高等数学下考试题库(附答案)(1)
《高等数学》试卷1（下）
一 .选择题（ 3 分10）
1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量a i 2 j k ,b2i j ，则有（） .
A. a∥b
B. a⊥b
C. a,b
3D. a, b
4
3.函数y2x2y 21的定义域是（） .
x2y21
A.x, y 1 x2y 22
B.x, y 1 x 2y22
C. x, y 1 x2y 22 D x, y 1 x2y22
4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.
A. a b 0
B. a b 0
C. a b 0
D. a b 0
5.函数z x3y33xy的极小值是（） .
A.2
B.2
C.1
D.1
6.设z xsin y ，则z
＝（） . y 1,4
A.
2
B.
2
C.2
D.2 22
7.若p级数1收敛，则（） .
n 1 n p
A. p 1
B. p1
C. p1
D. p1
8.幂级数x n的收敛域为（） .
n 1 n
A.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1
x n
9.幂级数在收敛域内的和函数是（） .
n 02
1 B.
2 C.2 D.1
A.
1212
x x x x
10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）.
A.y ce x
B. y e x
C. y cxe x
D. y e cx
二 .填空题（ 4 分5）
1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为______________________.
2.函数z sin xy的全微分是 ______________________________.
3.设z x3 y 23xy3xy 1 ，则 2 z_____________________________.
x y
1
的麦克劳林级数是 ___________________________.
4.
2x
5.微分方程y 4 y 4 y 0 的通解为_________________________________.
三 .计算题（ 5 分6）
1.设z e u sin v ，而 u xy, v x y ，求z , z.
x y
2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y2z24x2z 5 0 确定，求z ,z .
x y
3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x 2y242.
D
4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.
5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 条件下的特解.
四 .应用题（ 10 分2）
1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？
1 2..曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的
2 倍，且曲线过点1,，
3
求此曲线方程
.
试卷 1 参考答案
一 .选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2x
y 2 z 6 0.
2. cos xy ydx xdy .
3. 6x
2
y 9 y 2 1 .
4.
1 n
x
n
.
n 1
n 0
2
5. y C 1 C 2 x e 2 x
.
三 .计算题
1.
z e xy
y sin x
y
cos x y ，
z e xy x sin x y cos x y .
x
y
2.
z 2 x , z 2 y . x
z 1 y
z 1
2
2
sin
d 6 2
.
3.
d
4. 16
R 3 .
3
5. y e 3 x e 2x .
四 .应用题
1.长、宽、高均为 3 2m 时，用料最省 .
2. y
1 x
2 .
3
《高数》试卷 2（下）
一 .选择题（ 3 分 10）
1.点 M 1 4,3,1 ， M 2 7,1,2 的距离 M 1 M 2 （ ） .
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
2.设两平面方程分别为
x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（
）.
A. B. C.
3D.
642
3.函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .
A.x, y 0 x 2y21
B.x, y 0 x 2y21
C. x, y 0 x2y 2
D. x, y 0 x2y2
2
2
4.点P1,2,1 到平面x 2 y2z50 的距离为（）.
A.3
B.4
C.5
D.6
5.函数z2xy3x2 2 y 2的极大值为（） .
A.0
B.1
C.1
1 D. 2
6.设z x23xy y 2，则z1,2（） .
x
A.6
B.7
C.8
D.9
7.若几何级数ar n是收敛的，则（） .
n 0
A. r1
B. r1
C. r1
D. r1
8.幂级数n 1 x n的收敛域为（）.
n0
A.1,1
B.1,1
C.1,1
D.1,1
9.级数sin na是（） .
n 1
n4
A. 条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.不能确定
10.微分方程xy y ln y0的通解为（）.
A. y e cx
B.y ce x
C. y e x
D. y cxe x
二 .填空题（ 4 分5）
x3t
1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线y t平行，则直线 l的方程为 __________________________.
z12t
2.函数z e xy的全微分为___________________________.
3.曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.
1
的麦克劳林级数是 ______________________.
4.
1 x2
5.微分方程xdy 3 ydx0 在y x 11条件下的特解为 ______________________________.
三 .计算题（ 5 分6）
1.设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.
2.设z u2 v uv2，而 u x cos y,v x sin y ，求z ,z .
x y
3.已知隐函数z z x, y由 x33xyz 2 确定，求z ,z .
x y
4.如图，求球面x 2y 2z24a 2与圆柱面 x 2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.
5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.
四 .应用题（ 10 分2）
1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和x 4 所围图形的面积.
2.
如图，以初速度v0
将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律
x x t .
d 2 x
g .
（提示：当 t 0
dt 2
时，有 x x0，dx
v0）dt
试卷 2 参考答案
一.选择题 CBABA CCDBA.
二 .填空题
x 2y 2 z1
1..
112
2.e xy ydx xdy .
3. 8x8 y z 4 .
4. 1 n x2n.
n 0
5.y x3.
三 .计算题
1. 8i 3 j2k .
2.z3x2sin ycos y cosy sin y ,z2x3sin ycosy sin y cosy x3sin3y cos3y.
x y
z yz z xz
3.x xy z2,
y xy z2
.
4.32 a32.
3 2 3
5.y C1 e 2 x C2 e x.
四 .应用题
16
1..
3
1 gt2
2. x v0t x0.
2
《高等数学》试卷3（下）
一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1、二阶行列式2-3的值为（）
45
A 、10B、20C、 24D、22
2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）
A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k
3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）
A 、2B、 3C、 4D、 5
4、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）
4
A 、 2 ,2
,B、 2 ,2C、
2222
5、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z
分别为（）
x y 22 D 、2 2 , 2222
A 、x R
,y B 、x R ,y C、x R , y D、
x R
,
y z z z z z z z z
6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2的薄板的质量为（）（面积 A=R 2）
2B、2212
A、R A2R A C、3R A D、R A
2
7、级数(1)n x n
）n
的收敛半径为（
n 1
A 、2B、1
C、 1
D、 3 2
8、 cosx 的麦克劳林级数为（）
A 、( 1)n
x 2n
B、( 1)
n x 2n C、( 1)n x 2 n D、( 1)n
x2n 1 ( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!
n0n1n 0n 0
9、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）
A 、一阶
B 、二阶C、三阶D、四阶
10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）
A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1 D 、 1，-2
二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）
1、直线 L1： x=y=z 与直线 L ：
x
1y3z的夹角为
___________。
221
直线 L 3：x 1
y 2
z
与平面 3x 2y6z 0之间的夹角为____________。212
2、（ 0.98）2.03的近似值为 ________,sin100的近似值为 ___________。
3、二重积分 d , D : x 2y 21的值为___________。
D
4、幂级数n
x n
n! x 的收敛半径为__________，的收敛半径为 __________。
n0n 0
n!
5、微分方程 y`=xy 的一般解为 ___________，微分方程 xy`+y=y2的解为 ___________。
三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=17
2x-5y+3z=3
x+7y-5z=2
2、求曲线x=t,y=t 2,z=t3在点（ 1，1， 1）处的切线及法平面方程.
3、计算xyd，其中 D由直线
y 1, x2及
y
x围成.
D
4、问级数( 1)n sin 1 收敛吗若收敛
，则是条件收敛还是绝对收敛？n？
n 1
5、将函数f(x)=e 3x展成麦克劳林级数
6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解
四、应用题（本题共 2 小题，每题10 分，共 20 分）
1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。
2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫
做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为k）已知 t=0 时，铀的含量为M 0，求在衰变过程中铀含量M （ t）随时间t 变化的规律。
参考答案
一、选择题
1、D
2、C
3、C
4、A
5、B
6、D
7、C
8、 A
9、B
10,A
二、填空题
1、ar cos 2
, arcsin
8
2、 0.96， 0.17365 1821
3、л
4、0，+
x21
5、y ce 2, cx1
y
三、计算题
1、-32-8
解：△=2-53=（-3）× -5 3-2× 2 3 + （-8 ） 2 -5 =-138 17-57-51-5
172-8
△ x=
3-53=17 ×-53-2
×33 +
（-8 ）× 3 -5 =-138
2
7 -5 7 -5 2 -5
2 7
同理：
-3 17 -8
△y=
2 33=276,
△ z= 414
1 2 -5
所以，方程组的解为 x
x
1, y y
2, z z
3
2、解：因为 x=t,y=t
2
,z=t 3,
所以 x t =1,y t =2t,z t =3t 2，
所以 x t | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3
故切线方程为：
x 1 y 1
z 1
1
2
3
法平面方程为： （ x-1 ） +2(y-1)+3(z-1)=0
即 x+2y+3z=6
3、解：因为 D 由直线 y=1,x=2,y=x 围成， 所以
D ：
1≤ y ≤ 2
y
≤ x ≤ 2
2 2
2
3
xyd
(2 y
y
)dy 1
1
故：
[ y xydx]dy
1
D
1
2
8
4、解：这是交错级数，因为
Vn sin 1 0， 所以 ， Vn 1 Vn, 且 1
，所以该级数为莱布尼兹 型级数 ，故收敛 。
n lim si
n
1
sin
1
1
发散，从而 1
发散。
当x 趋于 时 ， x
x ，
， n
，又级数
sin
又
所以
n 1
5
sin
sin
~
lim
n
n
n 0
1 1
n 1
n
n 1
n
所以，原级数条件收敛 。
e w
1 x
1 x
2 1 x
3 1 x n 、解：因为
2! 3!
n!
x ( ,
)
用 2x 代 x，得：
e2 x 1 (2 x)1
( 2x) 2
1
(2x) 3
1
( 2x) n 2!3!n!
1
22
x2
23
x3
2 n
x n 2x
3!n!
2!
x (, )
6、解：特征方程为r2+4r+4=0
所以，（ r+2 ）2=0
得重根 r1=r2=-2 ，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x ,y2=xe-2x 所以，方程的一般解为y=(c 1+c2x)e-2x
四、应用题
1、解：设长方体的三棱长分别为x， y， z
则2（xy+yz+zx ）=a2
构造辅助函数
F（ x,y,z） =xyz+( 2xy 2yz 2 zx a 2 )
求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：
yz+2 (y+z)=0
xz+2 (x+z)=0
xy+2 (x+y)=0
与2(xy+yz+zx)-a 2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零
可得 x=y=z
代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=6a
6
所以，表面积为2而体积最大的长方体的体积为6a3
a V xyz
36
2、解：据题意
dM
dt
M
其中0为常数
初始条件 M t 0M 0
对于dM M
式dt
dM
dt
M
两端积分得 ln M t ln C
所以，M ce t
又因为 M t 0M 0
所以，M0C
所以，M M 0 e t
由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减。
《高数》试卷4（下）
一．选择题： 3 10 30
１．下列平面中过点（１,１ ,1）的平面是．
（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０（Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１（Ｃ）ｘ＝１（Ｄ）ｘ＝３２．在空间直角坐标系中，方程x2y2 2 表示．
（Ａ）圆（Ｂ）圆域（Ｃ）球面（Ｄ）圆柱面
３．二元函数 z (1x) 2 (1 y )2的驻点是．
（Ａ）（０ ,０）（Ｂ）（０ ,１）（Ｃ）（１ ,０）（Ｄ）（１ ,１）
４．二重积分的积分区域Ｄ是 1x 2y 2 4 ，则dxdy．
D
（Ａ）（Ｂ）4
（Ｃ）
3
（Ｄ）
15
５．交换积分次序后
1x
0 dx 0 f ( x, y) dy．
11111y x1
（Ａ） 0 dy
y f (x, y)d x（Ｂ）0 dy 0 f (x, y )dx（Ｃ）0 dy 0 f (x, y )dx（Ｄ） 0
dy
0 f ( x, y)dx
６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是．（Ａ）ｎ（Ｂ）０（Ｃ）ｎ！（Ｄ）１
７．对于元线性方程组，当~
ｎr
(A r A)r
时 ,它有无穷多组解 ,则．)(
（Ａ）ｒ＝ｎ（Ｂ）ｒ＜ｎ（Ｃ）ｒ＞ｎ（Ｄ）无法确定８．下列级数收敛的是．
（Ａ）( 1)n 1
n
（Ｂ）
3n
（Ｃ）
(1)n 11 n 12n
（Ｄ）
n 1n 1n 1n n 1 n
９．正项级数u n和v n满足关系式 u n v n，则．
n1n1
（Ａ）若u n收敛，则v n收敛（Ｂ）若v n收敛，则u n收敛
n 1n 1n1n1
（Ｃ）若v n发散，则u n发散（Ｄ）若u n收敛，则v n发散
n 1n1n1n1
１０．已知：11x x2，则1的幂级数展开式为．
1x 1 x2
（Ａ） 1x2 x4（Ｂ）1x2x4（Ｃ） 1 x2x4（Ｄ） 1 x2 x4二．填空题： 4 5 20
１．数 z x2y2 1 ln(2x2y2 ) 的定义域为．
２．若 f (x, y)xy ，则f (y
,1)．x
３．已知 ( x0 , y0 ) 是 f (x, y) 的驻点，若 f xx (x0 , , y0 )3, f yy( x0 , y0 )12, f xy (x0 , y0 ) a 则当时， ( x0, y0 ) 一定是极小点．
４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式 3 A A
５．级数u n收敛的必要条件是．
n 1
三．计算题 ( 一)：
6530
１．已知： z x y，求：z，z ．
x y
２．计算二重积分 4 x2 d ，其中 D {( x, y) | 0 y4 x2 ,0 x 2} ．
D
12
123
1
2 ，求未知矩阵Ｘ．
３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝
0，Ｂ＝01
21
01
４．求幂级数( 1)n 1x n
的收敛区间．
n 1n
５．求 f (x) e x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．
四．计算题 ( 二)：
10220
１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．
x y z 1
２．设方程组x y z 1 ，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解．x y z 1
参考答案
一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．
二．１． ( x, y) |1 x2y 22２．
y
３． 6 a 6 ４．２７５． lim u n 0 x n
四．1．解：z
yx y1
z
x y ln y
x y
2 4 x
2
2
x32
2．解： 4 x2 d0 dx 0 4 x2 dy 0 (4 x2)dx 4 x
D
3 0
16
3
127
102
3．解：B1012,AB1
24.
001
15
４．解： R1, 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1 时，得
( 1)n 1
收敛，n1n
当 x 1 时，得(1) 2n 11发散，所以收敛区间为
(1,1] . n n 1
n
n 1
５．解： .因为e x
x n
x (,) ,所以 e x
(x)n( 1)n
0 n!n!
x n x ( , ) . n n 0n 0
n!
i j k
四． 1．解： .求直线的方向向量 :
s121i
3
j k ,求点 :令 z=0,得 y=0,x=2, 即交点为 (2,0.0),所5
211
以交线的标准方程为
:.
x
2 y z
1 3
5
~
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1 1
1
1 1
1
1 1 0
1 1
0 0 1 1
0 2．解： A
1 1 1
1 1 1
0 1 1 2
1 0
(1 )(2
) 1
(1) 当 2 时 , r ( A)
~
3,无解 ;
2,(A)
(2) 当
1,
2 时 , r ( A) ~
3 ,有唯一解 : x
y
z
1 (A)
2
;
~
x 1
c 1 c 2
(3) 当
1 时 , r ( A) 1 ,有无穷多组解 :
y c 1
( c 1,c 2 为任意常数 )
( A)
z
c 2
《高数》试卷 5（下）
一、选择题（ 3 分/题）
1、已知 a i
j ， b
k ，则 a b （
）
A 0
B
i
j
C
i j
D
i j
2、空间直角坐标系中
x 2
y 2 1表示（
）
A 圆
B 圆面 C
圆柱面
D 球面
sin xy
）
3、二元函数 z
在（ 0，0）点处的极限是（
x
A 1
B
C
D 不存在
1
1
4、交换积分次序后dx
f ( x, y )dy =（
）
x
1
1
1
1
A
dy f ( x, y )dx
B
dy f ( x, y )dx
0 0
x 0
1
1
1
y
dy
dy f ( x, y )dx
C
f ( x, y )dx
D
y
5、二重积分的积分区域
D 是 x
y 1，则
dxdy （
）
D
A 2
B 1
C 0
D 4 6、 n 阶行列式中所有元素都是
1，其值为（
） A
B
1
C
n
D
n!
7、若有矩阵A3 2，B23，C
3 3 ，下列可运算的式子是（）
A AC
B CB
C ABC
D AB AC
8、 n 元线性方程组，当
~
r 时有无穷多组解，则（）r ( A ) r ( A )
A r=n
B r C r>n D无法确定 9、在一秩为 r 的矩阵中，任r 阶子式（） A必等于零B必不等于零 C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零 10、正项级数u n和v n满足关系式u n v n，则（） n 1n 1 A若u n收敛，则v n收敛B若v n收敛，则u n收敛n1n 1n1n 1 C若v n发散，则u n发散D若u n收敛，则v n发散n 1n1n 1n 1 二、填空题（ 4 分/题） 1、空间点 p（ -1， 2， -3）到xoy平面的距离为 2、函数f ( x, y )x2 4 y2 6 x8y 2 在点处取得极小值，极小值为 3、A为三阶方阵，A3，则A 0x y 4、三阶行列式x0z = y z0 5、级数u n收敛的必要条件是 n 1 三、计算题（ 6 分/题） 1、已知二元函数z y2 x，求偏导数z x ， z y 2、求两平面：x 2 y z 2与 2x y z 4交线的标准式方程。 x 2 3、计算二重积分2 dxdy ，其中D由直线x 2 ，y x 和双曲线xy 1 所围成的区域。 D y 2 2 3 4、求方阵 A1 1 0 的逆矩阵。 1 2 1 ( x 1 )n 5、 求幂级数 的收敛半径和收敛区间。 n 1 5n 四、应用题（ 10 分 /题） n 1 1 1、 判断级数 ( 1) n p 的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。 n 1 x 1 x 2 x 3 1 2、 试根据 的取值，讨论方程组 x 1 x 2 x 3 1 是否有解，指出解的情况。 x 1 x 2 x 3 1 参考答案 一 、选择题（ 3 分 /题） DCBDA ACBCB 二、填空题（ 4 分/题） 1、3 2、（ 3， -1） -11 3、 -3 4、 0 5、 lim u n 0 n 三、计算题（ 6 分/题） 1、 z 2 y 2x ln y ， z 2x y 2 x 1 x y x 2 y 0 z 0 2、 1 3 5 9 3、 4 4、A 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 5、收敛半径 R=3 ，收敛区间为（ -4， 6） 四、应用题（ 10 分 /题） 1、当p0 时，发散； 0 p1时条件收敛； p1时绝对收敛 2、当1且 ~ r ( A) 3 ，A0 ，方程组有唯一解； 2 时， r ( A) 当 ~ 3r ( A)2，方程组无解； 2 时， r ( A) 当 ~ r ( A)13，方程组有无穷多组解。 1 时， r ( A) 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．……………………………… 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月 2016年下半年《高等数学（下）》期末考试试卷及答案 (河南工程学院） 1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导且，则曲线 y=f(x) 在 点（ x 0, f(x0) ）处的法线的斜率等于（）(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 2. ( 单选题) 无穷小量是(本题 3.0分) A、比0稍大一点的一个数 B、一个很小很小的数 C、以0为极限的一个变量 D、数0 3. ( 单选题) 设函数，则其间断点的个数是（）。 (本题3.0分) A、0 B、 1 C、 2 D、 3 4. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 5. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 6. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 7. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题3.0分) A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 8. ( 单选题) 若，则f(x）=（）。(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 9. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题3.0分) A、正确 B、错误 10. ( 单选题) 曲线在点处的切线方程为(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 11. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、 1 B、-1 C、0 D、不存在 12. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 13. ( 单选题) 设，则( )。 (本题3.0分) A、 B、６x C、 6 D、0 14. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有 d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>； 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。高等数学下试题及参考答案
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