数字成形滤波器设计

数字成形滤波器设计及FPGA实现

摘要

本文对数字基带信号脉冲成型滤波的应用、原理及实现进行了研究。首先介绍了数字成型滤波的应用意义并分析了模拟和数字两种硬件实现方法，接着介绍了成形滤波器设计所需要MATLAB软件，以及利用ISE system generator在FPGA 上进行滤波器实现的优势。文中给出了成形滤波函数的数学模型，讨论了几种常用成形滤波函数的传输特性以及对传输系统信号误码率的影响。然后介绍了本次设计中使用到的数字成形滤波器设计的几种FIR滤波器结构。把各种设计方案进行仿真，比较仿真结果，最后根据实际应用的情况并结合设计仿真中出现的问题进行分析，得出各种设计结构的优缺点以及适合应用的场合。

关键词：成型滤波器，FIR，FPGA，窗函数

Design and FPGA Implementation of Digital Shaping

Filter

Abstract

This Paper investigates the problems about theory, application and implementation of digital base-band signal shaping. Firstly, it introduces the meanings of using shaping filter and analyzes the two ways of implementation: analog way and digital way. Secondly, it makes introduction about what used in design and implementation. Matlab in this paper is used to design and simulate the filter, and ISE system generator is helpful for filters of implemented by FPGA. This paper gives the mathematical model of the shaping-filter functions and discusses their transmission characteristics. Then, it introduces several FIR filter structures of digital shaping filter. Finally, it makes compares between the results of simulation, and analyzes problems appearing designing and simulation to find advantages and disadvantages of different structures and the fitting situation.

Key Words：Shaping filter; FIR; FPGA; Window

目录

摘要 (ⅰ)

Abstract (ⅱ)

第一章绪言 (1)

1.1 引言 (1)

1.2成形滤波器的应用 (1)

1.3成形滤波器的硬件实现 (2)

第二章开发环境与工具 (3)

2.1 FPGA概述 (3)

2.2 Matlab简介及使用 (3)

2.3 ISE工具介绍 (4)

第三章成型滤波函数及滤波器硬件结构设计 (5)

3.1 无码间干扰传输函数的设计 (5)

3.2 成型滤波器 (5)

3.2.1 低通滤波器 (5)

3.2.2 升余弦滚降滤波器 (7)

3.3 FIR滤波器结构 (8)

3.3.1 直接型结构 (9)

3.3.2 多相滤波结构 (10)

3.3.3 过采样 (12)

3.4 窗函数法设计FIR滤波器 (13)

第四章仿真与分析 (17)

4.1 仿真 (17)

4.1.1 直接型结构 (17)

4.1.2 直接型对称结构 (18)

4.1.3 转置式结构 (20)

4.1.4 8倍过采样结构 (21)

4.1.5 多相滤波结构 (23)

4.2 分析与心得 (24)

第五章总结与展望 (27)

参考文献 (28)

致谢 (29)

附录 (30)

第一章绪论

1.1引言

在现代无线电通信中,由于基带信号的频谱范围都比较宽, 随着现代数字通信技术的发展，频带拥挤的问题日益突出。为了有效利用信道,在信号传输出去之前,都要对信号进行频谱压缩,限制信号的带宽必然会增加接收机端的误码率。

1.2成形滤波器的应用

为了提高频谱的利用率，除采用高效率的数字调制技术、正交极化技术(水平、垂直极化公用技术)之外，还广泛使用成形滤波技术，即对发送信号的频谱进行专门加工，使其在消除码间干扰(ISI)和实行最佳检测的前提下，压缩信号频带，提高频谱的利用率。

成形滤波技术，可以在基带进行，也可以在中频(IF)和射频(RF)实现。由于中频和射频信号的频率较高，难以采用数字处理技术，实现的难度较大且不易实现线性最佳化。因此，成形滤波技术通常都是在基带上完成的。

1928年，Nyqulst首先研究了信号传输无失真的条件。后来，人们把它继续向前发展，形成了数字传输系统普遍遵守的三大准则[1][2]，这就是Nyuqist准则。Nyuqist准则指出了数字信号在无噪声线性信道上无失真传输的条件。

Nyquist第一准则，又叫做无码间干扰准则，极限情况下可以从理想低通滤波器导出。理想低通滤波器在时域上形成的()t a S波形具有频带利用率高的优点，在无码间干扰的条件下，可以达到最高的频带利用率(2波特/Hz)。但是有两个致命的弱点。第一是理想低通滤波器在频域上的陡峭截止特性难以实现，第二是在时域上，()t a S波形的前导和后尾起伏比较大，衰减缓慢，码间干扰严重，以至于收端定时和实现网络的微小误差都可能导致严重的码间干扰。

为了克服理想低通滤波器的缺点， R.A.Gibby和J.W.Smiht在1965年证明了若将理想低通滤波器的尖锐截止特性按一定规律滚降，同样可以实现信号的无失真传输[3][4]。这种滚降特性不仅容易实现，而且其时域响应波形的前导和收尾起伏小，衰减快，因而在接收端对系统定时和实现网络精度的要求较理想低通滤

其频带利用率只有α

+12波特/Hz(α称为滚降系数，10≤<α)。 1.3 成形滤波器的硬件实现

在数字滤波器面世之前，脉冲整形电路是用模拟滤波器来实现的。不幸的是，模拟滤波器的响应特性受到元件值波动的影响，这种波动由公差范围、温度和老化等参数来标定，因此容易出现感应、杂散效应甚至振荡等现象，同时它的制作和调整较复杂，体积不易缩小，因而模拟成形滤波器只有在早期被使用[5]。与基带模拟成形滤波器相比，基带数字成形滤波器具有高精度、高可靠性、高灵活性的优点，同时，还具有便于大规模集成、易于实现线性相位等特点。因而，在现代数字通信系统中，数字成形技术大多在数字域进行。

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。本质上它是完成从输入到输出过程的特定运算的数字计算机。对这样的计算机，可以有不同的结构形式来描述它。IIR(infinite Impulse Response)和FIR(finite Impulse Response)滤波器构成了数字滤波器的两大类。由于FIR 滤波器有严格的线性相位，其单位冲击响应h(n)是有限长、稳定的，可以通过一些快速算法来实现。在许多实际应用中，通常用FIR 滤波器来实现信号的滤波功能。设计FIR 滤波器常用的方法有窗函数法、频率抽样法、最优等波动法等。

第二章开发环境与工具

2.1FPGA概述

FPGA（Field－Programmable Gate Array），即现场可编程门阵列，它是在PAL、GAL、CPLD等可编程器件的基础上进一步发展的产物。它是作为专用集成电路（ASIC）领域中的一种半定制电路而出现的，既解决了定制电路的不足，又克服了原有可编程器件门电路数有限的缺点。

FPGA采用了逻辑单元阵列LCA（Logic Cell Array）这样一个概念，内部包括可配置逻辑模块CLB（Configurable Logic Block）、输出输入模块IOB（Input Output Block）和内部连线（Interconnect）三个部分。

FPGA是由存放在片内RAM中的程序来设置其工作状态的，因此，工作时需要对片内的RAM进行编程。用户可以根据不同的配置模式，采用不同的编程方式。

加电时，FPGA芯片将EPROM中数据读入片内编程RAM中，配置完成后，FPGA进入工作状态。掉电后，FPGA恢复成白片，内部逻辑关系消失，因此，FPGA能够反复使用。FPGA的编程无须专用的FPGA编程器，只须用通用的EPROM、PROM编程器即可。当需要修改FPGA功能时，只需换一片EPROM 即可。这样，同一片FPGA，不同的编程数据，可以产生不同的电路功能。因此，FPGA的使用非常灵活。

2.2Matlab简介及使用

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB

成为一个强大的数学软件。

Simulink是Matlab中的一种可视化仿真工具，广泛应用于线性系统、数字控

制、非线性系统以及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink采用模块化建模方

式，每个模块都有自己的输入/输出端口，实现一定的功能。在Simulink中仿真

模型表现为若干个仿真模块的集合以及这些模块之间的连接关系，这就使得仿真

的设计和分析过程变得相对直接便捷。[6]

FDATool(Filter Design & Analysis Tool)是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB6.0以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱(Filter Design Toolbox)。FDATool可以设计几乎所有的基本的常规滤波器，包括FIR和IIR的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。

2.3ISE工具介绍

Xilinx作为当今世界上最大的FPGA/CPLD生产商之一，长期以来一直推动

着FPG刀CPLD技术的发展。其开发的软件也不断升级换代，由早期的Foundation

系列逐步发展到目前的ISE8.2系列。ISE是集成综合环境的简称，它是Xilinx

提供基于FPGA的多相滤波结构研究与实现的一套工具集，其中包括了设计输入

工具、综合工具、仿真工具、实现工具和辅助设计工具等五类，这些工具可以完

成整个FPGA/CPLD的开发过程。

Xilinx System Generate for DSP软件是由Xilinx公司开发的Matlab/Simulink

环境下的一个工具箱，在使用FPGA作为原型平台运行算法时，这一新软件不仅

能够对硬件的真实情况进行仿真，还能够自动生成硬件实现时所需的硬件描述语

言代码。与语言设计方法相比，使用Xilinx System Generate for DSP有三个主要

的优势：第一，图形化操作，简单易用；第二，实现的算发能确保与仿真结果相

符；第三，无需为仿真和实现建立不同的模型。[7]

第三章 成型滤波函数及滤波器硬件结构设计

3.1 无码间干扰传输波形的设计

Nyquist 第一准则指出了在带限情况下，无码间干扰数字传输的充要条件。假设数字信号传输波形为()t s ，其傅里叶变换为()ωS ，码元宽度为T ，当数字信号以T

1波特的码元速率传输时，接收端无码间干扰的充要条件是[8]。 在时域上

()?

??≠==000n n nT s 常数 (3.1)

或者在频域上 ???????=?????

?+<=??????+∑∑∞+-∞=+∞-∞=其他常数n n T n S T T n S 0)2(Im )2(Re πωπωπω (3.2) 这里，Re[]，Im[]分别表示取实部和虚部。

.式(3.2)的物理意义是:把()ωS 频率ω轴上切开，以

T 2π为间隔，然后分别平移到(-T π，T

π)区间内，它们叠加的结果，实部为常数，虚部应为零，此时可实现信号无码间干扰的传输。

对数字信号传输来说，并不要求在带限后时域波形保持不变，而只要求在取样判决时刻能准确地恢复出原来数字序列的幅度信息即可。因此，满足(3.1)或者(3.2)式的信号波形()t s 是多种多样的。但是，影响系统传输性能的因素是多方面的。有时，为了使其它方面能较易实现，必须要牺牲一定的误码率。

3.2 成型滤波器

3.2.1 理想的成型滤波器

满足(3.1)式或(3.2)式最简单的成形滤波器是理想低通滤波器，其基带系统的传输特性可用式(3.3)表示

()()???

????>≤=s s eq T f T f f H f H 210211＝ (3.3) 从式(3.3)看出，该系统愉的频谱宽度为

T 21，时域波形函数为抽样函数Sa(t)。当信号速率为T

1波特时，频谱利用率为2波特/Hz 。这是无码间干扰传输时，频率利用率的极限。图3.1为理想低通函数的时域波形和频域波形图。

图3.1 理想低通滤波函数的时域波形

图3.2 理想低通滤波函数的频域波形

按照式(3.3)和图 3.1，系统传递函数应具有陡峭的截止频率，实际上这是无法实现的，没有任何实际意义。

3.2.2 升余弦滚降器

在移动通信中最普遍的脉冲成形滤波器是升余弦滚降滤波器，其频谱形状满足奈奎斯特准则，且频率响应满足升余弦特性[9][10]：

()()???????>≤≤????

????????-≤≤=d d c c c H ωωαωττωτω04cos 02 (3.4)

式中：

ω是角频率()f π2

τ是脉冲周期

α是滚降因子（roll off factor ）

c 是()ταπ-1

d 是()ταπ+1

所谓升余弦特性，就是指将()f H eq 在一定条件下进行平滑，这种平滑的现象通常又称为“滚降”，平滑的程度用系数α来表示。假设滤波器无滚降时的截止频率为1f ，滚降部分的截止频率为2f ，则12f f =α。滚降是指它的频谱过渡特性，而不是波形的形状。

升余弦滚降滤波器的频率响应和冲激响应如下图所示：

图3.3 升余弦频率响应特性

图3.4 升余弦时域响应

升余弦滤波器的响应特性可以通过一个被称为滚降因子（roll off factor ）的参数来进行调节，该因子由α来表示，10≤≤α。

在α＝0的情况下，频率响应局限于1/20f 。

当α＝1，频率响应局限为0f 。

当α在0和1之间时，频率响应被局限在1/20f 和0f 之间

0f 为采样频率。

3.3 FIR 滤波器结构

一般来说，数字脉冲整形滤波器是以有限脉冲响应（finiteimpulse response ，FIR ）而不是无限脉冲响应（infinite impulseresponse ，IIR ）滤波器形式实现的，这有几个方面的原因。

? 设计FIR 滤波器时可以容易地获得线性的相位响应，这对于那些必须确保恒定群延迟的应用来说非常重要。

? FIR 不会存在极限环的影响，而这是常常困扰IIR 设计的问题。极限环是指，即使除去输入信号后滤波器输出端的某种微小振荡仍然不会消失。

? FIR 滤波器本质上是稳定的，因为它们内部没有反馈。另一方面，IIR 架构则存在反馈通道，因此，其系数的选择将影响到稳定性。事实上，如果没有认真地实现一个无条件稳定的设计，则IIR 滤波器会出现振荡。

因此，本文设计采用FIR 结构滤波器。

3.3.1 直接型结构

设FIR 数字滤波器的单位冲激响应h (n)为一个N 点序列，10-≤≤N n ，则滤波器的系统函数为：

()∑-=-=10)(N n n z n h z H

(3.5)

文献[11]详细论证了FIR 数字滤波器具有线性相位的充要条件是满足下面两个式子之一：

偶对称：()()n N h n h --=1

(3.6) 奇对称：()()n N h n h ---=1

(3.7)

式(3.6)、(3.7)的对称中心在21-=N n 处。 FIR 数字滤波器有直接型、级联型、频率抽样型和快速卷积型等四种基本结构。根据线性相位FIR 数字滤波器系数对称的特点知直接型结构是其最佳选择[11]。

式(3.5)的差分方程表达式为：

()()()∑-=-=10N m m n x m h n y

(3.8)

式(3.8)所对应的滤波器结构就是直接型结构，其中N 为滤波器的阶数，

()m h 为滤波器的系数（由于性能确定的FIR 数字滤波器对应确定的一组系数，所以()m h 为常数），()m n x -为第()m n -个单位时间的采样输入，()n y 为第n 个单位时间的采样输入()n x 对应的输出。其结构方框图如图3.5所示，直接型FIR 数字滤波器的滤波运算包括三种运算方式：①输入采样序列的延时；②常系数乘法；③乘积项求和。滤波器的阶数越高其滤波效果越好但电路越复杂[11][12]。

1-

1-1-

图3.5 直接型FIR 数字滤波器

若()n h 呈现对称特性，即此FIR 滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：

1-

1

-(x ()

n y 图3.6 N 为奇数时线形相位FIR 滤波器实现结构

1-

1

-x ()

n y 图3.7 N 为偶数时线性相位FIR 滤波器实现结构

我们还可以对直接型结构进行转置，得到图3.8所示结构：

图3.8 转置式结构示意图

3.3.2 多相滤波结构

在FIR 滤波器中，转移函数为:

()()∑-=-=1

0N n n z n h z H

(3.9)

式中N 为滤波器长度。将冲激响应()n h 按下列的排列分成D 个组，并设N 为D 的整数倍，即Q D N =，Q 为整数，则:

()()()()[]()()()()[]()()()()()[]()()()()()()∑∑∑-=----=---=------------+-----+++++=-+-+??+-+-++-+??++++-+??++=1011011

011)12(11

1)1(110)1()1()0(11121111110Q n n

D D Q n n D Q n n D D D Q D D D Q D D

Q D z D nD h z z nD h z z

nD h z D D Q h z D h z D h z D Q h z D h z h z D Q h z D h z h z H ∶∶∶∶∶∶∶

∶

∶

使： ()()110)(10

-?=+=∑-=-D k z k nD h z

E Q n n D D k ，，， (3.10) 则转移函数为: ()()∑-=-=1

0D k D k k z E z z H (3.11)

()D k z E 称为()z H 的多相分量。公式(4.7)称为转移函数()z H 的多相表示。将公式(3.11)中的z 换成ωj e ，则

()()∑==-=10D k D j k k j j e E e e H ωωω

(3.12)

公式(3.12)中k j e ω-表示不同的k (12,1,0-??=D k )具有不同的相位，所以称为多相滤波结构。如图3.8所示。

图3.9 多相滤波结构

多相滤波的实质可以看作按相位均分的关系把数字滤波器的转移函数()z H 分解成若干个不同相位的组，形成多个分支，在每个分支上实现滤波。这样做的目的就是用其分支上阶数较少的滤波来实现原来阶数很大的()z H 的滤波。这样做的意义在于工程上易于实现，能高效的进行实时信号的处理。

3.3.3 过采样 过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。设数字音频系统原来的采样频率为s f ，通常为4

4.1kHz 或48kHz 。若将采样频率提高到s f R ?，R 称为过采样比率，并且1>R 。在这种采样的数字信号中，由于量化比特数没有改变，故总的量化噪声功率也不变，但这时量化噪声的频谱分布发生了变化，即将原来均匀分布在2~0s f 频带内的量化噪声分散到了2~0s Rf 的频带上。

若1>>R ，则2s Rf 就远大于音频信号的最高频率m f ，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉m f 以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。这时，过采样系统的最大量化信噪比为：

()dB m s dB f Rf n N S 2lg 1076.102.64++≈???? ??

(3.13)

式中m f 为音频信号的最高频率，Rf 为过采样频率，n 为量化比特数。 从上式可以看出，在过采样时，采样频率每提高一倍，则系统的信噪比提高3dB ，换言之，相当于量化比特数增加了0.5个比特。由此可看出提高过采样比率可提高A/D 转换器的精度。

3.4 窗函数法设计FIR 滤波器

FIR 数字滤波器设计方法的基础就是要求所设计的滤波器频率响应逼近性能指标要求的频率响应,窗函数设计法是FIR 数字滤波器设计方法之中最常用的设计方法之一。

用窗函数设计FIR 数字滤波器时，一般先要给出所要求的理想滤波器频率响应()ωj d e H ，通过设计()()∑-=-=10N n n j j e n h e H ωω

来逼近()

ωj d e H 。 由于设计是在时域进行的，所以需通过傅里叶反变换导出()n h d ,即

()()?-=ππωωωπd e e H n h n j j d d 21

(3.14)

()n h d 是个无限长的序列。对FIR 数字滤波器而言，其单位冲激响应()n h 是有限长的，所以要()n h 逼近()n h d ，可用一个有限长度的窗口函数序列()n ω来截断()n h d ，即

()()()n h n n h d ω= (3.15)

()n ω即所谓的窗函数，它为有限长序列。

按照复卷积公式，在时域相乘，则频域上是周期卷积关系，即

()()()()θπππθωθωd e W e H e H f j d j ?--=21

(3.16)

因而()ωj e H 逼近()ωj d e H 的好坏完全取决于窗函数的频率特性()ωj e W 。窗函数()n ω的频率特性()

ωj e W 为：

()()∑-=-=10N n n j j e n e W ωω

ω (3.17)

常用的窗函数有：矩形窗、三角窗、汉宁（hanning ）窗、海明（hamming ）窗、布莱克曼（Blackman ）窗、凯塞（Kaiser ）窗。

过渡带宽取决于矩形窗函数频率响应的主瓣宽度，好的FIR 选频滤波器过渡带要尽量陡。当旁瓣相对值尽可能小，数量尽可能少时，才可以得到大的阻带衰减，满足工程上的需求，所以一般希望窗函数满足以下两项要求[11]：

1、窗谱主瓣尽可能的窄，以获得较陡的过渡带；

2、尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。

设计FIR 数字滤波器时可以参考表3.1的指标来选择窗函数。

表3.1 六种窗函数基本参数比较[11]

取滤波器阶数为8，采样频率为1000Hz ，截止频率为200Hz ，滚将系数为0.35,通过FDATool 查看各窗函数的幅频响应：

图3.10(a)矩形窗

图3.10(b)三角窗

图3.10(c)汉宁窗

图3.10(d)海明窗

图3.10(e)布莱克曼窗

β

图3.10(f)凯泽窗().50=本文中选用海明窗。