吉林省2020年名校调研中考数学一模测试试卷(含解析)

2020年中考数学一模试卷

一、选择题

1．抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为（）

A．x＝2 B．x＝0 C．y＝2 D．y＝0

2．如图所示的几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

3．已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0中，m＜0，则该方程解得情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．不能确定

4．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2 D．k＜2

5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）

A．B．C．D．2

6．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．sin30°+tan45°＝．

8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为．

9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为．

10．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为．

11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、BD、DC，若BD＝CD，∠DBC＝20°，则∠ABC的度数为．

12．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为．（杆的宽度忽略不计）

13．在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y＝（x＞0）交AB于点E，AE：EB＝1：3，则矩形的面积为．

14．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝．

三、解答题（每小题0分，共20分）

15．解方程：x2+8x＝9．

16．已知y是x的反比例函数，且x＝3时，y＝8．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．

17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．

18．2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

20．已知半圆的直径CD＝12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，求阴影部分的周长．

21．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；

（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是⊙O外一点且∠PBC＝∠A，连接OE并延长交⊙O于点F，交BP于点D．

（1）求证：BP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BD＝8，求弦BC的长．

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝的图象于点A（2，﹣4）和点B（h，﹣2），交x轴于点C．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；

（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．

24．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；

（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；

（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．

六、解答题（每小题10分，共20分）

25．如图，一条顶点坐标为（﹣1，）的抛物线与y轴交于点C（0，5），与x轴交于点A和点B，有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接MF，如果MF＝AF，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

26．如图，在?ABCD中，∠ABD＝90°，AD＝5，BD＝3，点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝2，MN与BD在PQ的同侧，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t＝5时，求线段CP的长；

（2）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；

（3）当点M落在BD上时，求t的值；

（4）当矩形PQMN与?ABCD重叠部分图形为五边形时，直接写出t的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题2分，共12分）

1．抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为（）

A．x＝2 B．x＝0 C．y＝2 D．y＝0

【分析】根据题目中的抛物线y＝﹣x2+2，可以直接写出该抛物线的对称轴．

解：∵抛物线y＝﹣x2+2，

∴该抛物线的对称轴为直线x＝0，

故选：B．

2．如图所示的几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

解：从上边看是左右各一个矩形，左边的矩形大，

故选：C．

3．已知，关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0中，m＜0，则该方程解得情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．不能确定

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

解：△＝9﹣4m，

∵m＜0，

∴﹣4m＞0，

∴△＝9﹣4m＞0，

故选：B．

4．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2 D．k＜2

【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2k＜0即可解得答案．

解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，

∴1﹣2k＜0，

解得k＞，

故选：B．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）

A．B．C．D．2

【分析】如图，作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可．

解：如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1），

∴OH＝2，AH＝1，

∴OA＝＝＝，

∴cosα＝＝＝，

故选：C．

6．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．

解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，

∴△A′B′C′∽△ABC．

∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，

∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，

∴＝

故选：A．

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．sin30°+tan45°＝．

【分析】分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．

解：原式＝+1＝．

故答案为：．

8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．

【分析】先判断出∠BAD＝150°，AD＝AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，

∴∠BAD＝150°，AD＝AB，

∵点B，C，D恰好在同一直线上，

∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，

∴∠B＝∠BDA，

∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，

故答案为：15°．

9．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为．

【分析】作AE⊥BC于E．利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．

解：作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵AE＝BE＝4，∠AEB＝90°，

∴∠ABE＝∠BAE＝45°，

∴sin B＝sin45°＝，

故答案为．

10．如图，△ABC中，P为边AB上一点．且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为．

【分析】AB＝AP+BP＝5，由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，得出△ACP∽△ABC，得出＝，代入数值即可得出结果．

解：AB＝AP+BP＝2+3＝5，

∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴＝，

∴AC2＝AP?AB＝2×5＝10，

∴AC＝，

故答案为：．

11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连结AD、BC、BD、DC，若BD＝CD，∠DBC＝20°，则∠ABC的度数为50°．

【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB＝90°，由BD＝CD，∠DBC＝20°，根据等腰三角形性质可得：∠C＝20°，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠A＝20°，根据三角形内角和定理求得∠ABD＝70°，进而即可求得∠ABC的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵BD＝CD，∠DBC＝20°，

∴∠C＝∠DBC＝20°，

∴∠A＝∠C＝20°，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝70°，

∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBC＝70°﹣20°＝50°

故答案为50°

12．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为8m．（杆的宽度忽略不计）

【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即＝，解之可得．

解：如图，

由题意知∠BAO＝∠C＝90°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

∴，即＝，

解得：CD＝8，

故答案为：8m．

13．在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴的正半轴上，以OA，OC为边分别作矩形OABC，双曲线y＝（x＞0）交AB于点E，AE：EB＝1：3，则矩形的面积为24．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，），则利用AE：EB ＝1：3，B点坐标可表示为（4t，），然后根据矩形面积公式计算．

解：设E点坐标为（t，），

∵AE：EB＝1：3，

∴B点坐标为（4t，），

∴矩形OABC的面积＝4t?＝24．

故答案为：24．

14．二次函数y＝2x2﹣4x+4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P，点N是其图象上异于点P的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝2．

【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．

解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，

∴点P的坐标为（1，2），

设点M的坐标为（a，2），则点N的坐标为（a，2a2﹣4a+4），

∴＝＝＝2，

故答案为：2．

三、解答题（每小题0分，共20分）

15．解方程：x2+8x＝9．

【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

解：x2+8x＝9，

x2+8x﹣9＝0，

（x+9）（x﹣1）＝0，

x+9＝0或x﹣1＝0，

解得x1＝﹣9，x2＝1．

16．已知y是x的反比例函数，且x＝3时，y＝8．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果自变量x的取值范围为3≤x≤4．求y的取值范围．

【分析】（1）根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可；

（2）分别代入x的值求得y值后即可求得y的取值范围；

解：（1）设反比例函数是y＝（k≠0），

当x＝3时，y＝8，代入可解得k＝24．

所以y＝．

（2）当x＝3时，y＝8，当x＝4时，y＝6，

∴自变量x的取值范围为3≤x≤4．y的取值范围为6≤y≤8．

17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．

【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．

解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，

在Rt△ABD中，cos A＝，

∵cos A＝，AB＝5，

∴AD＝AB?cos A＝5×＝3，

∴BD＝＝4，

∵AC＝AB＝5，

∴DC＝2，

∴BC＝＝2．

18．2019年中国北京世园会开园期间，为了满足不同人群的游览需求，组委会倾情打造了四条趣玩路线，分别是“解密世园会”、“爱我家，爱园艺”、“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”小明一家想通过抽签的方法选择其中的两条路线进行游玩，于是他们制作了如下四张卡片，然后从四张卡片中随机抽取其中的两张若小明最钟爱的游玩路线是“园艺小清新之旅“，小明的爸爸和妈妈最钟爱的游玩路线是“解密世园会”，请用列表法或画树状图

法求出：他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是多少？

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中A 和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解：设上述四张卡片从左到右依次用字母A，B，C，D表示，则抽取结果可以用如下树状图表示：

从树状图可知，所有等可能结果有12种，其中能同时能抽中A和D的结果有2种，所以他们同时抽中“园艺小清新之旅”和“解密世园会”的概率是．

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．如图，为测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进150m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．

解：过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，

在Rt△ABE中，tan B＝，

∴BE＝＝x，

在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，

∴CE＝＝x，

∵BC＝BE﹣CE，

∴x﹣x＝150，

解得：x＝450．

答：小岛A到公路BD的距离为450米．

20．已知半圆的直径CD＝12cm，如图所示，弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，求阴影部分的周长．

【分析】CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，先利用弧长公式计算出的长为2π，再根据圆周角定理得到∠DOF＝60°，∠CFD＝90°，然后利用弧长公式计算出的长和EF＝12﹣6，

从而得到阴影部分的周长．

解：CE交半圆于F，连接OF、DF，如图，

∵弧DE所对的圆心角∠ECD＝30°，

∴的长为＝2π，

∵∠DOF＝2∠ECD＝60°，

∴的长度为＝2π，

∵CD为直径，

∴∠CFD＝90°，

∴DF＝CD＝6，CF＝DF＝6，

∴EF＝12﹣6，

∴阴影部分的周长＝2π+2π+12﹣6＝4π+12﹣6．

21．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．

（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；

（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．

【分析】（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；

（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．

解：（1）如图所示：

四边形ABCD是面积为12的平行四边形；

（2）如图所示：

△EFP是面积为的等腰三角形．

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是⊙O外一点且∠PBC＝∠A，连接OE并延长交⊙O于点F，交BP于点D．

（1）求证：BP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BD＝8，求弦BC的长．

【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝CE，OE⊥BC，＝，由圆周角定理得出∠BOE＝∠A，证出∠OBE+∠PBC＝90°，得出∠OBD＝90°即可；

（2）由勾股定理求出OD，由△OBD的面积求出BE，即可得出弦BC的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OB，

∵E是弦BC的中点，

∴BE＝CE，OE⊥BC，＝＝，

∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，

∵∠PBC＝∠A，

∴∠BOE＝∠PBC，

∴∠OBE+∠PBC＝90°．即BP⊥OB．

∴BP是⊙O的切线

（2）解：∵OB＝6，BD＝8，BD⊥OB．

∴OD＝＝10．

∵△OBD的面积＝OD?BE＝OB?BD，

∴BE＝＝4.8．

∴BC＝2BE＝9.6

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝的图象于点A（2，﹣4）和点B（h，﹣2），交x轴于点C．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）连接OA、OB．求△AOB的面积；

（3）请直接写出不等式kx+b＞的解集．

【分析】（1）先把点A的坐标代入y＝，求出m的值得到反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；

（2）先求出C点坐标，再根据△AOB的面积＝△AOC的面积﹣三角形BOC的面积即可求解；

（3）观察函数图象即可求出不等式kx+b＞的解集．

解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入y＝得：m＝﹣8，

∴反比例函数的解析式是y＝﹣；

把B（h，﹣2）的坐标代入y＝﹣得：﹣2＝﹣，

解得：n＝4，

∴B点坐标为（4，﹣2），