立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题
1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.
2.折叠问题分析求解原则：
(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。
（最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______.
（两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。
4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —
AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ．
π12
125
B ．
π9
125
C ．
π6
125
D ．
π3
125
解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。
高考题中的折叠问题
1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G
2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有
(A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°
3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____．
4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为
(A)
2734π (B)26π (C)86π (D)24
6π
5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
6．（2010上海）在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。 7、（2010浙江）如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，
2
43
AE EB AF FD ===
=.沿直线EF 将AEF V 翻折成'A E F
V ，使平面'A E F B E F
⊥平面. (I)求二面角'A FD C --的余弦值； (II)点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.
8、(2009浙江备) 如图, 在平面内直线EF 与线段AB 相交于C 点, ∠BCF ＝
30, 且 AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF 折成
60的二面角α－EF －β, BP ⊥平面α, 点P 为垂足. (Ⅰ) 求△ACP 的面积;(Ⅱ) 求异面直线AB 与EF
所成角的正切值.
B A
F C
α
C
B P
A
β
E E
F
9、（2007广东）如图所示，等腰ABC △的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．
10、（2006辽宁）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）． （1）证明BF ∥平面ADE ； （2）若A C D △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．
图6
P
E
D F B
A
C
立体几何中的折叠问题、最值问题和探索
普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨． 1 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的 集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 例１ 【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =， 将矩形沿对角线BD 把ABD ?折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上. （1）求证：1BC A D ⊥； （2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求二面角1A BD C --的余弦值
立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题 考纲目标： 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 反思归纳：求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题 答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面. 第三步:利用判定定理或性质定理进行证明. 第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积. (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF⊥平面BEG. 2.(2015洛阳三模)等边三角形ABC的边长为2,CD是AB边上的高, E,F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ABC沿CD翻成直二面角A-ＣＤ－Ｂ． (1)求证:AB∥平面DEF; (2)求多面体D－ＡＢＦＥ的体积。 3.如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC于点O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED. (1)求证:BD⊥平面POA; (2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFED的体积. 【要点总结】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题
立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体． (1)求证：AB∥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. [解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD， 所以DC∥平面ABD. 因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB. 又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D， 所以AB∥平面ADC. (2)由(1)知AB∥平面ADC， 所以二面角C-AB-D的平面角为∥CAD. 又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD， 所以DC∥AD.
依题意tan∥CAD ＝CD AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋ 1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1 ，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2 6 ,0）, A ( 33,0,3 6）， 所以DE ―→＝(2 3,2 6,0），DA ―→＝(3 3,0,3 6 ）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由?? ? m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0， 得??? 32x ＋6 2y ＝0， 33x ＋6 3z ＝0. 令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，
(完整版)立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______. （两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。 4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B — AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ． π12 125 B ． π9 125 C ． π6 125 D ． π3 125
A B C E M N 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。 高考题中的折叠问题 1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____． 4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 2734π (B)26π (C)86π (D)24 6π 5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
立体几何中的折叠专题
立体几何中的折叠专题 一、解答题（本大题共20小题，共240.0分） 1. 如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，E 为BC 的中点， F 为线段AD 上的一点，且AF =3 2.现将四边形ABEF 沿直线EF 翻折，使翻折后的二面角 的余弦值为2 3． (1)求证：； (2)求直线与平面ECDF 所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接AC 交EF 于M 点， 由平面几何知识可得AC = ，EF = 5 2 ， 以及AM MC =FM ME =3 2，则有AM =3 5 5，MC = 2 55 ，MF = 3 510 ， 故有AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ， 于是，， 而，故EF ⊥平面， 而平面，故． (2)解：由(1)知，二面角的 平面角就是， 即cos ∠A′MC =2 3， 根据余弦定理，可求得， 因为，所以 ， 而 ，可知平面ECDF ， 因此，就是直线与平面ECDF 所成的角． 由于， 故直线 与平面ECDF 所成的角为π 4． 【解析】(1)连接AC 交EF 于M 点，由平面几何知识可得AC = ，EF = 5 2 ，以及AM MC =FM ME =3 2，经过计算可得： AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ，再利用线面垂直的判定与性质即可证明． (2)由(1)知，二面角 的平面角就是 ，即cos ∠A′MC =2 3，根据余弦定理，可求得 ，利用
，可得，可知平面ECDF，即可得出就是直线与平面ECDF所成 的角． 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.如图△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折 (1)若点A的射影在BD，求AD的长； (2)若点A的射影在△BCD内，且AB与面ACD所成的角的正弦值为222 11 ，求AD的长． 【答案】解：(1)过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD． 取BC中点O，连接AO，OE， ∵AE⊥平面BCD，BC?平面BCD， ∴AE⊥BC， △ABC是正三角形，∴BC⊥AO， 又AE∩AO=A，AE，AO?平面AOE， ∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE． 又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点． ∵BC=CD=2，∴OE=1 2 CD=1，AO=3，BD=22， ∴DE=2，AE= AO2?OE2=2． ∴AD= AE2+DE2=2． (2)以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴， 以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设二面角D?BC?A为θ，则A(0，3cosθ，3sinθ)，B(?1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)． ∴BA=(1，3cosθ，3sinθ)，CD=(0，2，0)，CA=(?1，3cosθ，3sinθ)， 设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则n?CD=0 n?CA=0 ． ∴2y=0 ?x+3cosθy+3sinθz=0，令 z=1得n=(3sinθ，0，1)． ∴cos
立体几何中折叠与展开问题(2)
立体几何中折叠与展开问题（2） 【知识与方法】 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 【认知训练】 1.△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角 B-AD-C ，若b a = θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、形状与a 、b 的值有关的三角形 2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： ①点M 到AB 的距离为 2 2 ②三棱锥C －DNE 的体积是6 1 ③AB 与EF 所成角是 2 π 其中正确命题的序号是 3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是 ……………………………………………（ ） ① ② ③ ④ A ．①② B ．②④ C ．①④ D ．①③ 4.正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为AB 中点，沿CM 、CN 分别将三角形CDM 和△CBN 折起，使CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P ，设T 为PM 的中点，则异面直线CT 与PN 所 M N P Q M P Q N M N P Q M N P Q
2021新高考数学二轮总复习专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析
专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.
3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.
(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值.
小学数学培优：几何问题之立体几何
立体几何 【学习内容及预期目标】掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体图形通过切割、拼接而构成的复杂立体图形的体积和表面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算。 ★长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式： 长方体的表面积S=2ab+2ac+2bc；长方体的体积V=abc. 正方体的表面积S=6a2；正方体的体积V=a3. 圆柱的表面积S=2πr2+2πrh；圆柱的体积V=πr2h. 圆锥的表面积S=πr2+πrl；圆锥的体积V= 3 1 πr2h. 附：扇形的面积S=lr r n 2 1 360 2 = π ★例题解析： 1、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 解析：长方体的棱包含4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(3+2+1)×4=24厘米，由此可求出正方体的棱长=24÷12=2厘米. 所以长方体的表面积=(3×2+3×1+2×1)×2=22平方厘米；正方体的表面积=2×2×6=24平方厘米.因此长方体和正方体的表面积之比是22:24=11:12. 而长方体的体积=长×宽×高=3×2×1=6立方厘米；正方体的体积=棱长3 =23=8立方厘米.因此长方体的体积比正方体的体积少2立方厘米. 2、将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？ 解析：(1)将长方体的长、宽、高标在展开图中，不难发现，折叠成的长方体容器的长是13-2-2=9厘米，宽是9-2-2=5厘米，高2厘米，因此容器的体积就是9×5×2=90立方厘米.(2)同理，折叠成的长方体容器的长是13-3-3=7厘米，宽是9-3-3=3 厘米，高3厘米，因此容器的体积就是7×3×3=63立方厘米. 2 、用棱长是1厘米的小立方体拼成 如图所示的立体图形，这个图形的 表面积是多少平方厘米？ h r l n
立体几何中的折叠问题题目
立体几何中的折叠问题 题目 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
A C D 图2 B A C D 折叠问题 解决折叠问题的时候，特别要注意哪些角度和长度在折叠前后是不变的！ 1、如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积． ? ? ? ? ? 2. 如图，在等腰梯形PDCB 中，3,1,2,PB DC PD BC ==== A 为PB 边上一点，且1,PA =将PAD ?沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)若M 是侧棱PB 中点，求截面AMC 把几何体分成的两部分的体积之比. 3. 如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将 ADE ?沿AC 折起,使平面ADE ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. (Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积. C P B A A C P M
4.如图1，在直角梯形ABEF 中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形 DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2． （Ⅰ）求证：//BE 平面ADF ； （Ⅱ）求三棱锥F BCE -的体积． 图 图 2 1 11A B C D E F 1 F E D C B A
高考热点问题：立体几何中折叠问题
高考热点问题：立体几何中折叠问题 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③
立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题 【知识与技能目标】 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中角的求法。 【能力与方法目标】 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 【情感态度与价值观目标】 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 【教学重点】 了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 【教学难点】 转化思想的运用及发散思维的培养。 【课堂导学】 二．例题分析 例1、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为90°．求二面角D－EC－B的正切值大小． 变式1：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60°,求二面角D－EC－B大小的正切值． 变式2：在△AED绕着AE转动过程中，是否存在某个位置，使得BD⊥AE;是否存在某个位置，使得面ABD ⊥面ABCE 结论： （1）AE⊥面DPF （2）面ADE⊥面DPF 面ABCE⊥面DPF （3）A,P,E三点共线 （4）∠DPF为D-AE-B的二面角 练习：如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将⊿AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内，过点D作
DK ⊥AB,K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是_______ 例2、如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=2/3FD=4.沿直线EF将⊿AEF翻折成⊿A’EF,使平面A’EF⊥平面BEF. (1)求二面角A’-FD-C的余弦值； （2）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A’重合，求线段FM的长。 课后小结：要解决好立体几何中的折叠问题，你有什么办法？或者说在本节课上你学到了什么？ 【课后巩固】 1.（2010浙江文数）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC， ∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 2.在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使平 面ABD⊥平面ABC. AD⊥BC； （1）求证：' 60,求二面角AD’与面ABC所成角的大小（2）若二面角D’－AE－B为?
立体几何中的折叠问题
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 立体几何中的折叠问题 考纲目标： 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 【例1】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1 =.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.
反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当 的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题 答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变 化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系, 明确需要用到的线【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A BCF,其中 . (1)证明:DE ∥平面BCF; (2)证明:CF ⊥平面ABF; (3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的 体积F DEG V .
立体几何折叠问题大题选(难度中上)
1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1. (1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长； 若不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o． （Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD； （Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值． 4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，作分别交于点，作分别交于点，
将该正方形沿 折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱 . （1）求证：平面 ； （2）求多面体的体积. 5．如图所示，在边长为 的正方形中，点在线段上，且，，作 // ，分别交 ，于点 ，，作 // ，分别交 ， 于点 ， ，将该正方形沿 ， 折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱 ． （1）求证： 平面 ； （2）若点E 为四边形BCQP 内一动点,且二面角E-AP-Q 的余弦值为,求|BE|的最小 值. 6．已知平面五边形 关于直线 对称（如图（1）），， ，将此图形沿 折叠成直二面角，连接 、 得到几何体（如 图（2））
高中数学高考聚焦立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题 湖南 周友良 刘飞凤 一、折叠与展开中的垂直问题 例1. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折起来，使点C 的新位置C '在面ABC 上的射影E 恰在AB 上． 求证：C B C A '⊥' 分析：欲证C B C A '⊥'，只须证C B '与C A '所在平面D C A '垂直；而要证C B '⊥平面D C A '，只须证C B '⊥D C '且C B '⊥AD ．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了． 证明：由题意，C B '⊥D C '，又斜线C B '在平面ABCD 上的射影是BA ， ∵ BA ⊥AD ，由三垂线定理，得AD B C ⊥'，D DA D C =' ． ∴ C B '⊥平面AD C '，而A C '?平面AD C ' ∴ C B '⊥C A ' 例2.如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC 解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC 设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得： A 'D 2 =A 'E 2 +ED 2 -2?A 'E ?EDcos60° =3a 2 ∴ED 2 =A 'D 2 +A 'E 2 A B C D F E G A '
∴A 'D ⊥A 'E ∴A 'E ⊥平面A 'BC 例3. 如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE. 解析：过D 作DF ⊥AB 交AB 于F ，连结EF ，计算DF 、EF 的长，又DE 为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE ＝0 90； 二、折叠与展开中的空间角问题 例4. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起， 使点A 在平面BCD 上的射影A′落在BC 上，求二面角A —BC-—C 的大小。 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A 作AE ⊥BD 交BD 于O 、交BC 于E ，则折叠后OA 、OE 与BD 的垂直关系不变。但OA 与OE 此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE 与面ABD 、面CBD 的交线OA 与OE 所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A 在面BCD 上的射影必在OE 所在的直线上，又题设射影落在BC 上,所以E 点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc ∠CBD ，而BO=AB2/BD=9/5, tg ∠CBD ，故OA′=27/20。在Rt △AA′O 中，∠AA′O=90°所以cos ∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty ∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。 例5. 在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =2b ，a 高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题
高考数学难点突破八--------立体几何中的翻折问题 一、知识储备 翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。 二、应用举例 例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ?沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为 ( ) A B C D 例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点， 1DE =，现将ABE ?沿直线BE 折成A BE '?，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则 A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ< <
例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ） A. ,2a ββγ>> B. ,2a ββγ>< C. ,2a ββγ<> D. ,2a ββγ<< 例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4 B π = ，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ ） A ． 5 B ． 25 C ． 35 D ． 25 例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB = ， 沿直线BD 将ABD ? 折成'A BD ?，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ?内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线 ','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ） A. αθβ<< B. βθα<< C. βαθ<< D. αβθ<< Q D P C B A
高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳
高考数学热点专题高中数学立体几何中折叠问题归纳 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形,就在图形发生变化的过程中,折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化,我们称其为“不变量”.求解立体几何中的折叠问题,抓住“不变量”是关键. (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例题1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③
立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题 考纲目标: 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解 “转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 【例1】如图,在直三棱柱ABCA i BQ中,底面ABC为直 角三角形，/ACB=90 ,AC=6,BC=CC=72.P 是BC上一动点，则CP+PA勺最小值为. 【卸时撫|练3 技师9 JkEC SA-AB-AC-2r NAHB-NBQC- ^caA-30-.虬《讣涮?J HB.sc I ?(111 zijum n 小偵 対_______ - 反思归纳：求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离考点二.平面图形的折叠问题
第三步:利用判定定理或性质定理进行证明 第四步:利用所给数据求边长和面积等，进而求表面积、体积. 【即时训练】 1、(2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意 图如图所示. (1)请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； ⑶证明:直线DF 丄平面BEG. 【例21 (2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点，AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与 DE 交于点ABF 沿AF 折起，得到如图⑵所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC=^. 2 证明:DE //平面BCF; 证明:CF 丄平面ABF; (1) 当AD =-时,求三棱锥 3 体积V F DEG - 答题模板：第一步:确定折叠前后的各量之间的关系 化 量和不变量. ，搞清折叠前后的变 第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系 ,明确需要用到的线 C G 1 E A R c R Zi / / 7 iG 鞠 A E
人教版最新高考数学总复习之【立体几何好题难题集萃】及参考答案
——教学资料参考参考范本——人教版最新高考数学总复习之【立体几何好题难题集萃】及 参考答案 ______年______月______日 ____________________部门
(附参考答案) 浙江理（14）(安徽卷）理科数学（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面内， 其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是：αααα ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号） 解：如图，B 、D 、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D 、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B 、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D 、B 的中点到平面的距离为，所以C 到平面的距离为3；C 、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P 为C 、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。 αααα α αα32αα72α 3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有D 1111D C B A ABCD -11D DBB A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条
4、若是平面外一点，则下列命题正确的是D P α （A ）过只能作一条直线与平面相交 （B ）过可作无数条直线与平面垂直P αP α （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行P αP α 【说明】过一点作已知平面的垂线有且只有一条（唯一性） 过平面外一点可作无数直线与已知平面平行（存在性） (浙江文)（17）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB⊥DM; (Ⅱ)(文)求BD 与平面ADMN 所成的角。 (理) 求CD 与平面ADMN 所成的角 解：方法一： （Ⅱ）(文)连结DN ， 因为PB ⊥平面ADMN ， 所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角. 在中, Rt BDN ?1 sin ,2BN BDN BD ?= = 故BD 与平面ADMN 所成的角是.6π 方法二： 如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1，则 A xyz -(0,0,0)A
立体几何大题二,翻折
立体几何大题题型二：翻折问题 1.已知四边形ABCD 满足AD BC P ，12 BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点． （1）求三棱锥1E ACB -的体积； （2）证明：1B E P 平面ACF ； （3）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC ． 思路分析：对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量．（1）求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换．由题意知，AD EC P 且AD EC =，∴四边形ADCE 为平行四边形，∴AE DC a ==，即E AB 1?为等边三角形．由面1B AE ⊥面AECD 的性质定理，连结1B G ，则1B G AE ⊥，可知1B G ⊥平面AECD ．所以11E ACB B AEC V V --=即可；（2）本题利用线面平行的判定定理去做．因为F 为1B D 的中点，注意利用中位线；（3）本题利用面面垂直的判定定理证明．因为AE ∥CD ,只需证明AE ⊥平面1B GD 即可。连结GD ，则DG AE ⊥．又△ABE 为等边三角形，则1B G AE ⊥，得证．本题注意体现了转化的思想．
（2）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，∵AEDC 为菱形，且F 为1B D 的中点，∴1FO B E P ．又1B E ?面ACF ，FO ?平面ACF ，∴1B E P 平面ACF （3）连结GD ，则DG AE ⊥．又1B G AE ⊥，1B G GD G =I ，∴AE ⊥平面1B GD ．又AE DC P ，∴DC ⊥平面1B GD ．又DC ?平面1B DC ，∴平面1B GD ⊥平面1B DC ． 点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出△BAE 沿AE 折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在． 2．(2015·山东聊城二模)如图(1)所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(如图(2)) (1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值； (3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC 的值；如果不存在，请说明理由． 【解】 (1)平行．在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，DA →＝(0，0，2)．