七年级上册数学图形初步习题

七年级上册数学图形初步

中考要求

例题精讲

一、立体图形的展开图 正方形展开图的知识要点：

第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”

第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”

第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”

第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”

正方形展开图的识别方法：

1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图 （2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图

2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；

从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。

二、直线、射线、线段的概念：

① 在直线的基础上定义射线、线段：

直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点． ② 在线段的基础上定义直线、射线：

把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线． 点与直线的关系：点在直线上；点在直线外． 两个重要公理：

① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 两点之间的距离：两点确定的线段的长度．

⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A ，B ，C ，D ，…… ⑵ 直线的表示方法：

① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB ，如下图⑴ 也可以写作直线BA ．

(1) (2)

l

A B

② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如上图⑵．

注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序． ⑶ 射线的表示方法：

① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ．

② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．

(3) (4)

l

A

O

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的

端点在前．

⑷ 线段的表示方法：

① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．

② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．

(5) (6)

A

B

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序． 直线、射线、线段的主要区别：

中点：

三、角与角平分线 1、定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始

边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：

（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点；

（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

2、角的表示方法

① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

∠AOB

图1.1

注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

∠A

图1.2

A

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且

只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

∠1

图2.1

1

③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．

∠α

图2.2

α3、单位换算

1

度＝60分(

160

?=') 1分=60秒(160

'=")

4、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．

角度之间的关系

1周角=360?1平角＝180?1直角＝90?

1周角＝2平角1平角＝2直角

角的分类：

锐角α（090

α

<

α=?），钝角α（90180

α

?<

5、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

6、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B

、两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于

1

2

AB长为半径画弧，画弧交于C点；

（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

O

C

B

A

7、概念补充

余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东?

?度”、“北偏西?

?度”、“南偏东?

?度”、“南偏西?

?度”，方位角α的取值范围0

90

0≤

≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

模块一立体图形

【例1】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整．

【例2】图①中，A为正方体的顶点，在另一顶点B处有一昆虫．图②、图③是正方体的两个不同展开图，根据A、B位置的特点，请你在图②、图③中分别标出昆虫B的位置．

【例3】如图是一个食品包装盒的侧面展开图．

（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称．

（2）根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．

模块二 直线、射线、线段

【例4】 在一个圆上有6个点，它们之间可以连一些线段，那么至少连多少条线段，可以使得这6个点钟

任意三点之间都至少有一条线段？请说明理由。

【例5】 一条直线顺次排列着1990个点：1231990P P P P ，，，，，已知点k P 是线段11k k P P -+的k 等分点中最靠

近1k P +的那一个分点（21989k ≤≤），如5P 是线段46P P 的5等分点中最靠近6P 的那一个分点。

如果12P P 的长度为1，线段18981990P P 的长度为l ，求证1

1988198732l

=??

??。

【巩固】一条直线顺次排列着1987个点：1231987P P P P ，，，，，已知点k P 是线段11k k P P -+的k 等分点中最靠

近1k P +的那一个分点（21986k ≤≤），如5P 是线段46P P 的5等分点中最靠近6P 的那一个分点。

如果12P P 的长度为1，线段18861987

P P 的长度为l ，求证1983

1

23l <。

【例6】 直线上分布着1900个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能线段的中点，试求至少可以得

出多少个互不重合的中点。

【例7】 如图，AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，EF e =，求A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的所

有线段长度的和.

F

E

D C

B

A

【巩固】如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段CB 的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC

的长度和线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度为__________。

【巩固】如图，线段1

A B B C C D D E ====厘米，那么图中所有线段长度之和等于多少厘米？ E

D

C

B

A

【例8】 已知C D E ，，是线段AB 上顺次三点，1234AC CD DE EB ====，，，，

则这个图形中所有线段的长度之和为多少？

【巩固】如图，B C D ，，依次是线段AE 上三点，已知8.9cm AE =，3cm DB =，则图中所有线段长度之和

是多少？

E

D

C B

A

【例9】 P 是定长线段AB 上一点，C D ，两点分别从P B ，同时出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB 向

左运动(C 在线段AP 上，D 在线段BP 上).当P 在AB 的三等分点时，若C 、D 运动5秒后，恰

好有1

2

CD AB =，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的

中点，下列结论①PM PN -的值不变；②MN AB :的值不变，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。

模块三角、角平分线

【例10】如图，将一张长方形纸片折叠，使折痕成为一个直角的平分线，正确的折法是（）

A、B、

C、D、

【例11】把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．

（1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？

（2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？

【巩固】如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB的外部画∠BOC，然后分别画出∠AOC与∠BOC的角平分线OM 和ON．

（1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON的度数；

（2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC＜180°时，∠MON的度数是多少？当∠AOB+∠BOC＞180°时，∠MON的度数又是多少？

【例12】小王下午6点多外出买东西时，看到时钟上时针和分针互相垂直，近7点回到家时，发现时钟上时针和分针仍然互相垂直，试估计小王外出用了多长时间（精确到1分）？

【巩固】某人天天六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110度，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角还是110度，试算出此人外出用了多少时间？

课后作业

1. 操作探究：在一个正四面体（四个面都是等边三角形）上钻透一个圆孔，由于钻孔的位置不同，在四

面体的展开图（如图四个连续的三角形）上看到的弧线或圆的数目也不同．

2. 已知：如图，ABC ?中，D ，E ，F ，G 均为BC 边上的点，且BD CG =，1

2

DE GF BD ==，3EF DE =，若1ABC S ?=，则图中所有三角形的面积之和为 ．

A

D E F G C

B

3. 如图所示，已知∠AOB=90°，∠AOC 是锐角，ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．

4. 钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为3603012?=?，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为3065

?

=? （1）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？ （2）分针和秒针每隔多长时间重合一次？