门限自回归模型及其在水文随机模拟中的应用.王文圣

门限自回归模型及其在水文随机模拟中的应用*

王文圣,　袁　鹏,　丁　晶,　邓育仁

(四川大学水电学院,四川成都　610065)

摘　要:为了客观描述日流量变化的非线性特性,将一种非线性时序模型——门限自回归模型引入日流量随机模拟。根据我国金沙江流域屏山站观测资料建立了日流量随机模拟的门限自回归模型。实用性检验结果表明,该模型用于模拟日流量过程是可行的,成果实用。这种尝试为日流量随机模拟提供了一种考虑日流量非线性变化特性的新模型。

关键词:门限自回归模型;日流量随机模拟;实用性检验

中图分类号:P33;P333.6文献标识码:　B文章编号:1001-2184(2001)增-0047-04

1　引　言

日流量随机模拟利用日流量涨落的统计特性,具体说是利用日流量在时序上的统计关系。这种统计关系非常复杂,为简化处理常常以线性来表征前后日流量的关系。在一般情况下,这种简化尚能反映日流量时序变化的主要特性。所以在日流量随机模拟时,当前广泛使用线性时序模型。但是日流量在时序上的前后流量关系是非线性的。例如,对大流域一次洪水的日流量过程涨水段的下部、中部和上部有着明显不同的涨率,前后流量关系显然不是线性的;同样在落水段的下部、中部和上部有着明显不同的退水率,前后流量关系也不是线性的。因此,为更全面地反映日流量时序变化的特性,最好考虑日流量在时序变化上的非线性特性。

近来,非线性时序的分析获得了迅速的发展,并且相继出现了一系列非线性时序模型,比如门限自回归模型,双线性模型,指数自回归模型,状态依赖模型等。对双线性模型曾初步研究了在洪水模拟中应用的可能性[1]。门限自回归模型最近尝试应用于水文预报并获得较好的效果[2]。鉴于门限自回归模型在表征非线性特性上具有其独到之处,笔者将之引入日流量随机模拟并以某站日流量资料为基础,全面探讨了这种模型在日流量模拟中的可行性,模拟效果和优缺点等。

2　门限自回归模型的形式和基本特性

2.1　模型形式

门限自回归模型由汤家豪1978年提出[3],用来解决一类非线性问题。其思路是:对研究对象按照不同区间建立若干个线性时序模型;然后将这些线性时序模型组合起来描述该对象非线性时序变化特性。

对于时间序列{Z t},门限自回归模型的一般形　收稿日期:2000-08-14

*　基金项目:国家自然科学基金(49871018);高速水力学国家重点实验室开放基金资助项目(编号2008)式为:

Z t

U(1)0+∑

p

1

i=1

U(1)i Z t-i+E(1)t Z t-d F r1

U(2)0+∑

p

2

i=1

U(2)i Z t-i+E(2)t r1

……

U(L)0+∑

p

L

i=1

U(L)i Z t-i+E(L)t r L-1F Z t-d

(1)

式中　r1,r2……,r L-1为门限值;d为门限迟时;L为门限区间数;U(j)0,U(j)1,……U(j)p j为第j区间自回归系数;P\-j为第j区间模型阶数(j=1,2,……,L); E(j)t是独立随机变量。从(1)式可看出,门限自回归模型是将{Z t}按{Z t-d}值的大小采用对应区间的线性自回归模型来描述整个系统。

2.2　模型特性

门限自回归模型是具有广泛意义的一种非线性时序模型,实质上是以分区间线性自回归模型来描述研究对象在整个区间的非线性变化特性。下面以简单的一阶非线性自回归模型(NLAR(1))说明。

NLAR(1)模型的形式为:

Z t=f(Z t-1)+a t(2)式中　f(Z t-1)为区间[a,b]上的连续非线性函数。{a t}为白噪声序列。若将{Z t-1}(t=2,3……,N)的取值区间划分成L个小区间,见图1。当某一Z落在j区间(r j-1,r j)时,f(Z)由f

d

(Z)任意逼近,即f(Z)≈f

d

(Z)=f(r j-1)+A j Z(j=1,2……,L),其中f(r j-1)和A j的取值由第j区间(r j-1,r j)决定。因此: Z t=f(r j-1)+A(j)j Z t-1+a(j)t　(j=1,2,……,L)(3)取f(r j-1)=U(j)0,A(j)j=U(j)1,则NLAR(1)模型可由下式近似表达:

Z t=U(j)0+U(j)1Z t-1+a(j)t

r j-1

(4)式(4)即所谓的一阶门限自回归模型。类似地,对于

第20卷增刊2001年7月四　川　水　力　发　电

Sichuan　Water　Pow er

Vol.20,S upplemen t

Jul.,　2001

一般高阶非线性自回归模型可用高阶门限自回归模

型逼近。

图1　非线性自回归示意图

3　门限自回归模型建立

门限自回归模型是分区间的自回归模型(AR 模型),因此在建模中,只需沿用一般AR 模型的参数估计方法和模型检验准则。目前多采用最小二乘法和A IC 准则。与AR 建模有所不同的是,建立门限自回归模型的关键不在于参数估计和模型检验,而在于确定门限参数(门限区间数L ,门限值r 1,r 2,……,r L -1和门限迟时d )。严格讲,这是一个对L ,

r 1,r 2,……,r L -1和d 的多维寻优问题[5]

。通常以A IC 准则作为模型定阶(确定各门限区间AR 模型

阶数P 1,P 2,……P L )和确定L ,r 1,r 2,……,r L -1,d 参数的目标函数,即:

A IC =f (P 1,P 2,……,P L ,d ,r 1,r 2,……r L -1)

(5)

A IC 值最小时对应的模型参数、

门限参数为所求。可见,上述寻优工作量相当大,它是多维空间中超曲面的极小点的寻找。为减少工作量,近来出现了一些改进办法,如D .D .C 方法,局部区间搜索法等[5],其目的是缩小寻优区间,但这些方法在实际计算时工作量仍很大且较繁琐,有时甚至无法实现。鉴于此,笔者在建模过程中提出了一些改进。为了减少寻优工作量,门限区间数L 和门限迟时d 的选取要结合研究对象的物理成因和一般变化规律,取值范围可得到有效的缩小。比如结合研究对象L 取2,3,4等,d 取1,2,3等。门限值可按研究对象在变幅范围内取值的经验频率分布来确定。一般要求在各区间内样本的资料数据大致相当,以便可靠地估计模型参数。为此,先均匀划分经验频率,然后据经验频率在频率分布曲线上找出相应的门限值。所以,关键是确定门限值所对应的频率。如L =2时,门限值对应的频率可取0.5;L =3,门限值对应的频率可取0.33和0.67。上述结合实际问题初选门限参数的考虑,使寻优工作量大大降低了。

综上所述,门限自回归模型建模过程如下:首先固定一组d ,L ,r j (j =1,2,……,L -1),由最小二乘法和A I C 准则分别确定各区间AR 模型,从而得到相应的门限自回归模型;然后再分别改变d ,L ,r j (j =1,2,……,L -1),同样,建立分区间AR 模型以得到门限自回归模型。比较各种d ,L ,r j 情况下的A I C 值,其中AI C 值最小对应的模型即为所求。4　模型应用

以我国金沙江流域屏山站日流量资料为例,将门限自回归模型尝试于日流量过程的随机模拟。4.1　基本资料预处理

选用屏山站53年(1940～1992年)日流量序列作为建模的基本资料。为方便,每年2月份取28d ,故每年共365d 。以X i ,j 表示第i 年j 截口日流量,并假定同一截口所有元素来自同一总体,各截口具有相同的分布型式。

由基本资料用概率权重矩法[4]

计算截口统计参数(X -j ,S j ,Cv j ,Cs j ,j =1,2,……365)。结果表明,它们随截口有明显的变化,即该站日流量过程是非平稳的,其分布是非正态的。为便于建模需要对原始日流量作标准化和正态化预处理。前者消除日流量过程均值和标准差的非平稳性,后者将偏态分布转换为正态分布。标准化由(6)式进行:

Y i ,j =X i ,j -X -j

S j

(6)

式中　Y i ,j 为标准化日流量序列;X -j ,S j 分别为第j

截口均值和标准差;X i ,j 同前。将偏态序列转换为正态序列的方法较多,本文用H-W 逆变换法[6]

,式为:

Z i ,j =6Cs j

Cs j

2

Y i ,j +11

3-1+Cs j 6

(7)式中　Cs j 为截口j 的偏态系数;Y i ,j 同前;Z i ,j 为标准化正态序列。

经(6)和(7)式预处理后的{Z i ,j }为平稳正态序列,用它即可进行模型参数估计和建立门限自回归模型。

4.2　模型建立及其模拟

4.2.1　模型建立

对日流量时序过程,前后流量统计关系的差异,一般说来,在过程上、中和下三部分之间表现较为明显。因此,门限区间数不宜定得太多,以3左右为宜,即L =2,3,4三个优选备用值。门限区间数确定后,相应的门限值可由均匀划分的经验频率估计。至于门限迟时由于日流量前后关系密切,取1或2即可。

根据上面选定的各种门限参数,互相组合便可以用前述的A I C准则进行优化最后确定所求的门限自回归模型。由该站预处理日流量序列{Z i,j}通过优化得到d=1,L=3,r1=-0.520,r2=0.533和相应的门限自回归模型:

Z t=-0.08+0.9674Z t-1-0.0501Z t-2+0.013Z t-3

+0.0348Z t-4-0.0537Z t-5+E(1)t

Z t-1F-0.520,R(1)E=0.300

1.3678Z t-1-0.3524Z t-2-0.0714Z t-3

+0.0365Z t-4+E(2)t

-0.520

0.01+1.3371Z t-1-0.4428Z t-2+0.0799Z t-3

-0.0653Z t-4+0.0589Z t-5+E(3)t

Z t-1>0.533,R(3)E=0.208

(8)

式中　E(1)t,E(2)t,E(3)t是均值为0,方差为0.3002, 0.2002,0.2082的独立正态序列。

4.2.2　模型模拟程序

模型建立后,就可以进行全年日流量序列随机模拟。模拟程序如下:1由模型式(8)模拟标准正态日流量Z i,j(i=1,2,……,N;j=1,2,……,365);o由式(9)进行H-W变换,获得均值为0,方差1的P-Ⅲ型分布Y i,j;?由逆标准化(X i,j=X-j+S j Y i,j)求得日流量过程X i,j。实际计算按1～?步一年一年地模拟。根据模拟序列估计有关参数和统计有关特征。H-W变换式为:

Y i,j=

2

Cs j

(1+

Z i,j Cs j

6

-

Cs2j

36

)

3

-

2

Cs j

(9)

4.3　模型检验

对建立的门限自回归模型是否满足建模要求,是否反映日流量过程的各种统计特性和客观变化规律,必须进行检验。

4.3.1　模型残差特性检验

建模时假定残差是独立正态随机变量。根据建立的模型由样本反求残差序列,用自相关函数检验法[7]和偏态系数法检验知,残差序列是独立正态的,满足建模要求。

4.3.2　模型实用性检验

本文采用长序列法[7]对模型进行实用性检验,模拟序列长度为5200年。

(1)截口统计参数检验。截口统计参数有截口均值、Cv、Cs和一、二阶自相关系数R1、R2。检验成果见表1。由表1知,各参数的通过率都很高,说明模型对截口参数保持很好。模拟序列截口参数由矩法估计。通过率定义为小于容许误差的截口数与总截口数的百分比。

表1　截口统计参数通过率表

容许

误差

截口统计参数通过率

均值C v C s R1R2 E<10%10090.174.199.797.8

E<15%100100100100100

(2)时段径流量统计参数检验。时段径流量统计参数属于间接参数,它的检验是模型实用性分析的重要组成部分。检验的时段有1、3、7、15和30d共5种,检验指标有时段径流量均值、C v、C s。检验成果见表2,模拟序列估值由矩法获得。模拟成果介于适线法成果和概率权重矩法(PWM)成果之间,与适线法成果接近,较PWM成果略大。可见模型能保持时段径流量统计参数。

(3)年最大日流量季节性变化检验。年最大日流

表2　时段径流量统计参数实用性检验表

时段径流量W1日(108m3)W3日(108m3)W7日(108m3)W15日(108m3)W30日(108m3)参 数均值C v C s均值C v C s均值C v C s均值C v C s均值C v C s

实测适线法

PW M

15.30.30 1.2044.20.30 1.20970.30 1.201860.29 1.163270.28 1.12

14.60.240.8242.40.240.8092.50.230.871810.220.873190.220.75

模拟序列估值14.80.28 1.1742.70.28 1.1693.60.27 1.171850.26 1.083360.250.97

量季节性变化的定量表征,本文用它在各月中出现的频率表示。对模拟和实测过程分别加以统计,成果见表3。模拟与实测在各月出现的频率基本一致。

(4)日流量过程形状特性检验。模拟的日流量过程形状是否合理有待检验。从以下两方面进行分析。

表3　年最大日流量各月中出现的频率表(%)月5678910

实测0.0 1.920.841.532.1 3.7

模拟0.0 2.725.738.028.9 4.6

峰出现次数检验。分别统计模拟过程与实测过程中峰在汛期及汛期各月平均出现次数,结果见表4。从表4知,模拟与实测十分接近,说明模拟日流量过程形状比较合理。

表4　峰平均出现次数检验表

月678910汛期(6～10月)

实测序列4443219

模拟序列4555425

峰型特征统计检验。峰型特征指洪水过程的峰的数量,主峰位置和两峰间隔历时等。本文以年最大30d洪量为准,选择对应30d洪水过程进行洪水峰型特征统计分析,成果见表5。由表5显示,模拟的洪水过程具有天然洪水过程的峰型特征。

表5　洪水过程峰型特征检验表

项　目峰 型/%

主峰出现位置

/%

两峰间隔历时

/%

单峰双峰三峰多

峰前中后

2～3天4～5天5天以上实测0.022.625.641.129.7

洪水15.162.333.321.249.1模拟0.025.830.643.129.1

洪水

16.158.126.317.453.5 以上对大量模拟日流量过程形状作了定量分析,表明模拟过程形状是合理的,从而说明模型是优

良的。从定性上分析,模拟日流量过程与实测过程在总的径流变化趋势、涨落快慢、过程峰形及其分散程度等方面都比较一致。图2和图3分别示出两条实测与模拟日流量过程。

总之,以上各种检验表明,该模型不仅能保持好直接参数,也能优良地保持间接参数,而且模拟的日流量过程形状合理,符合流域实际水文特性。因而门限自回归模型用于模拟日流量过程是可行的,

成果

图2　实测日流量过

程图

图3　模拟日流量过程图

是令人满意的。

5　结　语

笔者首次尝试将门限自回归模型用于日流量随机模拟。通过分析和实例计算可得到如下初步结论:

(1)门限自回归模型是一种结构简单、概念清楚的非线性时序模型,可用此模型反映日流量在时序上的非线性性;

(2)建立门限自回归模型的关键在于确定门限参数(门限区间个数,门限值和门限迟时)。这些参数可根据研究对象的变化特性和参数的物理意义并结合统计优化合理确定;

(3)应用实例显示,门限自回归模型能很好地表征日流量在时序上的随机变化特性。故它是值得进一步研究和在实际工作中尝试应用的一种新型随机模型。

参考文献:

[1]　袁　鹏,王　勇,等.一种洪水随机模拟的新模型——双线性模

型[J].成都科技大学学报,1996,(6).

[2]　丁　晶,邓育仁.黄河干流中长期径流预报的研究[R ].四川联合大学研究报告,1995,(4).

[3]　H .T ong ,K .S .Lim ,Th res hold au toregressive :limit cycles

and cyclical data.J.of Royal Statis tical S ociety,B,42,pp245-292,1980.[4]　水利部和能源部.水利水电工程设计洪水计算规范[S ].北京:

水利电力出版社,1993,18-19.[5]　杨叔子,等.时间序列分析的工程应用(下册)[M ].武汉:华中

理工大学出版社,1992.[6]　丁　晶,等.水库防洪安全设计时设计洪水过程线适用性的探讨[J ].水科学进展,1992,3(1).

[7]　丁　晶,邓育仁.随机水文学[M ].成都:成都科技大学出版社,

1988.

作者简介:

王文圣(1970年-),男,四川宣汉人,四川大学水电学院讲师,博士,

从事水文水资源新理论新方法研究;

袁　鹏(1950年-),男,北京人,四川大学水电学院副教授,从事水文

分析计算教学科研工作;

丁　晶(1935年-),男,江苏扬州人,四川大学水电学院教授,博士生

导师,从事水文计算和预测研究;

邓育仁(1938年-),男,四川成都人,四川大学水电学院教授,从事水

文计算和预测研究.

■简讯

四川“十五”计划中的水电发展

在省九届人大四次会议上通过的《四川省国民经济和社会发展第十个五年计划纲要》中,水电产业被列为支柱产业之一,并提出:“水电业:

以国家实施‘西电东送’为契机,重点加快金沙江、雅砻江、大渡河水电资源的滚动开发,积极促进溪洛渡、瀑布沟、锦屏一级等一批大中型水电站早日开工,建设国家水电能源基地。”在2000年,大渡河流域开发公司和杂谷脑河水电开发公司相继成立;二滩的售电状况正在改善,2001年计划安排发电127亿kW ?h;溪洛渡、瀑布沟、锦屏一级的业主都在积极争取这些电站早日开工。

本刊记者　李燕辉

ABSTRACT

Trends in Development of Engineering Hydraulics in the 21th Century

Y A NG Y ong-quan

(State Key Hydrau lic Laboratory of High Velocity Flow ,S ichuan University,Chengdu,Sich uan ,610065,China)

Abstract :T rend s in development of engineer ing hydraulics in the 21th century are discuss ed in as pects of new theor y,new tech nology and mathematical model .Framew or k for th eory of engineering hydraulics at the 21th cen tu ry w ill be ch anged thorough ly .S ubject investigated w ill be evolved from normal scale to fin e scale.Conven tional ass umption for h om ogeneous contin uum w ill be improved and non-linear th eory and stoch as tic th eory w ill be ex tensively used.Clos e combination of hydraulics and computer technolog y w ill es tablish new and modern k now ledge sys tem.Along w ith in depth s tud y on fundamen tal research,new ad vances w ill b e made in turbu len t flow res earch in engineer ing hydraulics an d gr eat advances w ill b e made in study on interaction of flow,solid and air.T her efore,modernization of h ydrau lics w ill b e realiz ed.Key words :engineering hydr aulics ;trends in development ;new theor y ;new tech nology

Undertaking Popular Science Work C onstantly at Dif ferent Levels and Main Points

XIO N G D ao -shu

(Ch engdu Hydroelectric College,Ch eng du,S ichu an,610072,C hina)

Abstract :Th e Cen tral Comm ittee of the Communis t Party of Chin a and th e State Council pay great attention to popular s cience work ,so it is obligatory for acad emic organizations at different levels to make a good job of popular s cience.T he author sum marizes and review s experiences in popu lar science w ork undertaken s ince fou nding of S ichuan S ociety of Hydr oelectric Engineerin g 20years ago and proposes opinions and sug ges tions .

Key wrods :popular scien ce of h ydropower;practice;exp erience;understandins

Study on Optimum Design of Francis Turbine Runner in Sandy Water and Development of Its Software Package

L IU X iao -bing CHEN Ci-chang L I Q ing -g an Z HA N G Li-da

(Sich uan Indus try Ins titu te,Chengdu,S ichuan,610039,Chin a)

Abstract :M easures for improving tu rbine abras ion conditions are provided by analyz ing s ilt abrasion mechanism and conditions in turbin e.Design m ethod for runn er buck et of Francis turbine in sandy w ater is s tudied bas ed on tw o-dimen sional theory.Ru nner flow field comp utation,bucket num erical integration an d buck et thick enin g are conducted by reliable numerical computation m ethod .Effectivenes s and abras ion prediction are carr ied ou t for runn er during preliminary design.C omputer-aided sys tem for hydraulic design of Francis turbine ru nner bucket in sandy w ater is developed .An in stan ce for application of the d esig ned softw are is p resented .Key words :s ilt abrasion;Francis r unner;optimum des ign;softw are pack age

Insisting of Publication Aim and Establishment of High Quality Periodical to

Make Contribution to Development of Sichuan Water Power

L I Yan-hui

(E ditorial Office of Sichuan Water Power ,Chengdu ,S ichu an ,610072,Ch ina )

Abstract :Achievemen ts and counter measures for Sichuan W ater Pow er during 20Years are pres ented and experiences and future aims are des crib ed.

Key words :periodical running;aim ;periodical;society;contribution

Application of Threshold Auto -regressive Model in Hydrologic Stochastic Simulation

W AN G Wen -sheng Y U A N Peng D IN G jing DEN G Yu -ren

(College of Hydroelectric Engin eering,Sichuan Univer sity,Chengdu,Sichuan,610065,Chin a)

Abstract :In order to characterize th e nonlinear beh avior of daily flow ,a new nonlin ear tim e series model ,i .e .thres hold auto -regress ive model

has been introduced firs tly into daily flow s tochastic simulation in this paper.Based on the observed data at Pings han S tation at Jin sha River in Chin a,the th res hold au to-regressive m odel has been s et up to conduct s tochas tic sim ulation of daily flow.The res ults from model verification have show n that the s ugges ted model is fun ctional and ap plicable for daily flow sim ulation.Key words :thresh old auto-regres sive model;daily flow stoch as tic simulation;model verification

Study on Inf luence of Forest System on Slope Flow L EI Xia o-zhang 1　Y A N G Y u-po 1　ZHA O Wen-qian 2

(1.Sich uan Forest Res earch Ins titu te,Chengdu,S ichuan,610081,China;

2.State Key Hydr aulic Lab or atory of High Velocity Flow ,S ichuan University,Chengdu ,S ich uan ,610065,Chin a)

Abstract :By us e of dynam ic-w ave equation ,the general s lope flow equation is derived by matrix theory.Based on the function of forest ecological sys tem ,local s lope flow loss es and its total friction are am alyzed to offer theoretical base for research on control of non -point source pollution transportation in fores t.

Key words :s lope flow ;total fr iction;fores t vegetation

Coupling Analysis on Seepage and Stress Fields in Longtan Roller Compacted Concrete Gravity Dan

CHA I Jun-r ui L IU Hao -w u

(C ollege of Hydroelectric Engineerin g,S ichu an University,Ch engdu ,S ich uan ,610065,Ch ina)

Abstract :Based on permeability of L on gtan RC C gravity dam an d taking into account of s eepage on RCC lift s urface and its m echan ical effect,an d influen ce of stress con dition of dam on p ermeab ility of lift surface ,the cou pling analysis on s eepage an d stres s fields in Long tan dam are condu cted by means of m athematical m odel and its n umer ical solution of finite element method.T he analysis res ults are the references of dam des ign.

Key words :RCC dam ;s eepage field;s tres s field;cou pling analysis

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