极坐标系与极坐标方程

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直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。在平面内画两条直角坐标直角坐标互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。直角坐标中的点直角坐标中的点坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。坐标原点：两坐标轴的公共原点。象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。

极坐标极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。极坐标系到直角坐标系的转化：在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 极坐标的方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点

极坐标与极坐标方程

极坐标及极坐标方程的应用 1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐标已应用到各个领域。 1.1极坐标系的建立在平面内取一个定点0，叫作极点，引一条射线0X，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任意一点M，用表示线段0M的长度，表示从0X到0M的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M , ?若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。

直角坐标与极坐标的区别与转换

直角坐标求助编辑百科名片直角坐标系在数学中应用广泛，是数学大厦最重要的根基之一。目录定义相关参量编辑本段定义在平面内画两条直角坐标直角坐标互相垂直，并且有公共原点的数轴。其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。编辑本段相关参量直角坐标中的点

直角坐标中的点坐标：对于平面内任意一点C，过点分C别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X 轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点C的坐标。坐标平面：坐标系所在平面。坐标原点：两坐标轴的公共原点。象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限。极坐标极坐标系目录极坐标系极坐标系到直角坐标系的转化：极坐标的方程极坐标系极坐标系到直角坐标系的转化：极坐标的方程展开编辑本段极坐标系 polar coordinates 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他

每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。编辑本段极坐标系到直角坐标系的转化：在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值 x=ρcosθ y=ρsinθ 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标θ=arctany/x ( x不等于0) 在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians)；若y为负，则θ= 270° (3π/2 radians). 编辑本段极坐标的方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。圆方程为r(θ) = 1的圆。在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ ,其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标互化公在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①．方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周

坐标系及直角坐标与极坐标间的互化

课题：坐标系及直角坐标与极坐标间的互化【学习目标】 1.通过实例了解平面直角坐标系的建立与应用,掌握直角坐标系中的伸缩变换,并灵活地进行变换. 2.通过实例了解极坐标系的建立,会用极坐标表示极坐标系内的点,掌握极坐标的应用. 3.理解极坐标与直角坐标间的相互转化,掌握转化公式,并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化. 【重点难点预测】重点：极坐标的定义难点：直角坐标与极坐标间的互化【学法指导】小组合作、讨论交流【导学流程】一、创设情境为了得到函数y=2sin2x的图象,需把函数y=sinx的图象进行怎样的变换? 二、课前预习导学问题1:对上述函数图象进行伸缩变换,即先把函数y=sinx的图象上所有的点沿着,再沿着,即可得到函数y=2sin2x的图象. 问题2:平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义,设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换?:的作用下,点P(x,y)对应到点(x,y) P''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 问题3:极坐标系是如何建立的?点M的极坐标是如何定义的? 在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其(通常取方向),这样就建立了一个. 对于平面内任意一点M,用表示点M到极点O的距离,用表示以Ox为始边,以OM为终边的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序数对(ρ,θ)就叫作点M 的,记为. 问题4:直角坐标与极坐标如何互化? 将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为; 将点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为. 三、基础学法交流1.直角坐标P(10,5)按照伸缩变换公式 1 2 1 2 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 变换后的坐标是( ). A.P'(10,10) B.P'(5,10) C.P'(10,-5) D.P'(5,5) 2.将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为( ). A. 1 3 2 x x y y ?' = ? ? ?'= ? B. 1 2 3 x x y y ?' = ? ? ?'= ? C. 3 1 2 x x y y '= ? ? ? '= ?? D. 3 2 x x y y '= ? ?' = ? 3.点P 的直角坐标为(,那么它的极坐标可表示为. 4.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 1 2 1 3 x x y y ?' = ?? ? ?'= ?? 后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,其曲线方程是什么? 四、展示提升：图形的伸缩变换例一、求满足由曲线2x2-3y2=12变成曲线x2-y2=1的图形变换的伸缩变换. 极坐标例二、已知极坐标系中点(2,) 2 A π ,3) 4 B π,O(0,0),则△AOB为( ). A.等边三角形 B.顶角为钝角的等腰三角形 C.顶角为锐角的等腰三角形 D.等腰直角三角形

极坐标系与极坐标方程

一、坐标系 1、数轴它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。二、平面直角坐标系的伸缩变换定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>=>=). 0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三．例题讲解例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0；（2）x 2+y 2=1 三、极坐标系 1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到 OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用例1 写出下图中各点的极坐标 A （4，0） B （2 ） C （） D （） E （） F （） G （）规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。变式训练

极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理一、极坐标 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对 (,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ? =≠?? ，θ的象限由点(,)x y 所在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是；（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是；（3）圆心在点)2,(π a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是。 2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是；（2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是；三、常见曲线的参数方程

第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点】定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0) :'(0)x x y y λλ?μμ=>??=>?的作用下，点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义2：在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ 平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ ，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有： x x h y y k '=+??'=+? ，在平面直角坐标系中，由x x h y y k '=+??'=+?所确定的变换是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程；（II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．练习：

1.直角坐标系和极坐标系

数学选修4-4 坐标系和参数方程第一讲直角坐标系和极坐标系【基础知识】 1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3.平面直角坐标系中的伸缩变换 (0) (,){ (0) (,)(,)x x P x y y u y u P x y P x y λλφφ'=?>'=?>''定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点对到应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。 4．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。）设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。其中ρ称为极径，θ称为极角。约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 5.负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM = ρ。 M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 6．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和 (,)ρθ，则cos ,sin .x y ρθρθ==222,tan (0).y x y x x ρθ=+= ≠ 【典型例题】例1 求下列点经过伸缩变换'2, '3x x y y =??=?后的点的坐标：（1）（1，2）；（2）（-2，-1）. 【分析】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换：公式实行坐标之间的转化. 【解】（1）（2，6）；（2）（-4，-3）. 【点拨】利用伸缩(0) {(0) x x y u y u λλφ'=?>'=?>变换：公式是解决坐标与坐标之间、曲线与曲线之间变换的重要手段

极坐标系的概念教案

课题:选修4-4《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27）班执教时间：2016年06月18日一、教学目标： 1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，

引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。（1）学生阅读教材P8-P10页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示PPT对极坐标的概念作深入分析。极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。 2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) ρθ就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数． 3、典型例题例1 写出下图中各点的一个极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能

极坐标与极坐标方程精编版

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… M M 图1-2 图1-1 ，此时点的极坐标可以有两种表示方法：如图1-2M??????(1) ＞0，?，M?????，?，0(2) ＞M??????????，?，与同理，也是同一个点的坐标。???Zn?后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯又由于一个角加n2????????或0???2，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可一。但若限定，0?以一一对应了。曲线的极坐标方程1.2 ???????0，?来表示，这种方在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程，程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤：????，的坐标为；1°建立适当的极坐标系，并设动点M的集合；2°写出适合条件的点M?????0列方程，?3°；4°化简所得方程；°证明得到的方程就是所求曲线的方程。5三种圆锥曲线统一的极坐标方程： 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… yMO 图1-3为极轴，，以焦点为极点，的反向延长线过点作准线的垂线，垂足为FXFLKFFK????，M，垂，⊥建立极坐标系。设是曲线上任意一点，连结，作⊥FXMAMBMFL??MF. 足分别为．那么曲线就是集合BA，eM?p???MA????? COS?PMF??MAFK?P，由?BK，的距离到准线设焦点LF? 得e???cosp?ep?即??cos1?e时，方程表示椭这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当1e?0?方程表示开口向右的抛物线。是它的左准线。时，是它的左焦点，圆，定点定直线1e?LF是它的右准线。若允许时，方程只表示双曲线右支，定点是它的右焦点，定直线 1e?LF?，方程就表示整个双曲线。0?极坐标和直角坐标的互化1.3 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的把直角坐标系的原点作为极点，X??????，y x，，极坐标是长度单位，设是平面内任意一点，其直角坐标作，从点MM????. ，由三角函数定义，得⊥sinx?cos，?y OXMN 3 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

极坐标与参数方程题型及解题方法

一、复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？二、题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化

(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（）（t 为能数）解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，；对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程22 22 t t t t x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，() ()2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（）（t 为能数）

人教版数学高二人教A选修4-4数学 1.3极坐标系-简单曲线的极坐标方程教案

三、简单曲线的极坐标方程【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程 0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。 1．直线与圆的极坐标方程 ① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为 αθραθtan tan )(=∈=或R ②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ 【知识迷航指南】例1求（1）过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线。（2）过点)3 , 3(πA 且和极轴成 4 3π 角的直线。解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4 ,2(π A ，所以|MH|=224 sin =?π 在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4 ,2(π A 平行于极轴的直线为2sin = θρ。（2）如图，设M ),(θρ为直线l 上一点。 )3 , 3(π A ， OA =3，3 π= ∠AOB x

由已知4 3π=∠MBx ，所以125343π ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ= -=∠OAM 又θπ θ-= -∠=∠4 3MBx OMA 在?MOA 中，根据正弦定理得 12 7sin )43sin(3πρ θπ= - 又426)34sin(127sin +=+=πππ 将)4 3sin(θπ -展开化简可得23233)cos (sin += +θθρ 所以过)3 ,3(π A 且和极轴成 4 3π 角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ 〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角?AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=，这就是圆C 的方程。（2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。〔点评〕在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1）x y 42= （2）3 π θ= （3）12 cos 2 =θ ρ （4）42cos 2=θρ 解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得 θθρsin 4sin 2= （2）∵x y = θtan ∴ 33tan ==x y π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12 cos 1=+θ ρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。化简得 )1(42--=x y 。（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕（1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>

极坐标与参数方程知识讲解

极坐标与参数方程知识讲解文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

参数方程和极坐标系一、知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ??==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00? ??+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线： θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θ θec a y b x s tg ==） 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋

高中数学选修4-4：极坐标系与极坐标方程综合练习一

极坐标系与方程综合练习一（满分100分，考试时间：60分钟）一、选择题：（共6小题，每小题5分） 1．设点M 的直角坐标为(－1，－3)，则它的极坐标为 ( ) A ．(2，π3) B ．(2，2π3) C ．(2，4π 3) D ．(2，5π 3 ) 2．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为 ( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 3．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为 ( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝1 4 B ．x 2＋(y ＋12)2＝14 C ．x 2＋(y －12)2＝1 4 D ．(x －12)2＋y 2＝1 4 4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是 ( ) A ．(1，π 2 ) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 5．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π 6)作曲线C 的切线，则切线长为 A ．4 B.7 C ．22 D ．2 3 6．(2013·西城期末)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是 ( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 二、填空题：（共10小题，每小题5分） 7．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 8．在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π 6 )＝1的距离是________． 9．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π 6)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________． 10．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π 4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 12．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． 13．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________． 14．已知点M 的极坐标为(6，11π 6 )，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 15．在极坐标系中，点P (2， 3π 2 )到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．

极坐标与极坐标方程

极坐标及极坐标方程的应用 1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐标已应用到各个领域。极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫作极点，引一条射线OX ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫点M 的极径，θ叫点M 的极角，有序数对()ρθ，就叫点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ()ρθ，．若点M 在极点，则其极坐标为ρ=0，θ可以取任意值。