使得a=bc,则称b整除a,记作b|a. 例如：?.?8二1><8, /. 1 |8；J ? 5=-5X1, /. - 5 I ?5； V10=2X5, /.2| 10?

(1) 若n|6, Mn为正整数，则n的值为_:

(4k _ 3》1

(2) 若7|2k+l,且k为整数，满足］k / ‘求k的值.

15?对于实数a、b,定义一种新运算"岀为：a?b=——,这里等式右边是通常的四则运算?例如：1?

a2+ab

3=-—?——丄

12+1X3 2

(1) 解方程(?2) ?x=l?x；

(2) 若x, y均为口然数，且满足等式y -5 —,求满足条件的所有数对(x, y).

(-l)?x

16.韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=O (a7^0)的两根分别为xi、X2，则xi+x2二-巴，X|*X2—，阅读a a 下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程-2X2+4X+1= 0的两根分别为XI、X2，求X12+X22的值.

解：该一元二次方程的△=b2 - 4ac=42 - 4X ( - 2) X 1=24>0 由韦达定理可得，X1+X2二-左二-—9—=2, X1?X2二C_ 1二-丄

a - 2 a ~ 2 2

X] +X2 =(X1+X2)- 2X1X2

=2—2X ( ■丄)

2

=5

然后解答下列问题：

(1) 设一元二次方程2X2+3X - 1=0的两根分别为X], X2，不解方程，求X12+X22的值；

(2) 若关于x的一元二次方程(k - 1) x2+ (k2 - 1) x+ (k - 1) 2=0的两根分别为a, P，且a2+p2=4,求k 的值.

17 ?阅读材料：

关于x的方程：

X+丄二C』的解为：X1=C, X2二丄

X C C

X-丄二c-丄(可变形为x+——二X ------- )的解为：X］二C, X2 X C X C

火+2二。异?的解为：X|=c, X2=—

X c c

X+色二■的解为：X1 二c, X2—

X c c

? ? ?

根据以上材料解答下列问题：

(1) ①方程x+丄二2』的解为 ____

x 2

②方程x?1+—^二2+丄的解为

x-1 2

(2) 解关于x 方程：x?一^―二(aH2)

x- 2 a-2

18?认真阅读下而的材料，完成有关问题.

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5?3|表示5、3在数轴上对应的两点Z间的距离:|5+3| = |5?（-3）丨，所以|5+3丨表示5、?3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=5?0|,所以|5丨表示5在数轴上对应的点到原点的距离.般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B 之间的距离可表示为|a-b|.

问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数X、?2、1,那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为—（用含绝对值的式子表示）.

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x-3 +|x+l|=6的x的所有值是_,②设|x-3| + |x+l|=p,当x 的值取在不小于?1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是_:当x 的值取在—的范围时，|x| + |x?2|的最小值是—.

问题（3）：求|x?3 + x - 2| + |x+l丨的最小值以及此时x的值.

问题（4）：若|x - 3 + x?2| + |x| + |x+l | 对任意的实数x都成立，求a的取值.

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参考答案与试题解析

一.解答题（共18小题）

1. （2015-重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为〃和谐数〃.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1, 2, 3, 2, 1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1, 2, 3, 2, 1, 因此12321是一个"和谐数〃，再加22, 545, 3883, 345543, 都是"和谐数".

（1）请你直接写出3个四位“和谐数〃；请你猜想任意一个四位“和谐数〃能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数〃，设其个位上的数字x （1W X W4, x为自然数），十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

【分析】（1）根据〃和谐数〃的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个"和谐数〃，设任意四位"和谐数〃形式为：正根据和谐数的定义得到a二d, b=c,则甜cd「10002+100b+10c+dJ0002H00b+10b+2=9ia+iOb 为正整

11 11 11

数，易证得任意四位“和谐数〃都可以被11整除；_

（2）设能被11整除的三位"和谐数"为：石L则第乙_101：：1如=99*+11薯2* _ y_gx+y+筝工为正整数.故y=2x （1W X W4, x为自然数）.

【解答】解：（1）四位“和谐数1221, 1331, 1111, 6666...（答案不唯一）

任意一个四位"和谐数"都能被11整除，理由如下：

设任意四位“和谐数"形式为：花则满足：

最高位到个位排列：a, b, c, d.

个位到最髙位排列：d, c, b, a.

由题意，可得两组数据相同，贝!1： a=d, b=c,

贝g abed _1000a+100l>+10c+d_10008+100b+10b+8_91屮iob 为正整数

、"T1 11 R 、’八

???四位"和谐数〃能被11整数，

又Ta, b, c, d为任意自然数，

???任意四位“和谐数〃都可以被11整除； _

（2）设能被11整除的三位“和谐数〃为：石L则满足：

个位到最高位排列：x, y, z.

最高位到个位排列：z, y, x.

由题意,两组数据相同,贝9： x=z,

故xyz二xyx=101x+10y,

故宼」止+ 竺二99时11也只-匚9x+y+匕为正整数.

11 11 11 11

故y=2x （1W X W4, x为自然数）.

【点评】本题考查了因式分解的应用.解题的关键是弄清楚“和谐数''的定义，从而写出符合题意的数.

个因数C1，C2的积，即C=C]?C2,并使ai*C2+a2*ci 正好等于xy 项的系数b,那么可以直接写成结果:ax~+bxy+c 『二 (ajx+ciy) (a2x+c2y ).

例：分解因式：x 2 - 2xy - 8y 2.

解：如图 1,其中 1 = 1X1, -8= ( -4) X2,而-2二 1X2+1 X ( -4).

X 2 - 2xy - 8y 2= (x - 4y) (x+2y)

而对于形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的x, y 的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如图2,将a 分解成 rrm 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq+叩=b, pk+qj=e, mk+nj=d,即第1, 2列、第2, 3列和第1, 3列都满足十字相乘规则,则原式二(mx+py+j) (nx+qy+k)； 例：分解因式：x?+2xy - 3y 2+3x+y+2

解：如图 3,其中 1 = 1X1,? 3=(? 1) X3, 2=1X2；

而 2=1X3+1X (? 1), 1= ( - I ) X2+3X1, 3=1 X2+1 XI ；

x 2+2xy - 3y 2+3x+y+2= (x ? y+1) (x+3y+2)

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

分解因式：

2 - 17xy+12y 2= (3x - 4y) (2x - 3y) -xy - 6y +2x+17y - 12= (x - 2y+3) (2x+3y - 4)

-xy - 6y +2x - 6y= (x - 3y) (x+2y+2) 若关于x, y 的二元二次式x 2+7xy - 18y 2 - 5x+my - 24可以分解成两个一次因式的积，求m 的值.

【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可：③同②的 方法分解；

(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出口值.

【解答】解:(1) ?6x 2- 17xy+12y 2= (3x-4y) (2x-3y),

(2)2x 2 ? xy ? 6y 2+2x+17y - 12= (x - 2y+3) (2x+3y ? 4),

③x? - xy - 6y 2+2x - 6y= (x - 3y) (x+2y+2),

故答案为)①(3x - 4y) (2x ? 3y),②(x - 2y+3) (2x+3y - 4),③(x - 3y) (x+2y+2),

(2)如图，

m=3X9+ (? 8) X ( - 2) =43

或 m=9X ( - 8) +3X (? 2)二-78.

【点评】此题是因式分解-十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是 选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解.

(2) 对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如, 一个四位数，千位上的数字是“，百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除.你会证明这个结论吗？写出你的论证过程(以这个四位 数为例即可).

【分析】(1)根据“F 运算〃的定义得到111经过三次“F 运算〃的结果，经过四次“F 运算〃的结果，经过五次"F 运算〃的结果，经过2016次"F 运算〃的结果即可；

①

②③

&2X2X

(2)首先根据题意可设a+b+c+d=3e,则此四位数1000a+100b+1 Oc+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d,即 3 (333a+33b+3c) +3e,所以可得这个卩4位数就可以被3整除.

【解答】(1)解:111￡3(13+13+13=3) 127 (33=27 )^351 (23+73=351)5153( 33+53+1 匸153) ￡ 153 (13+53+33= 153) ￡153 (33+53+13=153).

故数字111经过三次"F〃运算得351,经过四次“F〃运算得153,经过五次“F〃运算得153,经过2016次“F〃运算

得153.

(2)证明：设a+b+c+d=3e (e为整数),

这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d,

???1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3 (333a+33b+3c) +3e,

...1000 a+l 0 0b+l Oc+d二333a+33b+3c+e,

3

???333a+33b+3c+e是整数,

???lOOOa+lOOb+lOc+d可以被3整除.

故答案为：351, 153, 153, 153.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.同时考查了数的整除性问题.注意四位数的表示方法与整体思想的应用.

4. (2016?重庆校级二模)定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组.如(3, 6)为两个数的祖冲之数组，因为3X6能被(3+6 整除)；又如(15, 30, 60)为三个数的祖冲之数组，因为(15X30)能被(15+30)整除，(15X60)能被

(15+60)整除,(30X60)能被(30+60)整除…

(1)我们发现，3和6, 4和12, 5和20, 6和30...,都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n (n- 1) (n22, n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想.

(3)若(4a, 5a, 6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.

【分析】(1)根据祖冲之数组的定义，即可解决问题.

(2)首先判断出a是5, 9, 11的倍数，由此即可解决问题.

【解答】解：(1)Vn*n (n - 1) 4- [n+n (n - 1 ) ]=n2 (n - I) 4-n2=n - 1,

???n和n (n- 1) (n^2, n为整数)组成的数组是祖冲之数组.

(2)??4a?58_20a 30a 4a?6a_12a都曰.敕数

°' 11a —' 10a 仲心「

??』是5, 9, 11的倍数，

???满足条件的所有三位正整数a为495或990.

【点评】本题考查因式分解的应用，整数等知识，解题的关键是理解题意，题目比较抽象，有一定难度.

5. (2016?重庆校级一模)如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大],那么我们把这样的自然数叫做“妙数".例如：321, 6543, 98,...都是“妙数

(1)若某个"妙数〃恰好等于其个位数的153倍，贝U这个"妙数'为765 .

(2)证明：任意一个四位〃妙数〃减去任意一个两位"妙数〃之差再加上1得到的结果一定能被11整除.

(3) 在某个三位“妙数〃的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A, 且m 大于自然数A 百位上的数字，否存在一个一位自然数n,使得自然数(9A+n)各数位上的数字全都相 同？若存在请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)设这个“妙数〃个位数字为a,根据题意判断“妙数〃的尾位数，从而得知这个“妙数〃为3位数， 列出方程 100 (x+2) +10 (x+1) +x=153x,求解可得;

(2) 设四位“妙数〃的个位为X 、两位“妙数〃的个位为y,分别表示出四位“妙数〃和两位“妙数〃，再将四位“妙 数〃减去任意一个两位〃妙数"之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可；

(3) 设三位"妙数"的个位为 z,可知 A=1000m+llIz+210,继而可得 9 A+n=9000m+999z+1890+n= 1000( 9m+z+1) +800+90+n ?z,由-8Wn ? zW9、1000 (9m+z+l) <1000 (9X9+9+1) =91000 知其百位数一定是 8,且该 z+2知z8.9,即可得m 值，进一步即可得答案.

【解答】解：(1)设这个“妙数"个位数字为a, 若这个“妙数〃为4位数，则其个位数字最大为6,根据题意可知

这个“妙数〃最大为6X153=918,不合题意;

???这个"妙数"为3位数,根据题意得:100 (x+2) +10 (x+1) +x=153x,

解得：x=5, 则这个“妙数〃为765, 故答案为：765；

(2)由题意，设四位"妙数〃的个位为x,则此数为1000 (x+3) +100 (x+2) +10 (x+1) +x=llllx+3210, 设两位"妙数〃的个位为y,则此数为10 (y+1) +y=lly+10,

.llllx+3210- (lly+10)+l ll(101x-y) + 3201 f

、 .. -------------------------- = ------------------- 二lOlx - y+291,

11 11

???x 、y 为整数，

A101x-y+291也为整数， ???任意一个四位"妙数〃减去任意一个两位“妙数〃之差再加上1得到的结果一定能被11整除;

(3)设三位“妙数〃的个位为z,由题意，得：

A= 1000m+100 (z+2) +10 (z+1) +z= 1000m+111 z+210,

??? 9A+n=9000m+999z+1890+n =9000m+1000z+1890+n - z

= 1000 (9m+z+l) +800+90+n - z,

??F 、n 是一位自然数，0WzW9,且z 为整数，

- 8Wn - zW9,

V9A+n 的百位为 8,且 1000 ( 9m+z+l) W1000 (9X9+9+1) =91000, ???9A+n 为五位数，且9A+n=88888, .^1000(91^2+1)=88000

190+n - z=88 '

?\9m+z=87, n - z=? 2,

Vm>z+2,

- 2,

/.z=87 - 9m

m>&9,

Vm 是一个自然数，

m=9,

于是 z=6, n=4,

答：m=9, n==4?

数为5位数，若存在则该数为88888,从而得出 『1000(9昭 z+1)二住 00C (90+n 一 z=88 9m+z=87、n - z= - 2, 由m>

【点评】本题主要考查因式分解的应用及新定义下数字的规律，理解新定义是解题的根本，将9A+n分解成1000 (9m+z+l) +800+90+n-z并判断出其百位数是解题的关键.

6. (2016>重庆校级三模)连续整数之间有许多神奇的关系，

如：32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组"，进而推广：设三个连续幣数为a, b, c (a

若a2+b2=c2,则称这样的正整数组为“奇幻数组J

若a2+b2c2,则称这样的正整数组为“梦幻数组

(1)若有一组正整数组为"魔幻数组〃，写出所有的"魔幻数组々

(2)现有几组“科幻数组〃具有下面的特征：

2 2 2

若有3个连续整数：> 补+ 5心2；

25

若有5个连续整数：.1吒+11?+122+1 3,7+14=2；

365

若有7 个连续整数：212+222+232+2护 + 252+262+272=2；

2030

? ? ?

由此获得启发，若存在n (7

【分析】(1)根据"魔幻数组〃的定义，找出所有的"魔幻数组〃即可得出结论；

(2)根据规律找dln=9,设出这9个数，再根据“科幻数组〃的特征找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：(1)1, 2, 3及2, 3, 4.

(2)由己知可得：

32+42=52, 102+112+122=132+142, 212+222+232+242=252+262+272,...

故可知n=9,可设这9 个数为4, m - 3, m - 2, m - 1, m, m+1, m+2, m+3, m+4,则有：

(m - 4) 2+ (m - 3) 2+ (m?2) 2+ (m - 1) 2+m2= (m+1) 2+ (m+2) 2+ (m+3) 2+ (m+4) 2, 整理得：m2-40m=0,由题意m 不为0,故m=40,

???这9 个数为36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.

【点评】本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键.

7. (2015-重庆校级模拟)我们对多项式x2+x-6进行因式分解吋，可以用特定系数法求解.例如，我们可以先设x2+x - 6= (x+a) (x+b),显然这是一个fli等式.根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x - 6= (x+a)

(x+b) =x2+ (a+b) x+ab

所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=l, ab= - 6,解得a=3, b二?2或者沪?2, b=3.所以x2+x - 6= (x+3) (x - 2).当然这也说明多项式x2+x - 6含有因式：x+3和x?2.

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法.利用上述材料及示例解决以下问题.

(1) 已知关于x的多项式x2+mx - 15有一个因式为x - I,求m的值：

(2) 已知关于x的多项式2X3+5X2 - x+b有一个因式为x+2,求b的值.

【分析】(1)根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx - 15= (x - 1) (x+n) =x2+ (n - 1) x - n,所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；

(2)解答思路同(1).

【解答】解：(1)由题设知：x2+mx - 15= (x- 1) (x+n) =x2+ (n - 1) x - n,

故m=n - 1,? n二? 15,

解得n=15, m=14.

故m的值是14；

（2）由题设知:2X3+5X2 - x+b= （x+2）（2x+t）（x+k） =2x3+ （2k+t+4） x2+ （4k+2t+kt） x+2kt, A 2k+t+4=5, 4k+2t+kt= - 1, 2kt=b.

解得：k|—, k2= - 1.

2

- 2, （2=3?

.".b|=b2=2kt= - 6.

【点评】本题考查了解一元二次方程■因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能

力，题目比较好，但有一定的难度.

8. （2016*重庆校级一模）阅读下列材料解决问题：

材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1, 3, 6, 10, 15, 21...这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数.

把数1, 3, 6, 10, 15, 21...换一种方式排列，即

1 = 1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

? ? ?

从上面的排列方式看，把1, 3, 6, 10, 15,...叫做三角形数〃名副其实

（1）设第一个三角形数为a）= l,第二个三角形数为a2=3,第三个三角形数为a3=6,请直接写岀第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）.

（2）根拯（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第儿个三角形数？若不是请说明理由. （3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由.

【分析】（1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；

（2）66是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可；

（3）表示出的T表示后，利用拆项法整理判断即可.

【解答】解：（1）根据题意得：5为正整数）；

2

（2） 66是三角形数，理由如下：

当门（门+1） =66时，解得：n=ll或n=?12 （舍去），

2

则66是第11个三角形数；

（2）丁=丄+丄+丄+” ]-+ + --- _________________________________ =—-—+—-—+—-—+—-—+ +

-------------------------- =2 （1 - —-丄+丄-丄 + + 丄

1 3 6 15 …n（n+l） 1X

2 2X

3 3X

4 4X

5 …n（n+l） 2 2 3 3 4 …n

■丄）-2n

n+1 n+1 '

Tn为正整数，???0一丄_<1,