数学中考专题利用二次函数解决实际问题

1课题16 利用二次函数解决实际问题

A组基础题组

一、选择题

1.(2018邢台模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )

A.y=-2x2

B.y=2x2

C.y=-0.5x2

D.y=0.5x2

2.(2017沧州模拟)治理环境污染刻不容缓,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100 m,则池底的最大面积是( )

A.600 m2

B.625 m2

C.650 m2

D.675 m2

3.(2018保定一模)某品牌钢笔进价8元,按10元1支出售时每天能卖出20支,市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( )

A.4元

B.12元

C.13元

D.14元

4.(2018北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推

断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )

A.10 m

B.15 m

C.20 m

D.22.5 m

二、填空题

5.(2017唐山古冶一模)烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为s.

6.(2018贺州中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为元.

7.(2016保定模拟)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表:

科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系,由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.

8.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各围成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.

9.(2018武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是m.

三、解答题

10.(2018盘锦中考)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件.已知该款童装每件成本30元.设该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y件.

(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围);

(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少?

(3)①当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3 910元的利润?

②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件?

B组提升题组

一、选择题

1.(2017廊坊模拟)如图,用长10 m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗棱CD),若使此窗户的透光面积最大,则最大透光面积为( )

A.50π m2

B.

π

m2

C.

π m2D.

π

m2

2.(2016唐山模拟)军事演习时发射一颗炮弹,经x s后炮弹的高度为y m,且时间x(s)与高度y(m)之间的函数关系式为y=ax2+bx(a≠0),若炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间炮弹的高度是最高的( )

A.第9秒

B.第11秒

C.第13秒

D.第15秒

二、填空题

3.(2018沈阳中考)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),

当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.

4.(2018秦皇岛模拟)小迪同学以二次函数y=2x2+8的图象为灵感设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE 为.

三、解答题

5.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.

(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)

(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?

6.(2018秦皇岛模拟)投资1万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长24 m,平行于墙的边的费用为200 元/m,垂直于墙的边的费用为150 元/m,设平行于墙的边长为x m.

(1)设垂直于墙的一边长为y m,直接写出y与x之间的函数关系式;

(2)若菜园面积为384 m2,求x的值;

(3)求菜园的最大面积.

答案精解精析

A组基础题组

一、选择题

1.C 根据题意,设抛物线解析式为y=ax2,且抛物线过(2,-2)点,故-2=a ×22,解得a=-0.5,∴抛物线解析式为y=-0.5x

2.故选C.

2.B

3.D设利润为w,由题意得,每天利润为w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40=-2(x-4)2+72.∴当涨价4元(即售价为14元)时,每天利润最大,最大利润为72元.故选D.

4.B根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0),(40,46.2),(20,57.9),

则

解得

∴x=-=-=15(m).故选B.

二、填空题

5.答案 4

解析∵h=-t2+20t+1=-(t-4)2+41,∴当t=4秒时,礼炮达到最高点引爆.

6.答案25

解析设利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是25.

7.答案-1

解析由函数的对应值(-2,49),(0,49)可知抛物线的对称轴为直线t=-1,故最适合这种植物生长的温度为-1 ℃.

8.答案12.5

解析设铁丝的长度为x cm,则另一段长度为(20-x)cm,设两个正方形面积之和为S cm2,则S=+=x2+(20-x)2=(x-10)2+12.5,∴当x=10时,S最小,S最小值=12.5.

9.答案216

解析根据抛物线的对称性可知,飞机在开始4秒和最后4秒的滑行的距离相等.

当t=4时,飞机滑行的距离为y=60×4-×42=240-24=216 (m),故答案为216.

三、解答题

10.解析(1)y=100+10(60-x)=-10x+700.

(2)设每星期利润为W元,

则W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4 000.

∴x=50时,W最大值=4 000.

∴每件售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润4 000元.

(3)①由题意:-10(x-50)2+4 000=3 910

解得:x=53或47,

∴当每件童装售价定为53元或47元时,该店一星期可获得3 910元的利润.

②由题意,得-10(x-50)2+4 000≥3 910,

解得47≤x≤53.

∵y=100+10(60-x)=-10x+700.

170≤y≤230,

∴每星期至少要销售该款童装170件.

B组提升题组

一、选择题

1.C 设半圆的半径为x m,则CD=2x m,

AD=π.

∴半圆面积为πx2 m2,矩形面积为AB·BC=[-(4+π)x2+10x]m2,

∴可设总透光面积为y m2,

则y=πx2+10x-(4+π)x2

=-πx2+10x,

∴最大值为-

-π=

π

,

∴最大透光面积为

m2.

π

2.B ∵x取8和14时y的值相等,∴抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴为直线x=8+=11,易知此抛物线开口向下,顶点为其最高点,故炮弹达到最大高度时的时间是第11秒.

二、填空题

3.答案150

解析(1)设AB=x m,则BC=(900-3x),由题意可得S=AB·BC=x·(900-3x)=-(x2-300x)=-(x-150)2+33 750,∴当x=150时,S 取得最大值,此时S=33 750,∴AB=150 m.

4.答案11

解析由题意可得:D点坐标为(0,8).

∵AB=4,∴B点的横坐标为2,故x=2时,y=2×4+8=16,即B(2,16).

∴CD=16-8=8,CE=CD+DE=3+8=11.

三、解答题

5.解析(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0

由50x-1 100>0,

解得x>22,

∵x是5的倍数,

∴每辆车的日租金至少应为25元.

(2)设每天的净收入为y元,

当0

∵y1随x的增大而增大,

∴当x=100时,y1的值最大,最大值为50×100-1 100=3 900.

当x>100时,y2=x-1 100=-x2+70x-1 100=-(x-175)2+5 025. 当x=175时,y2的值最大,最大值为5 025.

∵5 025>3 900,

∴当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多.

6.解析(1)根据题意,得,y==-x+.

∵墙的长度为24 m,∴-,解得0

∴y与x之间的函数关系式为y=-x+,x的取值范围为0

-x=384,

解得:x=18或x=32(不合题意,舍去).

∴x的值为18.

(3)设菜园的面积是S,则

S=-x=-x2+x

=-(x-25)2+,

∵-<0,

∴当x<25时,S随x的增大而增大,

∵0

∴当x=24时,S取得最大值,最大值为

-×(24-25)2+=416.

答:菜园的最大面积为416 m2.