直线与圆锥曲线位置关系及应用的思考

直线与圆锥曲线位置关系及应用的思考

直线与圆锥曲线位置关系及应用是高考中经常遇到的一个重要知识点，主要表现在两个方面：①直线与圆锥曲线的公共点的有无及多少问题；②当直线与圆锥曲线相交所截得的弦长问题；当判断直线和圆锥曲线公共点的个数及位置时，通常将直线与圆锥曲线的方程联立转化为讨论二元二次方程组解的个数问题，进而化为一元二次方程的根的多少问题，但此时特别注意二次项系数的讨论。另外值得注意的是：当直线与圆锥曲线有一个公共点时未必相切，如：抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线；双曲线与平行于其渐近线的直线，都只有一个公共点，但不相切而是相交。同时对几种圆锥曲线各自的几何性质的不同，还可以利用数形结合的思想，以形助数的方法进行。关于直线被圆锥曲线所截的弦长问题通常是这样解决的。设二次曲线0),(=y x f 与直线m kx y +=，如果消去方程组???+==m

kx y y x f 0),(中的y ，所得关于x 的二次方程0

2=++c bx ax （0≠a ），则直线被二次曲线截得的弦长a

ac

b k x x k l 41122212-+=-+=（其中1x ，2x 是方程02=++

c bx ax 两根，即是直线与二次曲线两交点的横坐标）；若消去的是x ，得到关于y 的二次方程02=++c by ay （0≠a ），则弦长a

ac b k y y k l 4111122212-+=-+=（其中1y ，2y 是方程02=++c by ay 两根，即是直线与二次曲线两交点的纵坐标）。下面就各种情况加以分析讨

论。

一、 化归思想：

直线与椭圆：此种情况较为简单，运用一般方法即可。

例1：椭圆1522=+m

y x 与直线1+=kx y （R k ∈），恒有公共点，则m 为什么实数？ 解：联立方程组得?????+==+1

152

2kx y m y x 消去y 得05510)5(2=-+++m kx x k m ，当05≠+k m 时，由0≥?得5

12m k -≥，即251k m -≥，要想直线与椭圆恒有公共点，则1≥m ，即当1≥m 时，直线与椭圆恒有公共点。

二、 数形结合思想

利用数形结合思想对上题还可以这样来解：

解：∵直线1+=kx y 恒过定点)1,0(P ，要想直线与椭圆恒有公共点，

只须点P 在椭圆内或在椭圆上，从而有1150≤+

m ∴01≤-m

m ，由于0>m ∴1≥m 例2：已知曲线C ：2202x y -=

与直线l ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的取值范围。

[错解]：曲线C ：2202x y -=可化为20422=+y x ①联立???=++-=20

422y x m x y 消去y 得：02048522=-+-m mx x 由0=?得5±=m 。

在上面解法中由于方程①与原方程并不等价，因为0≥y ，故原方

程的对应曲线应为椭圆的上半部分，像这种类型题目常采用数形结合思想才能得到解答。

[正解]：如图，当直线l 与曲线相切于P

点时只有一个公共点，可得5=m 另外当把

直线l 进行平移到经过A 点不合题意，继续

平移到经过点B 时，均符合题意，易知5252<≤-m ，故5=m 或5252<≤-m 。

综述：解此类题目时，在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出现错误，即采用数形结合思想去解题，这种解题思路也是符合当今高考改革的需要。

三、 分类讨论

直线与双曲线：这一类是三种圆锥曲线较为复杂的一种情况，当转化为讨论方程组的问题后，还有对交点的位置讨论几种情况。

例3：直线1-=kx y ，双曲线14

22=-y x ，当k 为何实数时，直线和双曲线①有一个公共点；②有两个不同的公共点；③两个公共点分别在双曲线的左右两支上；④两个公共点在双曲线的右支上。

解：联立方程组?????=--=14

122y x kx y 消去y 得088)41(22=-+-kx x k ⑴ ① 当0412=-k 即21=k 或21-时，直线与曲线有一个公共点；

当0412≠-k 则0=?时，即22=

k 或22-时，直线与曲线有一个

公共点。

② 当0412≠-k ，则由0>?得2

222<<-

k 时，直线与曲线有两个公共点；

③ 设方程⑴两根为1x ，2x ，则当0>?且021

即064322>-k 且04182<--k ∴当2121<<-k 时，两交点在双曲线的左右分支上。

④ 由③可知，当满足?????>>+>?0002

121x x x x 即2221<

本题是通过方程组的解的个数来判断直线与双曲线交点的个数及位置，解题时运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论二次方程首项系数241k -是否为零，又要讨论判别式的三种情况，此时务必注意思路清晰。另外本题还可以采取数形结合思想，这种方法关键是抓住有一个公共点时，即相切和与双曲线的渐近线平行的几条直线为界限绕直线所过定点旋转时，结合图形通过观察发现符合题意的k 值。此种解法虽然直观，但需要具备一定的观察能力，若能很好掌握此法对于解答客观题有一定的好处，同时它也是高考中必需具备的能力之一。

直线与抛物线：这一类型关键是要注意与其对称轴平行的情况不能遗漏，还要注意直线所过点与抛物线的位置关系。

例4：已知过)1,0(P 作直线l ，且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线有几条？

分析：此类求直线方程问题，务必要记住讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，而恰好k 不存在这种情形很多考生不易掌握，常被遗忘，因此作为每一位授课老师在复习此处时倍加留心随时强调。

解：（1）直线斜率不存在，则过)1,0(P 的直线方程0=x ，而该直线与抛物线x y 22=的对称轴平行，故l 与抛物线x y 22=只有一个公共点

（2）若直线斜率k 存在，设直线l 方程：1+=kx y

由??

?=+=x y kx y 212消去y 得：01)1(222=+-+x k x k

当0=k 时，得?????==121y x 即直线与抛物线x y 22=只有一个公共点

当0≠k 时，若直线与抛物线只有一个交点 则04)1(422=--=?k k ∴21=k ，即121+=x y

综上所述：所求直线为：0=x 或1=y 或121

+=x y

另外，对于这一类题目若遇到参数时，一定要注意对参数进行讨论，如：

例5：已知直线l ：1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2恰好有一个公共点，求实数a 的取值范围。

解：由题意得，联立方程得??

?=-+=ax

y x a y 21)1(消去x ，得0)1(2=--+a ay y a

① 当0=a 时，1=x ，0=y ，有一个公共点)0,1(，为两直线交点； ② 当1-=a 时，1-=x ，1-=y ，有一个公共点)1,1(--，此时直线l 与曲线对称轴平行；

③ 当1-≠a 且0≠a 时，由0=?得54=a 时，l 与曲线相切。 四、 方程与函数思想： 例6：如右图，在ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，)1,2(-A 、)1,2(B ，2=?ABC S （平方单位），动点P 在曲线E （1≥y ）

上运动，若曲线E 过点C 且满足

PB PA +的值为常数。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；

（Ⅱ）设直线l 的斜率为1，若直线l 与曲线E 有两个不同的交点P 、Q ，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程。

分析：利用定义法求曲线E 的方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系求M 点的轨迹方程。

解：（Ⅰ）∵22=AB ，221=?=

?AB AC S ABC ∴1=AC ，又222AB AC BC +=，从而3=BC

又224>=+=+BC AC PB PA

∴P 点在以A 、B 为焦点，长半轴为2=a ，半焦距为

2=c ，短半轴为2=b 的椭圆E （1≥y ）上。

∴曲线E 的方程为)1(12

)1(42

2≥=-+y y x

（Ⅱ）设直线l ：m x y +=，代入E 的方程，消x ，可得

02)2(2322=-++-m y m y 。令2)2(23)(22-++-=m y m y y f ，

方程0)(=y f ，有两个不小于1，且不相等的实根时，有

???

????>+≥--=>--+=?132032)1(0)2(12)2(4222m m m f m m 解之，得613+<≤m

设PQ 的中点为),(y x M ，PQ 两点的坐标分别为),(11y x P ，),(22y x Q 。 ∴3

2221+=+=m y y y 所以36135+<≤y ，将23-=y m 代入m x y +=得12

1+-=x y ，（36135+<≤y ）即为M 点的轨迹方程。 总之，通过以上几个例题的分析，从而启发我们可以得到关于直线与圆锥曲线的公共点问题有如下结论：

设直线l ：m kx y +=：椭圆1C ：12222=+b

y a x （0>>b a ），双曲线2C ：122

22=-b

y a x （0>a ，0>b ），抛物线3C ：px y 22=（0>p ） 1． 把直线方程分别代入三个曲线方程，并整理得到：

02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ①

02)(222222222=----b a m a kmx a x k a b ②

0)(2222=+-+m x p km x k ③

2． 由①式：当0222≠+k a b 时，故只需讨论其判别式得到交点情况；

由②式：当0222=-k a b 时，即a

b k ±=（直线l 与其渐近线平行）再看km a 22-是否为零，即m 是否为零，得到直线与曲线一个交点或无交点，当0222≠-k a b 时，只需讨论其判别式得到交点情况。

由③式：讨论2k 的情况，当02=k 时，直线平行于抛物线的对称轴，故只有一个交点，当02≠k 时，也只需讨论其判别式得到交点情况。

3． 当直线斜率不存在时，可得直线方程为n x =，分别讨论，从而

得到相应答案。

除了上面关于直线与圆锥曲线公共点多少以外，其中当直线与圆锥曲线相交且有两个公共点的一类问题及关于直线对称问题，也是高考考查考生对《解析几何》这类方面知识掌握如何的重点之一，此时，对大多数考生来说，也许是“难点”所在，从而导之失分较多，所以在复习这一知识点时，对教师来说予以重视，结合例题分析讲解要透彻，从而让学生能够很好地掌握它们，以便适应高考的需要。

例7：已知抛物线x y 42=上恒有两点关于3+=kx y 对称，求k 的取值范围。

分析：该题不但是考查直线与抛物线相交问题，关键是有关两点关于直线对称方面知识的应用，解题时若不能正确处理好题目所给条件及内在联系，这对于考生来说很可能无从下手。

解：设A ，B 关于直线3+=kx y )0(≠k 对称，设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 中点),(00y x M ，则设AB 方程为m ky x +-=，代入x y 42=，得0442=-+m ky y

∴k y y y 22

210-=+=，m k x +=202 ∵),(00y x M 在直线3+=kx y 上，∴3)2(22++=-m k k k ∴k

k k m 3223++-=，又AB 与抛物线x y 42=交于两点，故0>? ∴016162

>+m k ，即0323<++k k k ∴0)3)(1(2<+-+k k k k 得01<<-k 当0=k 时，直线为3=y ，显然不合题意。

综述有：}01|{<<-k k 。

另外我们在复习时，会遇到当直线与圆锥曲线相交时直线被圆锥截得的弦长的问题，在用到有关化归思想的基础上，主要又应用到另外的数学思想“设而不求思想”。

例8：已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1+=x y 与椭圆交于P 和Q 两点，且OQ OP ⊥，2

10=PQ ，求椭圆方程。 分析：中心在原点，焦点在坐标轴的上椭圆的焦点所在轴不能确定时，可将方程设为122=+ny mx （0,0>>n m ），尤其是P 、Q 两点坐标只设不求，这在解析几何中是经常使用的方法，也是高考中经常遇到的解题思路。

解：依题意，设椭圆方程122=+ny mx （0,0>>n m ），将直线方程代入椭圆方程，得012)(2=-+++n nx x n m ，若直线与椭圆相交，则必有0>?，即

0)1)((442>-+-n n m n ，化简得：0>-+mn n m

设),(11y x P ，),(22y x Q ，由OQ OP ⊥得02121=+y y x x

而111+=x y ，122+=x y 代入上式得0122121=+++x x x x 又n m n x x +-=121，n

m n x x +-=+221代入上式得 012)1(2=++-+-n

m n n m n ，化简得2=+n m ① 又由210=

PQ 及弦长公式2121x x k -+得2101212=-+x x k 即2104)(221221=

-+?x x x x ，∴22)210()()(42=+-+?n m mn n m 化简得165)

(2=+-+n m mn n m ② 将①式代入②式解得43=mn ③再联立①③可得?????==2321n m 或??

???==2123n m 故所求椭圆方程为132222=+y x 或12

3

222=+y x 纵观近几年高考，考查解析几何的重点之一就是直线与圆锥曲线位置关系及应用，它既能考查出考生运算能力，更能考查出考生分析问题、解决问题能力。迎考复习时，应在注重基础知识与基本技能的传授的基础上，重视方法指导与能力培养，帮助学生在高考中知识运用自如，思维严谨周密，解题得心应手。