根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练
对于一元二次方程ax?+bx+c = 0(a式0)，当判别式心= b?_4ac兰0时，其求根公式为：％、=―' b——4ac
；当
2a
b c
.：_0时，设一元二次方程的两根为X「x2，有：x-i x2，x-i x2;根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的
a a
b c
逆定理也是成立的，即当x-i x2，x-i x2时，那么为、x2则是方程ax2bx c = 0(a = 0)的两根。一元二次方程
a a
的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，除了要
求熟记一元二次方程ax2 bx c =0(a =0)根的判别式厶二b2 -4ac存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程ax2 bx 0(^- 0)的两个根为、x2，进而分解因式，即ax2bx ? c = a(x-xj(x-x2)。下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于x的方程(1) X2 -(1-2a)x ? a2 -3 =0有两个不相等的实数根，且关于x的方程⑵x2-2x，2a-1=：0
没有实数根，问a取什么整数时，方程(1)有整数解？
分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a的取值范围中筛选符合条件的a的整数值。
解：
a的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定能和一
定的逻辑推理，从而筛选出a,这是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例2：不解方程，判别方程2x2?3x-7=0两根的符号。
判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中x1 x^：： 0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若为x2 0，仍需考虑x1 X2的正负，倘若x1 x2 ? 0，则方程有两个正数根；倘若x1 X2
：：：0，
则方程有两个负数根。
解：
说明：对于ax2 bx ^0(^=0)来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式
，
但匚只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定x1 x2或x1 x2的正负情况。因此解答此类题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定X1卷或x1 x2的正负情况。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例3：已知方程x2_6x ? m2_2m ? 5 = 0的一个根为2,分析：此类题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把求另一个根及m的值。
x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程办法求出
另
一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的
值。解法解法
2 2
例4：已知方程x - 2(m -2)x ? m 4 0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求m的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，即可求得m的值。
解：
说明：当利用根与系数的关系求出m后，还需注意使用韦达定理的必要条件丄_0,应舍去不合题意的m
四、运用判别式及根与系数的关系解
题。
例5:已知捲、X2是关于x的一元二次方程4x2? 4(m-1)x ? m2 =0的两个非零实数根，问治和x?能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。
解：
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根
的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力
试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，是重点练习的内容。
五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例6：已知：是方程x22^^0的两个实数根，求〉2八：「亠2〉的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：解法二：
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力。
六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
—一”.…、、"一2 —— 2
例7：已知两方程x -mx m= 0和x「(7m 1)x 13m *7=0至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：可设两方程的相同根为:-，根据根的意义，可以构成关于:-和m的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：
说明：本题的易错点为求解出关于
〉、m的二兀方程组后，忽略m对方程和判别式的讨论。
与韦达定理综合训练
一、填空题:
1、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根之差为2,那么k= ________________
2、 已知关于x 的一元二次方程(a 2 _1)x 2 _(a ?1)x ?1=0两根互为倒数，则a= ___________ 。
11
3 3、 已知关于x 的方程x 2 -3mx ? 2(m -1) =0的两根为捲、x 2，且
，则m= _______ 。
x 1 x 2
4
4、 已知 x 「x 2 是方程 2X 2-7X -4=0 的两个根，那么：X i 2 ? x ；二 ____________________________ ； (x , 1)( x 2 1) = ___________
5、 已知关于x 的一元二次方程 mx 2 _4x_6=0的两根为x 2，且x 1
x^ -2，则m= ______ ; (x 1 - x 2 )x 1
二 ________
6、 如果关于x 的一元二次方程x 2 ?2x ? a = 0的一个根是1 - , 2，那么另一个根是 _________________ ，a 的值为 __________ 。
7
、 已知2 , 3是x 4x ■ k = 0的一根，则另一根为 ____________________ ， k 的值为 ________ 。
8、 一个一元二次方程的两个根是 2 ? 6和2 一、. 6，那么这个一元二次方程为： ___________ 。
二、求值题：
1、已知X 2是方程2x 2 -3x-1 =0的两个根，利用根与系数的关系，求 xfx 2 XM 2的值。
2、已知X 1、X 2是方程3x 2 -2x-1 =0的两个根，利用根与系数的关系，求
(X 12
-x ；)2的值。
2
3、已知X 2是方程2x 3x -4 =0的两个根，利用根与系数的关系，求
5、已知关于x 的方程2x 2 -(m-1)x m ，1 = 0的两根满足关系式 洛- x 2 = 1，求m 的值及方程的两个根。
5 2 2 5
X-I
X 2
■ X -I x 2
的值。
4、已知两数的和等于 6,这两数的积是 4,求这两数。
6、已知方程x2 mx -4=0和x2「(m「2)x-16 = 0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
2
1、实数k为何值时，方程kx -2kx - (k -1) =0有正的实数根?
2 1
2、已知关于x的一元二次方程x2? (m -2)x m - 3 = 0
2
(1) 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
(2) 若这个方程的两个实数根捲、X2满足2x1 x2 m 1，求m的值。
4
3、若n -0，关于x的方程x2 -(m-2n)x mn = 0有两个相等的正的实数根，求的值。
4 n
4、是否存在实数k，使关于x的方程9x? _(4k_7)x+6k? =0的两个实根刘、X2，满足兰=?，如果存在，试求出满足
X2 2
条件的k的值，如果不存在，请说明理由。
一 2 2 1 1
5、已知关于x的一兀二次方程m x - 2(3 —m)x -1 =0(m = 0)的两实数根为为、x2，若m ，求m的值。
x1 x2
2 2mn + 4m+1
6、实数m n分别满足方程19m2+99m+1=0和19+99 n+n2=0,求代数式----------------------- 的值。
n
答案与提示：
一、填空题：
1、提示：，「门=只，…一一二 -,??? I I ' 4 , I I 一I I 4 ???—「—' ',解得：：-
a+1 1 1 . 慮+1 r T_ 1 x, + =-=——Xj =-=———=——=1 r J, + =—=——2、提示：…一八- ，由韦达定理得：I?'' - .■ , -C 一，???一「- ,解得：?「-，」-，代入
检验，有意义，\ ■ O
第十课判别式与韦达定理
第10课 判别式与韦达定理 〖知识点〗 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根 是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)． 〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如： 关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如： 设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
一元二次方程根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理 知识点一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． （1）当△>0?一元二次方程有2 个不相等的实数根；1x = 2x = （2）当△=0?一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a ==- （3）当△<0?一元二次方程没有实数根． 例1：下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0 B ．x 2+x +2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0 【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（ ）． A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是 知识点二、韦达定理 1．如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ? +=-????=?? ． 例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 知识点&例题
【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（ ） A ．1x + 2x =1 B ．1x ?2x =-1 C ．|1x |＜|2x | D ．21112 x x += 【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-3 2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形 ①()2 221212122x x x x x x +=+-； 例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2 21212124x x =x x x x -+-； 例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2 12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2 α-β= ． ③12x x =-± 例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21 5102 x x --=的两根，则12x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项-精选.
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项 一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况 .6232)3(;0123)2(; 0345)1(222x x x x x x =+=++=-- 题型2：证明一元二次方程根的情况 求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等 实根。 题型3：已知一元二次方程根的情况．． ，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2 －2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( ) A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．． ，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。 变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2 420x x k ++=有两个实数根，求k 的取 值范围及k 的非负整数．．．．值. 变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围 二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23- 是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。 题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程2 2430x x --=的两根，计算： （1）22 12 x x +； ⑵ 12 11 x x +；⑶ 212()x x - 变 式 ： 已 知 ,a b 是方程 2201230 x x -+=的两实根，求 22(20103)(20103)a a b b -+-+的值 题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程2 2(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于 9，求k 的 值
判别式韦达定理题型讲解
根的判别式 【典例1】.关于x 的方程10422 =-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 _____；k ＝______。 【典例2】.1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式 的值： （1）2 2 2 1x x +（2） 2 1x x -（3）22 22133x x x -+ 【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与 有一个相同的根，求k 的值。 【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 【典例5】已知方程 两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。
韦达定理 [典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________ [典例2]解方程组 [典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。 [典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。 [典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。
[典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根 （1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。 训练题 1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m． （1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值． 2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0， ③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0． （1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值．
判别式与韦达定理
第三讲判别式与韦达定理 教学容：判别式与韦达定理 教学目标： 1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况； 2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围； 3、理解并掌握韦达定理的定义； 4、熟练掌握一些常用代数式的变形； 5、能利用韦达定理构造一元二次方程； 6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。 教学重点： 1、△与方程根的关系； 2、韦达定理； 3、常用代数式的变形； 教学难点： 1、运用△求方程中参数的值或取值围； 2、常用代数式的变形； 教学方法：探究法、讲授法； 教学过程： 8:20~8:30:考勤，收发作业 8:30~8:50:进门考 第一课时8:50~9:20 一、讲评作业 二、导入新课 子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起
来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程： 定义 一元二次方程 特点 解 直接开方 解法 配方 公式 因式分解 2、举例复习四种方法： （1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0 （3） 2123 0234 x x +-= （4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式 三、探索新知： 1、回顾得出判别式的概念：24b ac ?=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式 2、算出下列一元二次方程的判别式 2223720230410 x x x x x x -+=-=++= 3、判别式与方程的根的关系 1,2120020x b x x a ?>?= -?=?==?
判别式与韦达定理的应用
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 龙泉二中 范积慧 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0))(021 ＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。
根的判别式韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理 知识点1.根的判别式 2 1.402 2.0204 3.,22ac b b ac b x x a a ? ?≠-????>???? ?=?????
1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02 =-x x 中，无实根的 方程是 。 2、已知关于x 的方程022 =+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。 3、下列方程中，无实数根的是（ ） A 、011=-+-x x B 、 762=+y y C 、021=++x D 、0232=+-x x 4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2 2 =+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43< m B 、m ≤43 C 、4 3>m 且m ≠2 D 、m ≥43 且m ≠2 5、在方程02 =++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是 （ ） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 7、 m 取何值时，方程()0112)2(2 2 =++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2） 有两个相等的实数根；（3）没有实数根 8、试证：关于x 的方程1)2(2 -=+-x m mx 必有实根。 9、已知关于x 的方程022 =-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、 n 的值。
根的判别式和韦达定理(根与系数的关系)精品!!
第 1 页 共 2 页 根的判别式和韦达定理（根与系数的关系） 应用：不解方程，根据系数看根的情况。 一般式ax 2 +bx+c=0（以正a 为标准，即二次项系数为负时，两边乘-1转为正， 这样减少错误，减少思考过程） 口诀，以正a 为标准的前提下， 常数项c ：是看两根符号的异同（两根关系，即是互异，还是同号） 大致情况 [注：互异指符号相反，但不一定是相反数] 一次项系数b ：是决定符号的正负。[注：同号时，b 决定同正还是同负] 具体情况 具体指明 互异时，b 决定正负值谁绝对值大] 例如：x 1,x 2同为正时，x 1+ x 2＞0 两根式：x 2 -(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 系数比式：02=++a c x a b x （系数比式：就是将二次项系数化为1，以a 作比后项） 形式比较：－（x 1+x 2）=b a (两根和与相邻系数比互为相反数) x 1x 2=c a (两根积与相隔系数比同号) 以正a 为标准，（是负转为正，减少思维过程，减少错误） X 1X 2=c a 是看两根符号的异同 c 为两根积象征 X 1+X 2=-b a 是看两根符号的正负。 b 为两根和象征 ①c ＞0 （符号同） ①b ＜0 和＞0 (同正)[注-b\a 为和] 积＞0 [注]中间(b)定符号，口诀a 大则b\两根和变化 [注]两边(a,c)看异同(两根异同) 方向相反，反之亦然 说明：a 大 b 小\两根(同为正） ②b ＞0(同负) b 大\两根(同为负）a 小… △＞0 ①b ＜0 和＞0 (正值的绝对值大) 不等实根 ②c ＜0 (符号异) ②b ＞0 和＜0 (负值的绝对值大) ③b=0(互为相反数) △≥0 ③互为倒数：X 1X 2=c a =1（即a=c ） 有两根 ④含有一个零根：c=0(积=0){一根为0，另一根为-b a b 小\和大：（0,根） 以正a 为标准
二次函数根的判别式韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义： 运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22 424b b ac x a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定． 判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用： 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题． 二、韦达定理 如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ， ，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=-- 比较等式两边对应项的系数，得 1212 b x x a c x x a ? +=-??? ??=??? ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ， 必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，
初二.判别式与韦达定理
[文件] sxjsck0006 .doc [科目] 数学 [关键词] 初二/ 判别式/韦达定理/方程 [标题] 判别式与韦达定理 [内容] 判别式与韦达定理 根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1． 判别式的应用 例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a 、b 、c 、R 、P 满足条件PR ＞1，Pc+2b+Ra=0. 求证：一元二次方程ax 2+2bx+c=0必有实根. 证明 △=（2b ）2-4ac.①若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra ），代入①，得 △ =（Pc+Ra ）2-4ac =（Pc ）2+2PcRa+（Ra ）2-4ac =（Pc-Ra ）2+4ac （PR-1）. ∵（Pc-Ra ）2≥0，又PR ＞1，a ≠0， （1）当ac ≥0时，有△≥0； （2）当ac ＜0时，有△=（2b ）2-4ac ＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax 2+2bx+c=0必有实数根. 例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A 是数 轴上的点，它的坐标是正数a.P 是数轴上另一点,坐标是x,x ＜a ，且OP 2=k ·PA ·OA. （1） k 为何值时，x 有两个解x1，x2（设x 1＜x 2）； 此处无图 （2） 若k ＞1，把x 1，x 2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解 （1）由已知可得x 2=k ·（a-x ）·a ，即 x 2+kax-ka 2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △ =k 2a 2+4ka 2=a 2k （k+4）＞0. ∵a ＞0， ∴k （k+4）＞0，故k ＜-4或k ＞0. （2）x 1＜0＜x 2＜a. 例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明y x y xy x +++-2 2不可能分解为两个一次因式之积. 分析 若视原式为关于x 的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 ).()1(2222y y x y x y x y xy x ++-+=+++- 将此式看作关于x 的二次三项式，则判别式 △ =.163)(4)1(222+--=+--y y y y y 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x ，y ，z 是实数，且x+y+z=a ，①.2 12222a z y x =++ ②
根的判别式与韦达定理
根的判别式ac b 42- 根的判别式的作用： ①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。 例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。 例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m 例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。 例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值. 例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根， （1）求k 的取值范围。 （2）化简4k 4k 2k 2+-+-- 针对练习： 1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。 2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）
A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根. 5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根. 6. 已知a 、b 、c 是ABC ?三条边的长，那么方程()04 2=+ ++c x b a cx 的根的情况是 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根，则m 为 , ⑵只有一个根，则m 为 。 例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。 考点六、根与系数的关系 ⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时， 才能用韦达定理。 ⑵主要内容： ⑶应用：整体代入求值。 几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+ ②()21212 21221x x x x x x x x +?=?+? ③()()()2212121a x x a x x a x a x +++?=++
二次函数与根的判别式韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题 【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围． 【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 讲点2：距离问题 【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D ，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m 是抛物线的顶点，已知CD 的值． 【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物 线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值． 讲点3：隐藏判别式
【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立． 【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 讲点4：交点间的距离 【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x 1 ， y 1），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 2 ）两点． （1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想． 【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式． 【练】如图，抛物线C 1 ：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物 线C 1沿y轴翻折得新抛物线C 2 ，过点C作直线l交抛物线C 1 于点M，交抛物线C 2 于 点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题
韦达定理(常见经典题型)
韦达定理(常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案
①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实
判别式与韦达定理(竞赛辅导)
判别式与韦达定理 根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1．判别式的应用 例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0. 求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根. 证明: △=（2b）2-4ac.① 若一元二次方程有实根， 必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra）， 代入①，得 △=（Pc+Ra）2-4ac =（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac =（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）. ∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0； （2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根. 例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA. （1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）； （2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.
解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即 x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0. ∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0. （2）x1＜0＜x2＜a. 例3证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明: 将此式看作关于x的二次三项式，则判别式 △= 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……① x2+y2+z2=1 2 a……② 求证：0≤x≤2 3a, 0≤y≤ 2 3 a, 0≤z≤ 2 3 a. 分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得 此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有 △ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0
复习根判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课 教学目标 (一)提高学生对于根的判别式的运用能力； (二)提高学生对于根与系数关系的运用能力. 教学重点和难点 重点：会用根的判别式及根与系数关系解题. 难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件. 教学设计过程 (一)复习 1.已知一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a≠0). (1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示) (2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质. (一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根. 反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0； 没有实数根时，△＜0) 2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=? (2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立? 3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练. (二)综合举例 例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根； (4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m 2-1）=8m+9 （1）当△=8m+9=0，即m= - 8 9 时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m ＞-8 9 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m ＜ -89时，方程没有实根. 例2 求证：关于x 的方程x 2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。
二次函数与根的判别式韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理 讲点1：公共点问题 【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围． 【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 讲点2：距离问题 【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，已 知CD ，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值． 【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线与直线y＝2x的最近
，求a的值． 讲点3：隐藏判别式 【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立． 【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 讲点4：交点间的距离
二元一次方程判别式与韦达定理专题
二元一次方程判别式与韦达定理专题 知识小结： 1、对于一个一元二次方程ax2+ bx+ c= 0 (a^ 0) ?我们把把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+ bx+ c= 0的根的判别式，通常用符号△ ”表示. 当厶>0时，有两个不相等的实数根； 当厶=0时，有两个相等的实数根； 当△< 0时，没有实数根. 反之亦然. 2、韦达定理：如果方程ax2+bx+c=0(a^0)的两个根是X i , X2 , b c 那么X i X2 —,X i?X2 -(能用韦达定理的前提条件为0 ) a a 巩固练习： 一、填空题 1 ?已知 2 、、5是一元二次方程x2 4x c 0的一个根，则方程的另一个根 是________ . 2. ___________________________________________________ 已知x i，X2是方程2x —7x+ 4= 0 的两根，则x i+ X2 = __________________________________________ ，x i ?X2= _______________________________________________________________________________________________________ ， (x i —X2) 2= ____ 。 3. 已知关于x的方程i0x2—(m+3)x+m- 7=0，若有一个根为0，则m ______ ，这 3 时方程的另一个根是______ ;若两根之和为一5，则m ________ ，这时方程的两个根为. 4 .若关于x的方程(m2—2)x2—(m—2)x + i = 0的两个根互为倒数，则m= ________________________________________________________________ 。 5. 方程2x(mx—4)=x2—6没有实数根，则最小的整数m= ; 6. 已知方程2(x —i)(x —3m)=x(m— 4)两根的和与两根的积相等，则m=; 7. 设关于x的方程x2—6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20则k值为; 三、解答题 8. 已知方程x2 x 1 0的两个实数根为x1, x2，求： (1) (2) (3) x i2+ x 1X2+2 x i 一？k 10.关于x的方程kx2(k 2)x 0有两个不相等的实数根. 4 (1)求k的取值范围。(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理 一、根的判别式 21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ??≠-????>?????=?????
【课堂练习】 一、填空题： 1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。 2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。 二、选择题： 1、下列方程中，无实数根的是（ ） A 、011=-+-x x B 、 762=+y y C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43