等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)

等腰三角形常用辅助线专题练习

（含答案）

1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE

又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE.

2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE 的位置关系，并说明理由

解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．

解法2：

过A点作△ABC底边上的高，

再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE

3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点，DF⊥AC交BC 于E,求证：△DBE是等腰三角形。

证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠

BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．

4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC 相交于F。求证：DF⊥BC.

证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，

∴∠EFC=∠BFE=180°×1/2 = 90°，∴DF⊥BC;

若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。

若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD.

证明：连接AC,AD

∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)

∴AC=AD

∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM ≌RT△ADM (HL)

∴CM=DM

6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点

∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD

在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB ∴∠FGB=∠FAE

∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE

∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD 中∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC

∴BF=AC

7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC

证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE平分∠BAC

8. 已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE

证明：过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB （等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），

∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），

∴△DFG≌△ECG（AAS），

∴DG=GE（对应边相等）

9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BE⊥CB 交CD于E,AC⊥DC, 求证：BE=1/2BC

证明：过点A作AF⊥BC交BC于点F

∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…（1）∴AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……（2）∵BE⊥BC，∴BE//AF ∴∠DBE=∠BAF………………………………（3）∵∠CBE=90°∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………（4）由（1）和（4）知道：∠DBE=∠ECB………………（5）由（3）和（5）知道：∠BAF=∠ECB 又∵AB=CE，∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边）∴BF=EB…………………………（6）由（2）和（6）知道：BE=BC/2

10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交BA 延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)

证明：（1）延长EM，使EM=MG，连接CG

∵点M是BC的中点,∴BM=CM ∵∠BME=∠CMG ∴△BME≌△CMG （SAS)

∴BE=CG,∠E=∠G

∵AD平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE ∴∠E=∠AFE，∴AE=AF ∵∠AFE=∠CFG ，∴∠G=∠CFG ∴CF=CG ，∴BE=CG，∴BE=CF

(2)∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE

∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF

∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) ∵AC=AF+CF ∴2BE=AB+AC ∴BE=CF=1/2(AB+AC)

11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C. 试说明AB+BD=CD的理由。证明：在DC上截取DE=BD，连接AE ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD ∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS) ∴AB=AE ，∠ABC=∠AEB

∵∠AEB=∠C+∠EAC ∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C

∴AE=CE ，∴AB=CE ∵CD=CE+DE ，∴AB+BD=CD

12.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：∠B=2∠C.

证明：在AC上作AE＝AB，连结DE ∵AC=AB+BD＝AE+CE ,∴BD＝CE ∵AD是角平分线,∴∠BAD＝∠EAD 又∵AB=AE，AD=AD ∴△ABD ≌△EAD ∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE

∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C

即:∠B＝2∠C

13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C. 求证：AC=AB+BD.

证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DE

∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义）∵公共边AD=AD AC=AE ∠BAD=∠DAC ∴△ACD≌△AED (SAS) ∴∠ACB=∠DEA（全等三角形形的对角相等）

∵∠BDE+∠DEB=∠CBA ∠CBA=2∠ACB ∠ACB=∠DEA ∴∠BDE=∠DEA ∴BD=BE（等角对等边）

∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE

∴AB+BD=AC

14.如图，点E是等边△ABC一点，且EA=EB, △ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。求∠BDE的度数解：连接CE，∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边，∴△BCE≌△ACE，∴∠BCE=∠ACE=30°又∵BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°

15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE. 求证：BD+DC=AD. A

提示：证明△ABE≌△BCD即可E B C

16.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC 交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE

证明1：作DF∥BC交AB于F,则:

∵∠AFD=∠B=∠ACD, AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边∴△AFD ≌△ACD,AF=AC 连接TF ∵AF=AC, AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边∴△ACT≌△AFT, TF⊥AF,TF∥CM ∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF ∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE

证明2：作TF⊥AB于F,则: ∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD ∴∠CDT =∠CTD , ∴CT=CD ∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB，AC⊥TC ∴CT=TF=CD ∵DE∥BF,TF∥CD, ∴∠DEC=∠B, ∠DCE=∠FTB 又∵TF=CD ∴△CDE≌△TFB, ∴CE=BT ∴CE-TE=BT-TE,CT=BE