随机变量的概率分布
随机变量的概率分布
一、填空题
1．某射手射击所得环数X 的概率分布为
解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.79
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________． 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P
(X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝1
3. 答案 1
3
3．(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为：
则q 的值为________解析 由概率分布的性质知???
??
2－3q ≥0，
q 2
≥0，
13＋2－3q ＋q 2
＝1，
解得q ＝32－33
6.
答案 32－33
6
4．设离散型随机变量X 的概率分布为
解析由概率分布的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
答案0.5
5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________．
解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
答案ξ＝6
6．(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________．
解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布
问题，故所求概率为P＝C23C14
C37＝
12
35.
答案12 35
7．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．
解析设X取x1，x2，x3时的概率分辊为a－b，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a
＋d )＝1，∴a ＝13，?????
1
3
－d ≥0，1
3＋d ≥0，得－13≤d ≤1
3.
答案 ????
??
－13，13
8．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.
解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13
C 47＋C 44C 47
＝
13
35. 答案 13
35 二、解答题
9．(优质试题·苏北四市调研)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：
抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.
(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的概率分布．
解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表
达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，
∴P(A)＝6＋n
20＝
2
5，解得n＝2，∴m＝4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，
∴P(B)＝1－C26
C29＝
7
12.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2.
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，
∴P(X＝0)＝C212
C220＝
33
95，
P(X＝1)＝C18C112
C220＝
48
95，
P(X＝2)＝C28
C220＝
14
95，
∴X的概率分布为
10.(优质试题·苏、锡、常、镇四市调研)某超市在节日期间进行有奖促销，凡在
该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的概率分布．
解(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，
则P(A)＝A23
A34＝
1
4，
故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为1 4.
【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2 2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1 (5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)= 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.360docs.net/doc/ae18295466.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1 第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数，且x R ?∈， {}()X x ωω≤是随 机事件，则称()X X ω=为随机变量，而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴．非负性: x R ?∈，有0()1F x ≤≤； ⑵．规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=； ⑶．单调性: 若12x x ≤，则12()()F x F x ≤； ⑷．右连续性: x R ?∈，有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1．离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量 第2章 随机变量及其分布 1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。 解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有 1 1 6 .04.0) 4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ） 上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。 2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X 只能取值0，1，2。设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。则 )}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?== )()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(3 22=---+-=， 类似有512.08 .0)()}({}2{3 321321=====A A A P A A A P X P ， 416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。 并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为 15 ,2,1,0, 8 .02.0)(1515 =??==-k C k X P k k k 。 （1）, 2501.08 .02.0)3(12 3315=??==C X P （2） 8329 .0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ； （3） 6129 .0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ； （4） )2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P 随机变量及其分布测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列四个命题： ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20 3．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4 ，则n 、 p 的值分别是( ) A ．50，1 4 B ．60，14 C ．50，3 4 D ．60，3 4 . 4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74% D ．31.74% 5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b -- 7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( ) A ．0.9 B ．0.2 C ．0.7 D ．0.5 8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是 3 10 的事件为( ) A ．恰有1只是坏的 B ．4只全是好的 C ．恰有2只是好的 D ．至多有2只是坏的 9．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝4 3， D (X )＝2 9 ，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D ．3 《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ； 2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ； 3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ； 4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 2-3随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列： 要点归纳 一、 1． 一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1x 2…x i …x n P p 1 p 2 … p i … p n 我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ， i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ② i ＝1n p i ＝1. (5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率. X 01P 1－p p 两点分布又称0－1分布，伯努利分布． 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝ k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0，1，2，…，m ，即 X 0 1 …m P … C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N C m M C n － m N －M C n N 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．二项分布及其应用2． (1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝ P （AB ） P （A ） 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． (2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； (4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． (5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． (3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1，1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解：当1x <-时，()0F x =。 当1x =-时，()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==， 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= ， 于是，得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时，()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律，这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿号灯的路口，每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”（i =1，2，3）。依题意，1A ，2A ，3A 相互独立。X 的可能取值是0，1，2，3。于是，得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A === 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一） 一．选择题： 1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ] （A ） 1234111124816 X x x x x p （B ） 123411112488 X x x x x p （C ） 123411112 3 4 12 X x x x x p （D ） 1234 11112 3 412 X x x x x p - 2．设随机变量ξ的分布列为 0123 0.10.30.40.2 X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ C ] （A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题： 1．设随机变量X 的概率分布为 0120.20.5 X p a ，则a = 0.3 2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 313315660105()C P X C ===，12213315361105()C C P x C ===，212133 15 3 2105()C C P x C === 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 1010070301210()(.)(.) (,,,,)k k k P X k C k -=== 三、计算题： 1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X > 解：（1）1236()P X == ， 2336()P X ==， 3436()P X ==， 4536()P X ==， 5636()P X ==， 6736()P X ==， 5836()P X ==， 4 936()P X == 31036()P X ==， 21136()P X ==， 11236 ()P X == 1 第三章二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减. (2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x 1 随机变量的概率分布 一、填空题 1．某射手射击所得环数X 的概率分布为 解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.79 2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________． 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝1 3. 答案 1 3 3．(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为： 则q 的值为________解析 由概率分布的性质知??? ?? 2－3q ≥0， q 2 ≥0， 13＋2－3q ＋q 2 ＝1， 解得q ＝32－33 6. 答案 32－33 6 4．设离散型随机变量X 的概率分布为 解析由概率分布的性质，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0， ∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0) ＝P(X＝4)＋P(X＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5. 答案0.5 5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________． 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案ξ＝6 6．(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________． 解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布 问题，故所求概率为P＝C23C14 C37＝ 12 35. 答案12 35 7．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 解析设X取x1，x2，x3时的概率分辊为a－b，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a 第二章 随机变量及其分布典型题解 1．设连续型随机变量X 的分布函数为 0,,()arcsin ,,(0).1,, x a x F x A B a x a a a x a <-??? =+-≤<>?? ≥?? 求：（1）A 和B ；（2）概率密度)(x f ． 解 （1）X 为连续型随机变量，故分布函数)(x F 连续，于是 )()0(),()0(a F a F a F a F =--=--． 即 ,02 =- B A π 111,.22A B A B π π + =?== （2）)(x f =)(x F ' =,0,a x a -<二维随机变量及其分布题目
第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章
联合概率分布：离散与连续随机变量
随机变量及其概率分布
第2章 随机变量及其分布
选修2-3第二章-随机变量及其分布测试题
《概率论与数理统计》习题三问题详解-设二维随机变量(x,y)
第二章随机变量及其函数的概率分布
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
概率论与数理统计随机变量及其分布问题
二、随机变量及其分布(答案)
二维随机变量及其概率分布
随机变量的概率分布
2随机变量及其分布典型题解.