高中物理必修二曲线运动、运动的合成与分解

曲线运动、运动的合成与分解

【学习目标】

1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动；

2、知道物体做曲线运动的条件，理解牛顿第二定律对物体做曲线运动条件的解释；

3、理解合运动与分运动的关系、具体问题能够正确区分合运动与分运动；

4、掌握运动的合成与分解的方法，能够熟练的应用平行四边形法则作图将合运动与分运动统一在一个平行四边形中并进行计算；

5、学会用数学的方法研究物体的运动，并从物体的运动轨迹方程判断物体的运动性质。

【要点梳理】

要点一、曲线运动速度的方向

要点进阶：

1、曲线运动速度方向的获取途径

其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；

其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。

2、曲线运动速度的方向

质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧

3、曲线运动的性质

曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。

要点二、物体做曲线运动的条件

要点进阶：

1、物体做曲线运动的条件的获得途径

其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；

其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。

2、物体做直线运动条件

当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。

3、物体做曲线运动条件

物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。也就是说物体做曲线运动，必有：

①物体具有初速度，即v0≠0；

②物体受到合外力的作用，即F合≠0，或者说加速度a≠0；

③合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。

4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用

对于做曲线运动的物体，把合外力F沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角；当a1和v反向时，速度减小，如图2所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。

沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，由于力F2与速度方向垂直，所以力F2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。

可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：

切向分量——产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。

法向分量——产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向——只有使物体偏离原来方向的效果，不能改变速度的大小。这正是物体做曲线运动的原因。

若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。

5、物体做曲线运动的轨迹弯曲规律

根据钢球在磁铁吸引下的曲线运动、石子抛出后的曲线运动以及人造地球卫星的曲线运动等实例，可得到结论：物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。

由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。

若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。如物体在从M运动到N的过程中，在运动到点P时，其受力方向一定是向上的而不可能向下。

要点三、质点在平面内的运动

要点进阶：

1、平面曲线运动的描写

（1）直线运动的描写：用一维坐标系x=x(t)便可以描写质点的位置、速度、加速度

（2）平面曲线运动：可以用平面直角坐标系xoy描写质点的位置（x，y）、速度(v x，v y)和加速度(a x，a y)，即可以通过两个方向上的分运动去认识或解决平面曲线运动。

（也可以用极坐标来描写平面曲线运动，高中阶段不做要求）

2、平面曲线运动位置的确定

（1）确定分运动的性质：首先弄清楚质点沿着X方向和Y方向做什么运动。

这要通过具体分析质点在这两个方向上的受力情况和初始条件而获得，即要通过F x与v x、F y与v y 的特点和方向关系具体明确。

（2）写出质点在x、y两个方向的位移时间关系

例如，一个质点在x方向上受到的合外力为零而初速度不为零，则这个质点在x方向上就做匀速运动；如果这个质点在y方向上受到恒定的合外力而初速度不为零且与合外力方向相反，则这个质点在y 图1

v

F

a1

F1

F2

a2

图2

v

F

a1

F1

F2

a2

方向上就做匀减速运动，这个质点任意时刻的位置坐标可以表达为：x=v x t ，22

1

t a t v y y y -

=。 3、 平面曲线运动轨迹的确定

（1）已知x y 两个分运动，求质点的运动轨迹：

只要写出x y 两个方向的位移时间关系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除时间t ，得到轨迹方程y=f(x)，便知道轨迹是什么形状。

例如质点在x 、y 方向上都做匀速直线运动，其速度分别是v x 、v y ，求其运动的轨迹方程。 第一：写位移方程 x=v x t 、y=v y t ；

第二：消时间t 得到轨迹方程kx x v v y x

y ==

；

可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。

（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：

由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。

例如，船在流水中渡河问题，船同时参与了沿垂直于河岸OA 的方向和沿着水流动方向OB 的两个匀速运动，船实际进行的是沿OC 方向的运动，所以OC 是合运动，由于两个方向的运动都是匀速运动，其合外力为零，所以船实际的运动轨迹是一条直线。

A C

v 水

v

船 B O

如果船头对准对岸(v AB 船⊥)做初速为零的匀加速直线运动，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向则是偏向下游的，所以船的实际运动(合运动)是曲线运动。 A B

v

v 水

C S v t 水水=

D S at 航=

12

2

要点四、运动的合成和分解 要点进阶：

1、运动的合成与分解

由描写各分运动的量，求合运动的相关量叫运动的合成；由描写合运动的量求各个分运动相关量叫运动的分解。

2、在平面曲线运动中由分运动的加速度、速度、位移，求质点的合加速度速度和位移

（1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四边形法则； （2）平面运动任意时刻的加速度、速度、位移：

加速度的大小 2

2y

x a a a +=

加速度的方向x y a a =αtan

合速度的大小 22

y

x v v v += 合速度的方向x

y v v =βtan

合位移的大小 22y x s +=

合位移的方向x

y =

θtan

3、由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移

描写合运动的物理量和描写分运动的相关物理量，被统一在同一个相关的平行四边形中，运动的分解是运动合成的逆运算，因此，由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移的方法与运动的合成完全一样。

例如：由上面的平行四边形可得分运动的位移、速度、加速度（运用已知条件解三角形） 4. 合运动的判断方法

物体实际进行的运动就是合运动。

要点五、合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系 要点进阶： 1、等时性

质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。 2、等效性

各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。 3、独立性

同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。

【典型例题】

类型一、曲线运动的条件和性质

a y a

α a x v y v β v x y s

θ x

例1、质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由A向C运动，关于它通过B点时的速度v的方向和加速度a的方向正确的是（）

突然例2、一个质点受两个互成锐角的力的作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F

1 +?，则此质点以后的运动（）

增大到F F

11

A. 一定做匀变速曲线运动

B. 在相等时间内速度的变化一定相等

C. 可能做匀速直线运动

D. 可能做变加速曲线运动

举一反三

【变式】某质点在恒力F作用下，从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的（）

A．曲线a B．直线b

C．曲线c D．三条曲线均有可能

类型二、分运动与合运动的特点和应用

例3、下列说法正确的是（）

A. 两匀速直线运动合运动的轨迹必是直线

B. 两匀变速直线运动合运动的轨迹必是直线

C. 一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动轨迹是曲线

D. 几个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹是直线

举一反三

【变式1】关于运动的合成与分解，下述说法中正确的是（）

A、合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和

B、物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动

C、合运动和分运动具有同时性

D、合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动

【变式2】在学习运动的合成与分解时我们做过如图所示的实验，在长约

80cm-100cm一段封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体（小圆柱体恰能在管中匀速上浮），将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡烛匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面在水平方向上匀加速移动，你正对黑板面将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是下列选项中的（）

类型三、渡河问题

例4、河宽为d，水流速度为v

1，小汽艇在静水中航行的速度为v

2

，且v v

12

<，如果小汽艇航向与河岸

成θ角，斜向上游航行，求：

（1）它过河需要多少时间？

（2）到达对岸的位置？

（3）若以最短的时间渡河，航向应如何？

（4）若要直达正对岸，航向又应怎样？

例5、河宽60m，水流速度为6m s/，小船在静水中速度是3m s/，则它渡河的最短时间是多少？最短船程是多少？

举一反三

【变式】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2．战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d．如战士想在最短时间内将人

送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )

类型四、关联速度问题

例6、如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的速度的大小？

举一反三

【变式】如图示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉物体B在水平面上运动，当绳与水平面夹角为θ时，物体B运动的速率是_______。

A

B θ

A

【巩固练习】 一、选择题：

1、下列说法中正确的是（ ） A ． 物体速度变化越大，则其加速度越大 B ． 物体的加速度增大，则其速度一定增大 C ． 原来平衡的物体，突然撤去一个外力，物体可能做曲线运动，也可能做直线运动 D ． 原来平衡的物体，突然撤去一个外力，则一定会产生加速度且方向与撤去的外力的方向相反

2、物体做曲线运动，一定变化的物理量是（ ） A ． 速率 B ． 速度 C ．加速度 D ． 合外力

3、已知河水自西向东流动，流速为1v ，小船在静水中的速度为2v ，且21v v >，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是（ ）

4、一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，下图为雪橇受到的牵引力F 及摩擦力F 1的示意图(O 为圆心)，其中正确的是( )

5、如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A ，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B ．在直升机A 和伤员B 以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A 、B 之间的距离以2

l H t =-(式中H 为直升机A 离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位)规律变化，则在这段时间内，下列判断中不正确的是( )

A ．悬索的拉力等于伤员的重力

B ．悬索是竖直的

C ．伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动

D ．伤员做速度大小增加的曲线运动

6、民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度是v 1，运动员静止时射出的箭的速度是v 2， 跑到离固定目标的最近距离是d ，要想在最短的时间内击中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为（ ） A ．

2

2

12

2v v v d B ．0 C ．

2

1v dv D ．12v dv

7、一物体由静止开始下落一小段距离后，突然受到一恒定水平风力的作用，但着地前一段时间内风突然停止，则其运动轨迹可能是图中的（ ）

8、如图所示，在河岸上用细绳通过定滑轮沿水平方向拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳时的速度必须是（ ）

A. 加速拉

B. 减速拉

C. 匀速拉

D. 先加速后减速拉

F

v

A B C D

二、非选择题：

1、如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．

(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的轨迹；

(2)求出玻璃管向右平移的加速度；

(3)求t＝2s时蜡块的速度v．

2、一条河宽60m，水的流速为6m/s，小船在静水中的速度为3m/s，则船渡河的最短时间和最短航程各为多少？

3、在如图所示的实验中，塑料球同时进行着水平方向和竖直方向的匀速直线运动时，小球实际的运动是沿着AB"(即斜向右上方)方向做匀速直线运动。如果试管在水平方向上由v x速度做加速度为a匀减速运动，竖直方向做v y的匀速运动，试论证塑料球对地的运动情况。

B B'B"C

A A'A"