固体物理复习

固体物理复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

非晶体——原子的排列没有明确的周期性（短程有序）

晶体——原子按一定的周期排列规则的固体（长程有序）

准晶体——介于晶体和非晶体之间的新的状态

晶体结构

最常见的三种立方格子简单立方晶格、面心立方晶格、体心立方晶格，其配位

数分别为6、12、8

；六角密堆的配位数为

12

，金钢石结构的配位数为4。

原胞是最小的晶格重复单元。对于简单晶格，原胞包含 1 个原子。

若

3

2

1

,

,a

a

a

表示某布拉伐格子的基矢（又称正格子基矢），

3

2

1

,

,b

b

b

表示该布拉

伐格子的倒格子基矢，那么正格子基矢与倒格子基矢之间满足的关系

为：。(教材：p17)

画出体心立方、面心立方和六角密堆的原胞，如果各自晶胞的体积为v，则原

胞的体积分别为v/2,v/4,v/3

晶向晶面

画出简单立方晶格的晶向，立方边共有6个不同的晶向

由于立方晶格的对称性，以上6个晶向是等效的可以表

示为<100>

]1

00

[

],

001

[

],

1

0[

]

010

[

],

00

1[

],

100

[100

110

111

<>

<>

<>

按结构划分，晶体可以分为 7

大晶系，共有

14 布拉伐格子。

若321,,a a a

表示某布拉伐格子的基矢（又称正格子基矢），321,,b b b 表示该布

)100(面等效的晶面数分别为：3}

100{表示)110(面等效的晶面数分别为：6

}

110{表示)111(面等效的晶面数分别为：4

}

111{表示

231123312123123123

222a a b a a a a a b a a a a a b a a a πππ

?=???=???=??2()

20()

i j ij i j a b i j ππδ==??=?

=≠?

拉伐格子的倒格子基矢，那么矢量332211a n a n a n R

++=的全部端点的集合构成 布拉伐格子，矢量332211b h b h b h G h

++=的全部端点的集合构成 倒格子 。

对晶格常数为a 的SC 晶体，与正格矢k a j a i a R

22++=正交的倒格子晶面族的

面指数为 （122） , 其面间距为 a

32π

。

晶体绕某转轴转动θ角时保持不变，则θ的可能取值有： 。

晶体的宏观对称性是在原子的周期排列基础上产生的。晶体宏观可能有的对称操作有严格的限制，晶体的宏观对称素有： 。 某晶格的倒格子是体心立方，则该晶格的正格子是面心立方结构

简答题

1、试述晶胞与原胞的区别。

计算题

1、证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方格子；面心立方晶格的倒格子是体心立方格子。

解：（1）体心立方格子原胞基矢：

)(2

),(2),(2321k j i a a k j i a a k j i a a +-=+-=++-=

112233

2d h b h b h b π

=

++

倒格子基矢：

)

(2

)(222321321k j i a k j i a a a a a a b

-+?+-?Ω=???=ππ)()(422k j i k j i a -+?+-?Ω=π)(2k j a +=π 同理：)(22321132k i a

a a a a a b

+=

???=ππ )(22321213j i a

a a a a a b

+=???=ππ

可见由321,,b b b

为基矢构成的格子为面心立方格子 。

（2）面心立方格子原胞基矢：

)(2

),(2),(2321j i a a k i a a k j a a

+=+=+=

倒格子基矢：3213212a a a a a b ???=π)(2k j i a

++-=π

同理：)(22k j i a b +-=π )(23k j i a b

+-=π

可见由321,,b b b

为基矢构成的格子为体心立方格子。

2、试证明正格子中一族晶面（h 1 h 2 h 3）和倒格矢→

→

→

→

++=332211b h b h b h K h 正交。 证明：离原点最近的晶面如下图所示： ABC 是晶面族（h 1 h 2 h 3）离原点最近的晶面，

022)(

)(1

1

33332211=-=-?++=?→

→→

→→→→ππh a h a b h b h b h AC K h 022)(

)(1

1

22332211=-=-?++=?→

→

→

→

→

→

→

ππh a h a b h b h b h AB K h

所以→

→→→++=332211b h b h b h K h 与晶面ABC 正交，也即与晶面指数为（h 1 h 2 h 3）的晶面族正交。

固体的结合

按照Mulliken 原子负电性定义使原子失去一个电子所需要的能量叫电离能，中性原子吸收一个电子成为负离子所放出的能量亲和能 。 共价键结合的两个基本特征 —— 饱和性和方向性

周期表中由上到下，原子的负电性逐渐减弱， 简述题

1、简述固体结合中离子性结合和范德瓦耳斯性结合的基本特点。

2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=.

证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有

(1)1111

2[ (234)

ij r

r r r r r

α

±'

==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

2

34

(1) (34)

n x x x x x x +=-+-+ 当X=1时，有111

1 (2234)

n

-+-+=

2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()m

n

u r r r α

β

=-

+

111

2[1...]234α=-+-+22

n α∴=

求 1）平衡间距0r 2）结合能W （单个原子的） 3）若取

02,10,0.3,4m n r nm W eV ==== ，计算,αβ值。

解 1）晶体内能()()2m n N U r r r

αβ=

-+ 平衡条件

0r r dU

dr

== 11000m n m n r r αβ

++-+= 1

0(

)n m n r m βα

-= 2) 单个原子的结合能01

()2

W u r =-

0()()m n r r u r r r αβ

==-+ 1(1)(

)2m

n m m n W n m βαα--=- 3）00m n m n r r αβ

= 10(

)n m n r m βα-= 1(1)()2m

n m m n W n m βαα

--=- 10

02

W r β=

95101.1810eV m β-=?? 2010

0[

2]r W r β

α=+ 1929.010eV m α-=??

晶格振动

由N 个原胞构成的三维晶体，原胞中有l 个原子，晶体共有 3Nl 个独立振动的正则频率。

一维单原子链的色散关系是

晶格振动的能量量子称为声子

三维复式格子一个原胞中有n 个原子，那么在晶体中有 3 支声学波和 3n-3 支光学波。 作图：

1画出二维正方格子的1、2、3布里渊区；六方格子的1、2、3布里渊区

)2

(sin 422aq m βω=

)2

sin(

2

aq

m

βω=

1、研究晶格振动时，通常将晶格振动的能量子称为声子，简述对声子的理

解。

2、简述爱因斯坦模型和德拜模型的本质区别。

答：爱因斯坦假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动。这一假定实际上忽略了振子之间的差异，认为3N个谐振子是全同的。在高温下，爱因斯坦的热容理论与杜隆-珀替定律一致，取得巨大成功；但是在低温时，爱因斯坦模型与实验偏差较大，造成这一偏差的根源是爱因斯坦模型过于简单，它忽视了各格波对热容的贡献的差异。爱因斯坦考虑的格波频率较

高，当温度较低时，这些高频率的格波就微不足道了。

德拜模型假定晶体是各向同性的,把格波看成是弹性波.这种模型我们称为德拜模型。在低温下,决定晶体热容的主要是长声学波,长声学波就是弹性波,德拜模型的假定就是把格波看作弹性波,因此在低温下,德拜模型与实验结果能够相符合。

3、简述玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件

4、试述长光学波与长声学波的本质区别。

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内不同原子没有相对位移，原胞做整体振动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的

振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。

1、对于一维单原子点阵，已知简正模式的色散关系为 )2

1

sin()(qa q m ωω=，

式中M

m β

ω2

=，β为回复力系数，M 为原子质量，求：

（1）导出模式密度的精确表达式)(ωρ；

（2）在德拜模型下，求出德拜截止频率（最大频率）D ω。

解:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示:

由色散关系的对称性可以看出，d ω区间对应两个同样大小的波矢空间d q 。a π2区间对应L /a 个振动模式,单位波矢区间对应有L /2π个振动模

式。 d ω范围则包含：π

πdqL

dqL =

22个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为：ωπd dq

L 。

由色散关系得:

dq qa a d m )21

cos(21ωω=

所以,模式密度:)

2

1cos(2

)(qa a L m

ωπωρ=

(2) 德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质，把格波看作弹性波。

q v p =ω a L

d N m

=

=?ωωωρ0

)(

p

v L d dq L πωπωρ=?=

)( 代入可以求出:L

v a a

v p p

D ππω=

=

2、求一维无限长单原子链L ＝Na 振动模式密度

解：一维单原子链中

一维情况下 振动模式密度

考虑到一个频率可以有(＋/－)q 两个值 振动模式密度

将 代入上式

可得

第四章 能带理论

1、导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为 价带 ；最下面的一个空带称为 导带 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 带

4sin()

2

aq m βω=1()2()

q L g q ωπω=

?1

()22()

q L g q ωπω=?

?sin(

)

2

m aq ωω=()cos()

22

m q a aq

q ωω?=2()1sin ()

22

m q a aq q ωω?=-222m a ωω=-2

2

21

()m N

g ωπ

ωω=

-

隙。

简述题：

——晶体中的电子

满带——电子占据了一个能带中所有的状态

空带——没有任何电子占据(填充)的能带

导带——一个能带中所有的状态没有被电子占满

即不满带，或说最下面的一个空带

价带——导带以下的第一个满带

禁带——两个能带之间不允许存在的能级宽度

1试述一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理

第一步简化——绝热近似离子实质量比电子大，运动慢，离子固

定在瞬时位置上；第二步简化——利用哈特里一福克自治场方法

多电子问题简化为单电子问题每个电子在离子势场和其它电子的平

均场中运动；第三步简化——周期性势场所有离子势场和其它电子

的平均场是周期性势场

2、根据能带理论，简要说明金属、半导体、绝缘体的划分有何区别。

答：对于金属来说，能级是准连续的，能级和能级之间能量差很小，在热

激发下，低能级上的电子可以跃迁到高能级上；对于半导体而言，在布

里渊区边缘能级分裂，结果出现禁带，但是半导体材料的禁带宽度很

小，一般小于2个电子伏特，在热激发下部分低能级电子可以跃迁到高

能级上，从而表现出导电性。而对于绝缘体来说，同样也出现禁带，只

是它的禁带宽度要相对大些，一般的温度下，热激发不能够提供足够的能量是低能级上的电子跃迁到高能级上，因此不能表现出导电性。

1、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为Na 。

（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。

解：010101(1),()()2cos 2cos ika ika s s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-

0()()s ik R s E k E J J p e -???=--????∑ (2) ,1121()2222sin sin L dk Na N

N E dE J a ka J ka

πππ=?

?=?= 2、用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带

()s E k 函数

解 面心立方晶格

—— s 态原子能级相对应的能带函数0()()s s ik R s s s R Nearest

E k J J R e ε-?==--∑

s 原子态波函数具有球对称性

0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ?ξξξ?ξξ==--->?

01

()s s ik R s s R Nearest

E k J J e ε-?==--∑

—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个

12个最邻近格点的位置

,,022,,022,,022,,022a a a a a a a a

????-???-???--?0,,220,,220,,220,,22a a a a a a a a ????-???-???--?

,0,

2

2,0,2

2,0,

22,0,22a

a

a a a a a a ???

?-

??

?-???--

? 022s a a

R i j k =

++ 01()s s ik R s s R Nearest

E k J J e ε-?==--∑ ()(0)

22

()2

(cos sin )(cos sin )

2222

x y z s

x y a a

i k i k j k k i j k ik R a

i k k y y x x e e

k a k a k a k a

e

i i -++?++-?-+==--

—— 类似的表示共有12项

—— 归并化简后得到面心立方s 态原子能级相对应的能带

1()4(cos cos cos cos cos cos )

222222

s s y y x x z z E k J k a k a k a k a k a k a J ε=--++

对于体心立方格子

――任选取一个格点为原点 —— 有8个最邻近格点

—— 最近邻格点的位置

,,222

,,222,,

222

,,22

2a a a a a a a a a a a a

???

?---

??

?-

???--? ,,222,,2

22,,222,,222

a

a a

a a a a a a a a a ?-???--???-???--? 222s a a a

R i j k =

++ 01()s s ik R s s R Nearest

E k J J e ε-?==--∑ ()()

()222

2

(cos sin )(cos sin )(cos sin )

222222x y z x y z s

a a a

a

i k i k j k k i j k i k k k ik R y y x x z z e

e

e

k a k a k a k a k

a k a

i i i -++?+

+-++-?===---

—— 类似的表示共有8项

归并化简后得到体心立方s 态原子能级相对应的能带

01()8cos(/2)cos(/2)cos(/2)s s x y z E k J J k a k a k a ε=--

晶体的缺陷按照几何形态分类有：点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷等；按形成原因分类有：热缺陷、杂质缺陷、非化学计量缺陷等

来透明的晶体出现颜色

位错两种基本类型：刃位错、螺位错

孪晶属于面缺陷

晶体中的原子或离子由于热振动的能量起伏可能离开理想的晶格位置，从而产生空位或间隙原子，这样形成的点缺陷称为热缺陷。显然，它是本征缺陷。主要有弗仑克尔缺陷（内部）、和肖特基缺陷两种类型。