中考数学阅读理解型问题
阅读理解型问题
一、中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 例1 （2013?六盘水）阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式： sin （α±β）=sinαcosβ±cosasinβ； tan （α±β）=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
±m 。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例
：
tan15°=tan
（
45°-30°
）
=
tan 45-tan 301tan 45tan 30??
+??
g =
3
1(33)(33)1263363(33)(33)
13-
---==+-+
=2-3
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 （1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为 1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据
3=1.732， 2=1.414）
1．分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
②
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=1
2
AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE．
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×1
2
×4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S △ACD =S △BCD ． ∴AD=BD=
1
2
AB ， ∵沿CD 折叠A 和A′重合， ∴AD=A′D=
12AB=1
2
×4=2， ∵△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的1
4
， ∴S △DOC =
14S △ABC =12S △BDC =12S △ADC =1
2
S △A′DC ， ∴DO=OB ，A′O=CO ，
∴四边形A′DCB 是平行四边形， ∴BC=A′D=2，
过B 作BM ⊥AC 于M ， ∵AB=4，∠BAC=30°， ∴BM=
1
2
AB=2=BC ， 即C 和M 重合， ∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=2242 =23， ∴△ABC 的面积是12×BC×AC=1
2
×2×23=23； ②如图2，
售价（元/部） 4300 3000
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． （毛利润=（售价-进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润． 2．解：（1）设商场计划购进甲种手机x 部，乙种手机y 部，由题意，得
0.40.2515.5
0.030.05 2.1
x y x y +=??
+=?， 解得：20
30
x y =??
=?，
答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；
（2）设甲种手机减少a 部，则乙种手机增加2a 部，由题意，得 0.4（20-a ）+0.25（30+2a ）≤16， 解得：a≤5．
设全部销售后获得的毛利润为W 元，由题意，得 W=0.03（20-a ）+0.05（30+2a ） =0.07a+2.1 ∵k=0.07＞0，
∴W 随a 的增大而增大， ∴当a=5时，W 最大=2.45．
答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．
考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
例3 （2013?连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，求证：S 四边形ABCD =S △ABF （S 表示面积）
问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB 内有一个定点P ．过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA 、OB 于点M 、N ．小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值，请问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．
实际应用：如图3，若在道路OA 、OB 之间有一村庄Q 发生疫情，防疫部门计划以公路OA 、OB 和经过防疫站P 的一条直线MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON ．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km ，试求△MON 的面积．（结果精确到0.1km 2）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，
3≈1.73）
拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 、C 、P 的坐标分别为（6，0）（6，3）（
92，9
2
）、（4、2），过点p 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC 分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形面积的最大值．
思路分析：问题情境：根据可以求得△ADE ≌△FCE ，就可以得出S △ADE =S △FCE 就可以得出结论； 问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P 是MN 的中点时S △MON 最小，过点M 作MG ∥OB 交EF 于G ．由全等三角形的性质可以得出结论；
实际运用：如图3，作PP 1⊥OB ，MM 1⊥OB ，垂足分别为P 1，M 1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；
拓展延伸：分情况讨论当过点P 的直线l 与四边形OABC 的一组对边OC 、AB 分别交于点M 、N ，延长OC 、AB 交于点D ，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD 的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；
当过点P 的直线l 与四边形OABC 的另一组对边CB 、OA 分别交M 、N ，延长CB 交x 轴于T ，由B 、C 的坐标可得直线BC 的解析式，就可以求出T 的坐标，从而求出△OCT 的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论． 解：问题情境：∵AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠F ，∠D=∠FCE ． ∵点E 为DC 边的中点， ∴DE=CE ．
∵在△ADE 和△FCE 中，
DAE F D FCE DE CE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ADE ≌△FCE （AAS ）， ∴S △ADE =S △FCE ，
∴S 四边形ABCE +S △ADE =S 四边形ABCE +S △FCE ， 即S 四边形ABCD =S △ABF ；
问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF 于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；
实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1=
1
2
OP=2，OP1=23．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，
tan∠AOB=1
1
MM
OM
，
2.25=
1
4
OM
，
∴OM1=
16
9
，
∴M1P1=P1N=23-
16
9
，
∴ON=OP1+P1N=23+23-
16
9
=43-
16
9
．
∴S△MON=
1
2
ON?MM1=
1
2
（43-
16
9
）×4=83-
32
9
≈10.3km2．
拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，
∵C（
9
2
，
9
2
），
∴∠AOC=45°，
∴AO=AD．
∴A（6，0），
∴OA=6，
∴AD=6．
∴S△AOD=
1
2
×6×6=18，
由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，
∴M1P1=P1A=2，
∴OM1=M1M=2，
∴MN∥OA，
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=
1
2
×2×2+2×4=10
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
∵C（
9
2
，
9
2
）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得
99
22
36
K b
k b
?
=+
?
?
?=+
?
，
解得：
-1
9
k
b
=
?
?
=
?
，
∴y=-x+9，
当y=0时，x=9，
∴T（9，0）．
∴S△OCT=1
2
×
9
2
×9=
81
4
．
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，
∴4=-x+9，
∴x=5，
∴M（5，4），
∴OM1=5．
∵P（4，2），
∴OP1=4，
∴P1M1=NP1=1，
∴ON=3，
∴NT=6．
∴S△MNT=1
2
×4×6=12，
∴S四边形OCMN=81
4
-12=
33
4
＜10．
∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．
对应训练
3．（2013?江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）
①AF=AG=1
2
AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．
∴整个图形是轴对称图形，故③正确． ∵AB=AC ，BM=CM ， ∴AM ⊥BC ，
∴∠AMB=∠AMC=90°， ∵∠ADM=90°，
∴四边形ADBM 四点共圆， ∴∠AMD=∠ABD=45°． ∵AM 是对称轴，
∴∠AME=∠AMD=45°， ∴∠DME=90°，
∴MD ⊥ME ，故④正确， 故答案为：①②③④
●数学思考：
MD=ME ，MD ⊥ME ．
理由：如图，作AB 、AC 的中点F 、G ，连接DF ，MF ，EG ，MG ， ∴AF=
12AB ，AG=1
2
AC ． ∵△ABD 和△AEC 是等腰直角三角形， ∴DF ⊥AB ，DF=
12AB ，EG ⊥AC ，EG=1
2
AC ， ∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF ，GE=AG ．
∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MG ∥AB ，
∴四边形AFMG 是平行四边形，
∴AG=MF ，MG=AF ，∠AFM=∠AGM ．
∴MF=GE ，DF=MG ，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE ， ∴∠DFM=∠MGE ．
∵在△DFM 和△MGE 中，
MF GE DFM MGE DF MG =??
∠=∠??=?
， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴DM=ME ，∠FDM=GME ． ∵MG ∥AB ，
∴∠GMH=∠BHM．
∵∠BHM=90°+∠FDM，
∴∠BHM=90°+∠GME，
∴∠BHM=90°+∠GME，
∵∠BHM=∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，
即∠DME=90°，
∴MD⊥ME．
∴DM=ME，MD⊥ME；
●类比探究：
∵如图3，点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF=
1
2
AC，MG∥AB，MG=
1
2
AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中
MF EG
DFM MGE
DF MG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME为等腰直角三角形．
考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题
例4 （2013?北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，
AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
3
3
，则AD的长为．
思路分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为1
2
a，
每个等腰直角三角形的面积为：1
2
a?
1
2
a=
1
4
a2，
则拼成的新正方形面积为：4×1
4
a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等
∴这个新正方形的边长为a．
故填空答案为：a．
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×1
2
×12=2．
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=1
2
SF=
1
2
a，
在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=1
2
a×
3
3
=
3
6
a，
∴S△RSF=1
2
a?
3
6
a=
3
12
a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AR?sin30°=1
2
x，SD=2ND=2ARcos30°=3x，
∴S△ADS=1
2
SD?AN=
1
2
?3x?
1
2
x=
3
4
x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×
3
12
a2=
3
4
a2，正△ABC
的面积为
3
4
a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴
33=3×34
x 2
，得x 2=49，解得x=23或x=-23（不合题意，舍去）
∴x=
23，即AD 的长为2
3
． 故填空答案为：2
3
．
点评：本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力． 对应训练 4．（2013?河北）一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示． 解决问题：
（1）CQ 与BE 的位置关系是 ，BQ 的长是 dm ； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液=底面积SBCQ×高AB ） （3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=
34，tan37°= 3
4
）
拓展：在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC=x ，BQ=y ．分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．
延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm ，BM=CM ，NM ⊥BC ．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm 3．
4．解：（1）CQ ∥BE ，BQ=22
54 =3；
（2）V液=1
2
×3×4×4=24（dm3）；
（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=3
4
，
∴α=∠BCQ=37°．
当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，∵液体体积不变，
∴1
2
（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=
12
4x
；
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，
由BB′=4，且1
2
PB?BB′×4=24，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=3
4
，得∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°；
延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H．
在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=23．
∴MG=BH=4-23＜MN．
此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱．
∵S△NFM+S MBB′G=1
2
×
3
3
×1+
1
2
（4-23+4）×2=8-
113
6
．
∴V溢出=24-4（8-113
6
）=
223
3
-8＞4（dm3）．
∴溢出液体可以达到4dm3．四、中考真题演练
1．（2013?义乌）在义乌市中小学生“我的中国梦”读数活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你结合图中信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了名学生；
（2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的%；
（3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校共有学生1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？
1．解：（1）共调查的学生数：
40÷20%=200（人）；
（2）最喜爱丁类图书的学生数：200-80-65-40=15（人）；
最喜爱甲类图书的人数所占百分比：80÷200×100%=40%；
（3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得：
x+1.5x=1500×20%，
解得：x=120，
当x=120时，5x=180．
答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有180人，120人．
2．（2013?天门）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：
根据图表解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共吨；
（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占1
5
，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级
原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？
2．解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，
∴垃圾总量为5÷10%=50吨，
故B类垃圾共有50×30%=15吨，
故统计表为：
（2）∵C组所占的百分比为：1-10%-30%-54%=6%，
∴有害垃圾为：50×6%=3吨；
（3）5000×54%×1
5
×0.7＝378（吨），
答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．
3．（2013?河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽
中考数学 阅读理解题及答案
阅读理解题 1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”． 例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． (1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； (2)求出不大于100的“纯数”的个数． 解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”． 理由：当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021， ∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位， ∴2019不是“纯数”； 当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022， ∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百位为0＋0＋0＝0，不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，∴2020是“纯数”． (2)由题意可得， 连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产生进位， 当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个， 当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个， 当这个数是三位自然数时，只能是100， 由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13，即不大于100的“纯数”有13个． 2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(5＋3)(5－3)＝－4，(3＋2)(3－2)＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中 一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如1 3 ＝ 1×3 3×3
重庆市2020学年中考数学实现试题研究新定义阅读理解题题库
新定义阅读理解题 1.阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”. 材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ， z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= z x x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除； （2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值. （1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数）， 则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）. 又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数， ∴91m +91a +k 1+k 2为整数， ∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除. （2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2， S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2， ①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++， 则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除， ∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除， ∴2a -2b +1能被11整除. ∵1≤a ≤5，0≤b ≤5， ∴-7≤2a -2b +1≤11， ∴2a -2b +1=0或11，
重庆中考数学材料阅读24题练习题
2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过 三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198； （2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”． （1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=， 因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律． （2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
中考数学阅读型试题
中考数学阅读型试题 近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答 例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： ])2 ([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面 积）。 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2 c b a p ++= ）。 (1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。 (2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。 分析： 这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。
1 2 4 3F E D D D C C C B B B A A A 练习 1．阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）； （a ） （b ） （c ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ，43____S S ； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有 条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ （4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；
中考数学阅读理解题专题
中考百分百——备战2008中考专题 (阅读理解题) 一、知识网络梳理 阅读理解题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;?二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息回答问题.提供的阅读材料主要包括:?一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。涉及到的数学知识很多，几乎涉及所有中考内容。 阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。 题型考查解题思维过程的阅读理解题 言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学素质的前提。数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的。 题型考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题 理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或实质，理解概念间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识。这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力。 题型考查归纳、探索规律能力的阅读理解题 对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。这类试题意在检测解题者的数学化能力以及驾驭数学的创新意识和才能。 题型考查掌握新知识能力的阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。 解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错。 第一课时代数阅读题 ［目标导学］ 此类阅读理解题一般以数式的运算、方程（不等式）的计算以及函数知识为背景，考查相关的知识；内容可以包括定义新思路、新方法，这主要是考查学生的理解应变能力，也可以是提供全新的的阅读材料，介绍新知识，用来考查学生的学以致用的能力。 ［例题精析］
中考数学材料阅读题练习
阅读理解（24题） 解题方法和技巧：1、根据他给的例子，模仿求解，2、转化思想，3、较强的观察、归纳、推理、分析能力，4、在理解的基础上对知识进行升华。 阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)迁移探究与拓展应用型等. 【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读——理解——应用.重点是阅读,难点是理解,关键是应用.阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题. 典型例题： 整除类： 例1、若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数. 如22，797，12321都是对称数，最小的对称数是11,但没有最大的对称数，因为数位是无穷的. （1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除； （2）设一个三位对称数为______ aba（10 a b +<），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该 四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数. 例2、（2015?重庆）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由； (2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(14 x ≤≤，x为自然数)，十位上的数字为y，用含有x的式子表示y.
中考数学阅读理解题解析
中考数学阅读理解题解析 一、 题目来源：原创题 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。本题依据初高中数学在含绝对值的不等式知识的衔接点设计问题。 二、 原题设计： 阅读下面的材料：解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1 解：x ＝5和x ＝2 3 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段： 于是，原不等式变为 （Ⅰ）
或（Ⅱ） 或（Ⅲ） 解（Ⅰ）得 x<-7， 解（Ⅱ）得31
……………………２分 于是，原不等式变为 （Ⅰ） ???>--+--<8 )3()3(3x x x 或（Ⅱ）???>-++-<≤-8 )3()3(33x x x 或（Ⅲ）? ??>-++≥8)3()3(3x x x ……………………４分 解（Ⅰ）得 x<－4， 解（Ⅱ）得无解， 解（Ⅲ）得 x>4； ……………………６分 所以（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的解集的公共部分即为原不等式的解集，解集为x<－4或x>4。 ……………………８分 四、试题解析 此阅读理解题含两个绝对值不等式的计算为背景，考查绝对值、不等式组相关的知识；内容包括解题过程新思路、新方法，这主要是考查学生的理解应变能力，同时也提供全新的的阅读材料，介绍新知识，用来考查学生的学以致用的能力。此题的难点是把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解。通过不等式的求解，加强学生的运算能力。 提高学生解决问题过程中熟练运用“数形结合”数学思想的能力。本题还突显了初高中数学教材之间的联系。 五、试题与考试说明的对应关系 新课标和考纲要求学生，能够在实际情境中有效地应用代数运算、代数模型及相关概念解决问题：考查学生在运算能力、应用意识、创新意识的发展情况和学生对数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想的领悟程度。 六、考查知识点 本题用到的知识：绝对值、解不等式组、不等式组的解集等基础知识， 七、能力要求 主要技能：运算能力、抽象概括能力。 核心思想：数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想。 八、试题难度：中等 九、试题价值 本题重在考查学生的阅读理解能力、观察思考能力、分析判断能力、抽象概括能力、类比能力等，同时也考查数学基础知识和基本技能，对学生来说这类问题至少有据可依，有利于学生找到解决问题的突破口，也增强了学生的学习信心，激发学生的学习兴趣。本题还充分体现初高中数学之间的联系，突显数学学科整体的系统性。阅读理解题具有创新性、综合性、灵活性、全面性，除了初中数学
中考数学材料阅读题专题练习(2020年整理).pdf
阅读理解（二）（24题） 典型例题： 例1、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一．对于任意一个用n ()10n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~()1n ?进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数()2 52342535469=?+?+=，记作5(234)69=， 七进制数()2 71361737676=?+?+=，记作7(136)76=． （1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)= ，7(46)= ； （2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为() 5cba ，请求出这个数并用十进制表示． 例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如： 223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索： 小明的方法是一个一个找出来的： 220-00=，220-11=，221-23=，220-24=，222-35=，223-47=， 221-38=，224-59=，225-611=， 。。。。 小王认为小明的方法太麻烦，他想到: 设k 是自然数，由于12)1)(1)12 2+=?+++= ?+k k k k k k k （（。 所以，自然数中所有奇数都是智慧数。 问题：
(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______ (2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你 参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数。 (3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利 用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由。 例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…，都是“妙数”． （1） 若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为； （2） 证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果 一定能被11整除； （3） 在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一 个新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字．是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9)A n +各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．
中考数学专题复习之十：阅读型题
中考数学专题复习之十：阅读型题 【中考题特点】： 近几年各地的中考试卷中悄然出现了一种阅读理解型试题。这类题目一般篇幅较长，内容丰富。重在考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、归纳猜想能力、数据处理能力、抽象概括能力以及探索发现能力等。阅读型试题一般不难，但难以解答准确，对考生来说，必须有扎实的基本功。阅读型试题的结构一般包括阅读材料和阅读目的两个部分。 【范例讲析】： 例1：已知：a 、b 、c 是△ABC 三边的长，满足a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2，试判断△ABC 的形状。 阅读下面的解题过程： 解：由a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2，得 a 4－ b 4= a 2c 2 －b 2c 2……① （a 2+b 2）(a 2－b 2)=c 2(a 2－b 2)……② ∴a 2+b 2=c 2……③ ∴△ABC 是直角三角形……④。 问：以上解题过程是否正确： 。 若不正确，请指出错在哪一步（填代号）： ，错误的原因 是 ，本题的结论应为 。 例2：阅读下列一段话，并解决后面的问题 . 观察下面一例数： 1，2，4，8，…… 我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2 . 一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 . （1）等比数列5，－15，45，……的第4项是 ； （2）如果一列数1a ，2a ，3a ，4a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有 q a a 12，q a a 23，q a a 3 4，…… 所以q a a 12=， 21123)(q a q q a q a a ===， 312134)(q a q q a q a a ===， …… =n a .（用1a 与q 的代数式表示） （3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项 .
2020中考数学题型训练：阅读理解题(含答案)
2020中考数学题型训练：阅读理解题 1．定义一种运算☆，其规则为a☆b＝1 a＋ 1 b，根据这个规则，计算2☆3的 值是() A.5 6 B. 1 5C．5 D．6 2．定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)．例如：f(2,3)＝(3,2)，g(－1，－4)＝(1,4)，则g[f(－5,6)]＝() A．(－6,5) B．(－5，－6) C．(6，－5) D．(－5,6) 3．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝1 b－ 1 a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的 值为() A.5 6 B. 5 4 C. 3 2D．－ 1 6 4．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1.若输入7，则输出的结果为() A．5 B．6 C．7 D．8 5．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是() A．2个B．1个C．4个D．3个 6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b ＋c,2c＋3d,4d.例如：明文1,2,3,4对应的密文是5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为() A．4,6,1,7 B．4,1,6,7 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7 7．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若 “关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 1 x－1 ＋ 1 m＝1的 解为________． 8．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的学生．一天，他在解方程时，有这样的想法：x2＝－1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变为x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．小明还发现i具有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝(i2)3＝(－1)2＝1，i7＝i6·i＝－i，i8＝(i4)2＝1，……
重庆2020中考专题训练之材料阅读题(pdf版,无答案)
2019年材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．
2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．
3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
中考数学专题-阅读理解型问题 含答案
一、选择题 1．（2010广东广州，10，3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10 除以26 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c 字母a b c d e f g h i j k l m 序号012345678910 11 12 字母n o p q r s t u v w x y z 序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc 【答案】A 2．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x， 2x+1）记，……则E（x，x 2 - 2x + 1 ）可以由E（x，x 2 ）怎样平移得到？ A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位 C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位 【答案】D 二、填空题 1．（2010山东临沂）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）， 接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a, b, c, d 对应密文 a + 2b, 2 b +c, 2 c + 3 d , 4d .例如，明文1, 2, 3, 4 对应密文5, 7,18,16 .当接收方收到密文14, 9, 23, 28 时，则解密得到的明文为 . 【答案】6，4，1，7 2．（2010广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101) , 2 换算成十进制数应为： (1011) 2 (101) = 1? 22 + 0 ? 21 + 1? 20 = 4 + 0 + 1 = 5 2 = 1? 23 + 0 ? 22 + 1? 21 + 1? 20 = 11 (1011) 2 按此方式，将二进制(1001) 换算成十进制数的结果是. 2 【答案】9 3．（2010山东荷泽）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a,b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1,例如把（3，－2）放入其中，就会得到32＋（－2）－1＝6．现将实数对（－2，－3）放入其中，得到实数是． 【答案】0 4．（2010贵州铜仁）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy－1，则(2@3)@4＝．
(完整版)重庆中考数学阅读专题[含详细答案解析]
1. （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 2. （2016?重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1； （2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 3. （2015?重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”． （1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式． 4． （重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．
初三数学中考阅读理解题专题
1、（10一模崇文）正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE b =（a b 2<），且边AD 和AE 在同一直线上 ．小明发现：当b a =时，如图①，在BA 上选取中点G ，连结FG 和CG ,裁掉FAG ?和CHD ?的位置构成正方形FGCH ． （1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． （2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足 =AE BG ． 2．（10一模朝阳）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长． 图 3
3、(10一模房山)阅读下列材料： 小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）． 小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是 1 5 ； 然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是 410，即2 5 ；…… 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）． M’N’ E B A Q P N G H F E D C B A M M’ N’ A B E H C P G D Q H M N F B E A 图 图1 图3 图4 图5
2019年重庆中考数学材料阅读题专题
2019年重庆中考数学材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．
2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．
3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
2017中考数学试题和答案
年长沙市初中毕业学业水平考试2017 数学试卷一、选择题：）1．下列实数中，为有理数的是（ 3?321 D．B． C A．． ）2．下列计算正确的是（ 23625?2?3mn)(mn?a2a?2a?xy??x(1?y)x．．CA．．DB 3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（） 676810?.268226?10.6?10880.826?10. D．C．A．B． ）4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ 5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．之直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 6．下列说法正确的是（） A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 ?2的中位数是4 ，C．数据3，5，4，1D．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（） A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱 24??3)y?2(x 8．抛物线）的顶点坐标是（ )42,((3,4),?4)3(?,(34)C．D．BA．． 0110?1?cb,a b//a2?相交，，则分别与．如图，已知直线9，直线的度数为（）
0000110806070 DC ．．．A B． cmcm,8AC,BD6ABCD的长分别为）10．如图，菱形，则这个菱形的周长为（的对角线 cmcm20cm10cm145．C．D A．． B “三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：11里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前378得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程）一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（里D．36里．B12里C．里A．24 DC,CDABCDEAHHAD，12．如图，将正方形于点折叠，使顶点不与端点与重合）边上的一点重合（，折痕交nmn CHGBCBCGABCD?ABF的值为折叠后与边，则交于点，于点，边，设正方形的周长为的周长为交m）（ 1?251H点位置的变化而变化．随 A ．CD．B．222 二、填空题 2??2?4a2a 13．分解因式：．x?y?1?的解是．14．方程组?3x?y?3?CD?6,EB?1OABOCD?EAB
重庆中考数学理解阅读专题
重庆市中考阅读理解专题训练一 1、若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，， x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由． （1）不是， 解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4． |x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5． ∵3.5不是整数， ∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程； （2）存在．理由如下： ∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程， ∴假设c=mb2+n， 当b=﹣6，c=﹣27时， ﹣27=36m+n． ∵x2=0是偶系二次方程， ∴n=0时，m=﹣， ∴c=﹣b2． ∵是偶系二次方程， 当b=3时，c=﹣×32． ∴可设c=﹣b2． 对于任意一个整数b，c=﹣b2时， △=b2﹣4c， =4b2． x=， ∴x1=b，x2=b． ∴|x1|+|x2|=2b， ∵b是整数， ∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”． 2、阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．
证明：∵（）2≥0，∴a ﹣+b≥0． ∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立． 举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值． 解：y=2x+≥ =4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立． 当x=1时，函数取得最小值，y 最小=4． 问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ + ）升．若该汽车以每小时x 公 里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升． （1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； （2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）． 考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可； （2）经济时速就是耗油量最小的形式速度． 解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升． ∴y=x×（ +）= （70≤x≤110）； （2）根据材料得：当 时有最小值， 解得：x=90 ∴该汽车的经济时速为90千米/小时； 当x=90时百公里耗油量为100×（ + ）≈11.1升， 点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料． 3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1）， （-2，-2），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。 （1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x = （n 为常数，n≠0）的图像上的“梦之点”，求这 个反比例函数的解析式； （2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由； （3）若二次函数2 1y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ， B 22(,) x x ,且满足-2＜ 1 x ＜2， 12 x x -=2，令 2157 48t b b =-+ ，试求t 的取值范围。
中考数学阅读理解题型含答案
2011 年阅读理解试题汇编： （ 2011 年昌平区一模） 22． 现场学习题 问题背景：在△ ABC 中， AB 、 BC 、AC 三边的长分别为 2、 13、 17 ，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时， 先建立一个正方形网格 （每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ ABC （即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图 1 所示．这样不需求△ ABC 的高，而借用网格就能计算 出它的面 积． （1） _________________________________________ 请你将△ ABC 的面积直接填写在横线上． 思维拓展： （2）我们把上述求△ ABC 面积的方法叫做构图法． 若△ ABC 三边的长分别为 2a 、2 5a 、 26a （a 0） ， 请利用图 2 的正方形网 格（每个小 正方形 的边 长为 a ）画出相应的 △ ABC ，并求出 它的 面积 是： ． 探索创新： (3)若△ ABC 三边的长分别为 4m 2 n 2 、 16m 2 n 2 、 2 m 2 n 2 (m 0,n o,m n) ，请运用 构图法在图 3 指定区域内画出示意图，并求出△ ABC 的面积为： 5 答案：（ 1） 5 ． 2 （ 2）面积： 3a 2 ． 图3 3）面积： 3mn ． （通州区一模） 图2 图 3 图1 图2
3 22．问题背景
S ABC 2 8 8 18 2011 年房山区一模） 22．（本小题满分 5 分） 小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．他先进行了如下部分操作，如图 （1）如图 22（1），△ABC 中， DE ∥BC 分别交 AB ，AC 于 D ，E 两点，过点 E 作EF ∥AB 交 BC 于点 F ．请按图示数据填空： 四边形 DBFE △ ADE 的面积 探究发现 （ 2）在（ 1）中，若 拓展迁移 的面积 S S 2 ， △EFC 的面积 S 1 BF a ， FC b ，DE 与 BC 间的距离为 h ．请证明 S 2 4S 1S 2． （3）如图 22（2），□DEFG 的四个顶点在 △ABC 的三边上，若 △ADG 、△DBE 、△GFC 5、3，试利．用．（2．）中．的．结．论．求△ABC 的面积． 答案： (1)四边形 DBFE 的面积 S 2 3 6 ， 1 △EFC 的面积 S 1 6 3 9 ， 1 2 △ ADE 的面积 S 2 1． (2)根据题意可知： 1 S ah ， S 1 bh ， 2 DE ∥BC ， EF ∥AB 四边形 DEFB 是平行四边形， ADE EFC , AED C DE=a ADE ∽ EFC , a 2 S 2 b S 1 2 aa S 2 2 S 1 b 2 2b 4S 1S 2 4 bh a 2 h a 2h 2 2 2b S 2 4S 1S 2 (3) 过点 G 作 GH//AB 由题意可知：四边形 DGFE 和四边形 DGHB 都是平行四边形 DG=BH=EF BE=HF S DBE S GHF S GHC S 2四边形 DGHB 4S ADG S GHC 4 2 8 64 2h S 四边形 DGHB 8 1 所示： A 2 S 1 6 C A 的面积B 分别为E 2、 22 （1）