离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结(仅供参考)
1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤:首先应是陈述句;其次要有唯一的真值。
例:(1)我正在说谎。
不是命题。因为无法判定其真假值,若假设它为假即我正在说谎,则意味着它的反为真,即我正在说实话,二者相矛盾;若假定它为真即我正在说实话,则意味着它的反为假,
我正在说谎,二者也相矛盾。这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题
(2)x-y?>2。
不是命题。因为x, y的值不确定,某些x, y使x?y>2为真,某些x, y使x?y>2
为假,即x?y>2的真假随x, y的值的变化而变化。因此x?y>2的真假无法确定,所以x?y
>2不是命题。
2.命题可以分为两种类型:原子命题(不能再分解为更简单命题,又可称为简单命题);
复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题)
3.命题常元:一个命题标识符如果表示确定的简单命题,就称为命题常元
命题变元:如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志,就称它为命题变元
注:当命题变元P用一个特定的简单命题取代时,P才能确定真值,这时也称对P进行指派
4.联接词:(1)否定联接词:﹁假为真,真为假;还可以用“非”、“不”、“没有”、“无”、
“并不”等多种方式表示否定
(2)合取联接词:∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……
又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方
式表达合取
(3)析取联接词:∨一个为真就为真;一般用或表示
注:联结词∨是可兼或,因为当命题P和Q的真值都为真时,
其值也为真。但自然语言中的“或”既可以是“排斥或?”
也可以是“可兼或?”。
例晚上我们去教室学习或去电影院看电影。(排斥或)
例他可能数学考了100分或英语考了100分。(可兼或)
例刘静今天跑了200米或300米远。(既不表示“可兼或”
也不表示“排斥或”,它只是表示刘静所跑的大概路程,
因此它不是命题联结词,故例是原子命题。)
(4)蕴涵联结词: ? 前真后假才为假;还可以用当……则……、因为……所
以……、仅当、只有……才……、除非……才……、除非……、
否则非……表示
(5)等价联接词:? 同真同假才为真;还可以用当且仅当、充分必要表示
5.命题公式:1)单个命题变元是合式公式,并简称为原子命题公式;
2)如果A是合式公式,那么(﹁A)也是合式公式;
3)如果A, B都是合式公式,那么(A∧B ), (A∨B ), (A?B ), (A B )都是
合式
公式;
4)当且仅当有限次地应用1), 2), 3)所得到的包含命题变元、联结词和括号
的字
符串是合式公式。
根据定义可知,P, (﹁P ), (P ? (P∨Q )), ((﹁P∧Q )∧P ), ((P ? Q ) ?R )
都是命题公式。而 (∨P ), (P ?Q, (P ∨Q ) ? R )都不是命题公式。
6.n元命题公式:一个命题公式中总共包含有n个不同的命题变元
7. 1)若公式A是单个的命题变元,则称A为0层公式。
2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一:
(1)A=﹁B, B是n层公式;
(2)A=B∧C,其中B, C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j);
(3)A=B∨C,其中B, C的层次同(2);
(4)A=B?C,其中B, C的层次同(2);
(5)A=B?C,其中B, C的层次同(2);
3)若公式A的层次为k,则称A是k层公式。
例(﹁P∧Q)?R为3层公式。
(﹁(P?﹁Q))∧((R∨S) ?﹁P) 为4层公式。
8.真值表p17可分为重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式
9.逻辑等价:若对出现在A与B中的所有命题变元的任一组赋值,公式A和B的真值都相
同,则称公式A与B是逻辑等价或称逻辑相等,记作A B.
逻辑等价公式(熟记):1)双重否定 A﹁﹁A
2)幂等律A A∨A 、A A∧A
3)交换律A∨B B∨A、 A∧B B∧A
4)结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) 、(A∧B)∧C A∧(B∧C)
5)分配律 A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) (∧对∨的分配律)
6)德摩根律﹁(A∨B)﹁A∧﹁B
﹁(A∧B)﹁A∨﹁B
7)吸收律 A∨(A∧B) A
A∧(A∨B) A
8)零律 A∨1 1 、A∧00
9)同一律 A ∧ 1 A 、A ∨ 0 A
10)排中律A∨﹁A 1
11)矛盾律 A ∧﹁A0
12)蕴涵律 A→B﹁A∨B
13)等价律A B(A→B)∧(B→A)
14)假言易位律A→B﹁B→﹁A
15)等价否定律A ? B﹁A?﹁B
16)归谬律 (A→B)∧(A→﹁B)﹁A
10.逻辑蕴含:设A、B是任意公式,若A→B是重言式,则称A逻辑蕴涵B,记为A B
逻辑蕴含公式(熟记):1)附加律A (A∨B)
2)化简律(A∧B ) A 3)假言推理? (A→B)∧A B 4)拒取式?(A→B)∧﹁B ﹁A
5)析取三段论?(A∨B)∧﹁B A
6)假言三段论(A→B)∧(B→C)(A→C)
11.对偶:在给定的仅使用联结词﹁, ∧, ∨的命题公式A中,若把∧和∨互换,0和1互
换
而得到一个命题公式A*,则称A*是A的对偶式。
显然,A也是A*的对偶式;可见,A*和A互为对偶式且(A*)*=A
注:设A和B是两个命题公式,若A B,则A*B*
12.范式:1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式。
2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变元及它的否定式。
析取、合取范式:1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
3)析取范式与合取范式统称为范式。
主范式、极小值、极大值p35-p37
求主析取范式、主合取范式的四个方法:p37-39
13.有效结论:设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式,若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题
变元的任意一组赋值,
或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假,
或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时,B也为真,
则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的,并称B是有效结论。判断推理有效性的方法:(1)真值表法、(2)逻辑等价演算法、(3)主析(合)取范式法
14.命题演算推证的命题定律(9、10)和推理定律(熟记)p43
15.题演算推证由三个要素组成:推理根据、推理规则和证明方法。
1)推理根据?:命题演算推证的命题定律和推理定律;即主要指已知的基本逻辑等价式和 ?逻辑蕴涵式(见表)
2)推理规则:
(1)前提引入规则(P规则):在推证的任何步骤上都可以引入前提。
(2)结论引入规则(T规则):在推证的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
(3)附加前提规则(CP规则):若从A和B能有效地推出C,则从A可有效地推出B→C。(通常在结论为蕴涵式时使用)
例:构造下列推理的证明:
前提:(﹁P ? Q ),(P ?R ),(﹁Q∨S )
结论:S∨R。
证:(1) ﹁P →Q P
(2) ﹁Q∨S P
(3) Q→ S T (2) E
(4) ﹁P→ S T (1)(3) I
(5) ﹁S →P T (4) E
(6) P →R P
(7) ﹁S→R T (5)(6) I
(8) ﹁﹁S∨R T (7) E
(9) S∨R T (8) E
证毕
3)证明方法:a.直接证明法,如前例
b.反证法:设命题公式集合{A1, A2, …, Am}是相容的,那么从{A1,
A2, …,Am}出发可逻辑地推出结论B的充分必要条件是从{A1,
A2, …, Am,﹁B}可逻辑地推出一个矛盾式。
例:如果今天我没课,则我去机房上机或去图书馆查资料;若机房没有空机器,则我没法去上机;今天我没课,机房也没有空机器,所以我去图书馆查资料。
证:设P:今天我没课;
Q:我去机房上机;
R:我去图书馆查资料;
S:机房没有空机器
则上述语句可翻译为命题关系式: P→Q∨R, S→﹁Q, P, S R
(1) ﹁R P(结论的否定)
(2) P→Q∨R P
(3) P P
(4) Q∨R T (2)(3) I
(5) Q T (4)(1) I
(6) S →﹁Q P
(7) S P
(8) ﹁Q T (6)(7) I
(9) Q∧﹁Q T (5)(8) I
证毕
c)附加前提证法:由(S∧B)C证得S(B→C),就是前面提到的CP规则;其中
的B称为附加前提。
例:试证明(P∨Q) ∧(P→R)∧(R→﹁S) S→Q.
证: (1) P →R P
(2) R →﹁S P
(3) P →﹁S T (1)(2) I
(4) S CP
(5)﹁P T (3)(4) I
(6) P∨Q P
(7)Q T (5)(6) I
证毕
16.常见提醒解析p48-p50
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
离散数学必备知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义m n 2种不同的关系; 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性;
第一章知识点总结
第一章走进细胞 考点1 细胞是最基本的生命系统 1.两条重要的结论: (1)细胞是生物体结构和功能的基本单位 (2)生命活动离不开细胞(说明了细胞的重要性) 2.生命系统的结构层次 细胞—组织—器官—系统—个体—种群—群落—生态系统—生物圈(从小到大共9个层次) 总结 1.病毒没有细胞结构,必须寄生在活细胞中才能繁殖生存。(病毒无独立性) 2.“细胞是生物体结构和功能的基本单位”这个结论是[正确的] ,但是“一切生物体都是由细胞构成的”这句话是[错误的] ,因为病毒是没有细胞结构的 3.核酸、蛋白质不是生物,但它们是有生物活性的物质 4.不是每种生物都有9个结构层次,一般来说生物越高级,结构层次越多,越复杂。具体问题要具体分析5.高等植物的结构层次中,没有“系统”这个层次。 6.对于单细胞生物,如细菌,一般可以把它归入“细胞”层次,也可以归入“个体”层次 7.最基本的生命系统是细胞,最大的生命系统是生物圈 8.导管、木纤维是死细胞;筛管是活细胞 9.种群,强调所有同一种生物;群落,强调某特定区域的所有生物,包括所有的动物、植物、微生物;生态系统,强调所有生物+无机环境 考点2原核细胞与真核细胞 1.科学家根据细胞内有无以核膜为界限的细胞核 ............,把细胞分为真核细胞 ....和原核细胞 ....两大类 2.原核细胞与真核细胞的区别 类别原核细胞真核细胞 细胞大小较小较大 细胞核 无成形的细胞核,无核膜,无核仁, 无染色体(DNA部和蛋白质结合) 有成形的真正的细胞核,有核膜、核 仁和染色体 细胞质有核糖体 有核糖体、线粒体等,植物细胞还有叶绿体和液泡等 生物类群细菌、蓝藻真菌、植物、动物原核细胞与真核细胞的共性:都有细胞膜,细胞质,核糖体。遗传物质都是DNA. 3蓝藻
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是()
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
人教版数学七年级上册第一章知识点总结
第一章有理数知识点总结 正数:大于的数叫做正数。0 1.概念负数:在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注:0既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界线,是整数,一、正数和负数自然数,有理数。 (不是带“—”号的数都是负数,而是在正数前加“—”的数。) 2.意义:在同一个问题上,用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数:整数和分数统称有理数。 1.概念整数:正整数、0、负整数统称为整数。 分数:正分数、负分数统称分数。 (有限小数与无限循环小数都是有理数。) 注:正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和零统称为非负整数,负整数和零统称为非正整数。π是正数但不是有理数! 2.分类:两种 二、有理数⑴按正、负性质分类:⑵按整数、分数分类: 正有理数正整数正整数 有理数正分数整数0
零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 3.数集内容了解 1.概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素:原点、正方向、单位长度 2.对应关系:数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小:在数轴上,右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离:两点在原点的同侧作减法,在原点的两侧作加法。 “—”号)(注意不带“+” 代数:只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念(0的相反数是0) 几何:在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质:若a与b互为相反数,则a+b=0,即a=-b;反之, 若a+b=0,则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号:符号相同是正数,符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号:三个或三个以上的符号的化简,看负号的个数,当“—”号的个数是偶数个时,结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时,结果取负号 1.概念:乘积为1的两个数互为倒数。 (倒数是它本身的数是±1;0没有倒数) 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数,则a·b=1;反之,若a·b=1,则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数,则a·b=-1;反之,若a·b= -1则a与b互为负倒数。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 前言 广理期末考试即将打响,离散数学苦坏了信息技术学院的靓仔靓女们,当然作为文科生的凉城也是一天发量比一天少,小编呕心沥血从各大文库、教材等途径整理了离散数学知识点,如有错误欢迎指正。 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有个极小项或极大项,这为(0~-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法;
第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有个元素,|P(A)|==; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基数为mn,A到B上可以定义种不同的关系;
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y,按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对,记作
不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集,则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取
离散数学第八章一些特殊的图知识点总结
图论部分 第八章、一些特殊的图 8.1 二部图 二部图:定义设无向图G=
设M为G中一个匹配 v i与v j被M匹配: (v i,v j)∈M v为M饱和点: M中有边与v关联 v为M非饱和点: M中没有边与v关联 M为完美匹配: G的每个顶点都是M饱和点 定理(Hall定理) 设二部图G=
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定理中的条件称为t 条件. 满足t 条件的二部图一定满足相异性条件. 8.2 欧拉图 欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明: 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中
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离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
人教版高中政治必修一第一章知识点总结
第一单元、生活与消费 第一课、神奇的货币 考点一:货币的本质 知识点1:商品的基本属性 (1)商品的含义:用于交换的劳动产品(2)商品的基本属性:价值和使用价值。 ①价值是指凝结在商品中无差别的人类劳动。使用价值是指商品能够满足人们某种需要的属性。 ②使用价值和价值是商品的两个基本属性。(前者是自然属性,后者是社会属性) ③劳动产品不一定有价值,因为价值是商品特有的属性。第二,有使用价值的东西不一定有价值,因为有使用价值的东西不一定是商品。
备注补充: ④两者的关系:对立统一 统一:同时存在商品中,商品是两者的统一体。 对立:任何人都不能同时拥有两个属性。 A、使用价值是价值的物质承担者,作为商品,必然具有使用价值和价值,二者缺一不可,这是两者统一的表现。 B、对立表现在:商品生产者和购买者,对于商品的使用价值和价值二者不可兼得。商品生产者要想实现商品的价值,他必须把使用价值让渡给购买者,而购买者为了得到使用价值,也必须支付出相应的价值给生产者,当商品的使用价值和价值分离时,意味着交换实现。
知识点2:货币的产生与本质 ①货币的含义:从商品中分离出来固定地充当一般等价物的商品。 ②货币产生:物物交换—扩大的物物交换—一般等价物—金银固定充当一般等价物—货币产生。 ③货币的本质:是一般等价物。(其作用是表现其他一切商品的价值,充当商品交换的媒介) 知识点3:货币的基本职能——价值尺度和流通手段。 (1)、基本职能: ①价值尺度
A、含义:货币具有的表现和衡量其他一切商品价值大小的职能。 B、价格:通过一定数量的货币表现出来的商品价值叫做价格。 C、要求:执行这个职能只需要观念上的货币。 ②流通手段 A、含义:货币充当商品交换的媒介的职能就叫流通手段。 B、表现形式:商品—货币—商品。货币出现以后,商品交换包括了买和卖两个先后衔接的阶段。而以货币为媒介的商品交换叫做商品流通。 C、要求:货币执行这个职能必须用现实的货币。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={