[整理]CH8(5)偏导数的几何意义.

§8-5 多元函数微分学的几何应用

A 级同步训练题：

一、客观题：

1、 曲面z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ）

（A ）{1,,-'''z y x F F F } ; （B ）{1,1,1-'-'-'z y z F F F }; （C ）{,,,z y x F F F '''} ; （D ）{1,,y z F F '-'-}.

2、 旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ ）

（A ）

114121-+=+=-z y x ; （B ）11

4121-+=

-+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1

14121--=

-=-+z y x . 3、曲线2

,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ）

(A)

11

11-=

=z y x ; (B) 21

111-=

-=z y x ; (C) 2

111-=

=z y x ; (D) 2

11z y x ==. 4、曲线x=t 3,y=t 2

,z=t 在点（1，1，1）的切向量s =

。 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为

二、求曲面πππ

=-+z

x

y

y x 在点处的切平面和法线方程 。

三、求曲线3

2

,,t z t y t x ===上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面16=-z y 。 四、求曲线19,1,123

2

--=+=--=t t z t y t t x 上的点，使曲线在该点处的切线垂直于

平面0432=+--z y x 。

五、求曲面z=x 2+y 2在（1，2，2）处的切平面与法线方程。

B 级同步训练题：

一、客观题：

1、 设曲面xy z =上点的切平面平行于平面，

则点到已知平面的距离等于（ ）

（A ）

;（B ） ;（C ）

21

24 ; （D ）.

2、曲面)cos(y x x e

z yz

++=在点??

?

??1,0,2π处的法线方程为（ ）

（A ）

1

1

2

122-=

+

=

-

z y x π

π

π

; （B ）1

1

212

2--=

+

=

-

-z y x π

ππ

; （C ）

1

1

2

122-=

-

=

-

-

z y x π

ππ

; （D ）1

1

2

12

2--=

-

=

-

-z y

x π

ππ

. 3、设曲面2

2

y x z -=在点)3,2,1(-处的切平面为，则点到的距离为（ ） （A ）21- ;（B ）21 ;（C ）

21

9 ;（D ）21

9-

.

4、若曲线t z t y t x tan ,sin ln ,cos ln ===在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是（ ） (A)

6

1; (B) 6

1-

; (C) 0; (D) 1.

5、设都是可微函数，则曲线在点处的法平面方程为________

6、若曲线???=++=--3

20

2

2222z y x z y x 在点处的切向量与轴正向成钝角，则它与轴正向夹角的余弦_______

7、设函数具有一阶连续偏导数，且

1)1,1,1(,1)1,1,1(,3)1,1,1(=---=--=--w v u F F F ，曲面过点)1,1,1(--P ，则曲面过点的法线与平面的交角为_______ 。

8、设曲线2,12,122

2

+=-=+=t z t y t x 在对应点处的法平面为，则点)2,2,1(-到的距离______

二、求函数z y x u 32+-=在点（1,1,1）处沿球面外法线方向的方向导数。

三、求曲线t z t y t x ===,2,2

3

上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面1=++z y x 。 四、求曲线上的点，使曲线在该点处的法平面平行于平面，并写出曲线在该点处的切线方程。 五、在柱面上求一曲线，使该曲线经过点，且在任一点处的切向量与轴的夹角等于与轴的夹

角。

六、设M （1，0，0）为曲面),(y x f e z

=上的一点，且2)0,1(='

x f ，2)0,1(-='y f ，求曲面在点M 处的切平面。

七、证明曲线)cos(),sin(,mt n z mt n y mt x ===上任意一点的切线与平面的夹角都相同

（其中0,0≠≠n m ）。

辅导与参考答案： A 级同步训练题：

一、客观题：

1、（A ）

2、（B ）

3、(C)

4、{}1,2,3

5、01=-+-z y x 二、解：对应的切平面法向量{}πππππππππln ),ln 1(),ln 1(-++=n

切平面方程0)ln 2(ln ))(ln 1(=+-?-++ππππz y x ， 法线方程

π

π

ππππln ln 1ln 1--=

+-=+-z y x 。 三、解：设所求的点对应于，对应切线方向向量

{}2

001,2,3S t t = ，2001230S n t t ?=-=

解得：和40=t ，和)64,16,4(。

四、解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量

{}20022,1,39S t t =--，

解得：，所求点为（-1，3，－11）。

五、解：1,2,2,),,(2

2

-===-+=z y x F y F x F z y x z y x F

在点（1，2，2）处{}1,4,2-=n

切平面为0842=--+z y x ；法线为

1

2

4221--=

-=-z y x 。 B 级同步训练题：

一、客观题：

1、（C ）

2、（D ）

3、（C ）

4、(A)

5、

6、41

1-

7、 8、

6

1

二、解：{}{}2,2,221,1,1n x y z ==，

()

()

()

32

1

1,1,11,1,11,1,1=-==z u

y u

x u

??????，

3

2313312311=+?-?=n u ??。 三、解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量

{}2003,4,1S t t =，2003410S n t t ?=++=；

310-=t 和10-=t ，所求点为：??

?

??--31,92,271和)1,2,1(--。

四、解：对应的法平面法向量

平行于平面法向量

，和；

所求点为：和，

切线方程： 和 。

五、解：设曲线的参数方程为

{}sin ,cos ,()S R t R t z t '=-，

S 与轴夹角余弦；

S 与轴夹角余弦，

由，得

由曲线过点，得

所求曲线为： 。

六、解：z

z y y x x z

e F

f F f F e y x f z y x F -='='=-=,,,),(),,(，

{}0222,1,2,2=-----=z y x n 切平面为

七、

八、证：对任意，{}{},cos(),sin()1,cos(),sin()S m mn mt mn mt m n mt n mt =-=

yOz 平面法向量{}1,0,0i =

，cos()S i ∧

?=

()S i ∧

?= 。