推理与证明教案

推理与证明教案 Revised by Chen Zhen in 2021

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节

纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 2、数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 3、师生活动

例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 ：前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，…… 结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

例3： ,3

232,232232,131232++<++<++< 探究：述结论都成立

吗

强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！” 三、课堂练习四、课堂小结

(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明

五、作业：

教后反思

审核人签字：

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节

教

后

反

思

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§直接证明--综合法第 1 课时

教学

目标

1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综合

法；

2、能够运用综合法证明数学问题

3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，

养成言之有理，论证有据的习惯。

重点了解综合法的思考过程、特点中心

发言

人

王

晓

君

难点用综合法证明时的解题过程

教具课型新授课

课时

安排

1课

时

教法讲练结合学法归纳总结个人主页教

学

过

程

教

学

过

程

一、新课引入

1、比较222

a b ab

+与的大小关系.

生：ab

2≥

+。

2、

2222

,0,:((4

a b a b c b c a abc

>++≥

已知:求证)+)

生：讨论、交流完成，对比解答

二、新课学习

1、综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、

公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要

证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地

称为“顺推证法”或“由因导果法”）

例2、若实数1

≠

x，求证：.)

)

1(32

证明：采用差值比较法：

2422

3(1)(1)

x x x x

++-++=

(23

-x

=)1

(

(22

-x

∴

)1()1(32

242x x x x ++>++ 例3、已知

,,+

∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对

称，

不妨设.0>≥b a 从而原不等式得证

2）商值比较法：设,0>≥b a

,0,1≥-≥b a b a

1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

三、课堂练习四、课堂小结

综合法的一般思路：五、作业布置教后反思

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题

第三章§直接证明—分析法

第 1课时

教学目标 1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之二分析法； 2、了解分析法的思考过程、特点。

3、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题

和解决问题的能力；重点了解分析法的思考过程、特点中心发言人

王晓君

难点分析法的思考过程、特点

教具

课型

新授课

课时安排 1课时

①

sin cos sin

θθβ

=②

求证：

1tan1tan

1tan2(1tan)

αβ

。

证明：因为2

(sin cos)2sin cos1

θθθθ

+-=，所以将①②

代入，可得

4sin2sin1

αβ

-=. ③

另一方面，要证

1tan1tan

1tan2(1tan)

αβ

即证

sin

sin1

cos

sin sin

12(1)

cos cos

αβ

，

即证2222

s sin(s sin)

co co

ααββ

-=-，

即证22

12sin(12sin)

αβ

-=-，

即证22

4sin2sin1

αβ

-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。

三、课堂练习

四、课堂小结

综合法的一般思路：

五、作业布置

教

后

反

思

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§3间接证明—反证法第 1 课时

教学

目标

１、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

２、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

３、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

重点了解反证法的思考过程、特点中心

发言

人

王

晓

君难点反证法的思考过程、特点

的公共点，这

线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平

正是

2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例3、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）证明：假设n a 不大于n b ，即n n a b <或n n a b =. ∵a ＞0，b ＞0

∴由n n a b

(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么) ?a ＜b(推理利用了不等式的传递性). 又由n n a b =?a b =

但这些都与已知条件，a ＞b ＞0相矛盾. ∴n n b a >成立.

例4、设233=+b a ，求证.2≤+b a

证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而

因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。四、课堂练习

1．设0 < a , b , c < 2，求证：(2 a )c , (2 b )a , (2 c )b ,不可能同时大于1

2．若x , y > 0，且x + y >2，则x

y +1和y x

+1中至少有一个小

于2。教后反思

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明一、核心知识 1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

教学案例-有趣的推理

《有趣的推理》教学案例教学内容：北师大版小学数学教材三年级下册65-66页。教学目标： 1、经历对生活中某些现象的推理、判断过程,能够对这些现象进行合理的分析。 2、学会运用列表、分类、排除等解决问题的策略进行推理,发展推理能力。 3、能够用语言清楚地表达自己的推理过程,在经历推理判断的过程中树立自信,体会生活中这些现象中蕴含的数学道理。教材分析：《有趣的推理》是北师大版三年级下册《数学好玩》中的内容。推理，是数学的基本思维方式。把“对现象的推理”作为教学内容还是第一次出现,本节课也是学生正是接触逻辑推理的开始。教材立足学生已有的知识和发展水平，选取了难度不大，但又相对独立的两个素材。力图让学生亲历有趣的推理活动过程，形成一种明确的推理意识，学会借助表格，运用分类、排除等策略进行推理的方法，发展推理能力，为后续解决复杂的推理问题奠定坚实的基础。学情分析：三年级的学生好奇心强,乐于展示与分享，他们对符号、分类和列表也有一定的认识和运用。在生活中积累了合情推理的经验，具备简单的推理能力。但处于这个年龄段的孩子，

抽象思维能力较弱,逻辑表达能力不强。所以，有条理的表达推理过程对学生来说比较困难，借助表格有序的进行推理便是教学的重点。教学重点：经历对生活现象进行推理的过程，理清推理顺序,学会表格法、排除法等常用的推理方法。教学难点: 对信息进行分类整理,能用表格的形式进行梳理。教学过程： ○、课前活动《我不是》师：我们即将上的这节课需要考验大家的智慧，看看你们的脑筋是不是反应迅速，所以我们玩个游戏测试下大家。游戏名叫《我不是》，规则简单，我说我是什么，你要迅速的说我不是什么。比如说：我是大人，你回答我不是大人。明白了吗？我是天才，我不是天才；我是帅哥，我不是帅哥；我不是学生，我是学生；我不是小孩，我是小孩；我不是女生，我是女生。好，游戏就到这儿吧。什么，还想玩？你想先说，行，让你说，希望你能大点声，让大家都听到。好吗？

2.2.1直接证明教案

课题 2.2.1 直接证明 1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法； (一)自学质疑：A 类问题：仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题问题1、直接证明的一般形式问题2、分析法的概念及推理过程问题3、综合法的概念及推理过程 B 级问题）例1、已知0,0a b >>，求证：22 b a a b a b +≥+ 例2、已知1,1a b <<，证明： 11a b ab +<+

※ 当堂检测（40分） 1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b +≥成立的条件有个 2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1 a a b b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是 3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b +=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ?中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列求证：ABC ?是正三角形 6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22 x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数 ※学生完成本节导学案的情况统计.

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。重点归纳推理及方法的总结中心发言人王晓君难点归纳推理的含义及其具体应用教具课型新授课课时安排 1课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。二、新课学习 1、哥德巴赫猜想哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明归纳推理的发展过程

北师大版数学三年级下册数学好玩有趣的推理公开课教案

有趣的推理教学目标 1. 通过解决实际问题，让学生经历对生活中某些现象进行推理、判断的过程。 2. 让学生在推理过程中领悟出相应的方法，从而对现象进行逻辑推理，判断出其结果。 3. 通过将自己推理的过程和结果与同伴进行交流，培养合作意识。知识点：让学生学会利用表格进行生活中的推理，学会借助列表整理信息，按照一定的方法进行推理。教学重点：引导理解生活中推理的重要性。教学难点：合理进行推理。教学准备：课件、表格。教学过程：一、复习导入。 1、70×（40－32）＝ 7＋3×0＝ 750－（70+80）＝ 25×38＝ 774÷8＝500×3＝ 420÷3＝ 40＋580＝ 102＋20＝ 75＋25÷5＝ 90÷5×3＝ 0×930＝ 910÷3＝

2、讲述，你们看，今那天谁来咱们班了？我们的老朋友，淘气、笑笑和小明来咱们班做客了，他们还给我们带来了一个新问题。 3、 (电脑)演示。畅言系统课件展示 (1)小伙伴们，你们好!这个学期，我们学校组织了足球、航模和电脑兴趣小组。真是太棒了!根据自己的爱好，我们三人分别参加了其中的一项。 (2)演示： (3)提问：同学们，你能猜出我们在哪个兴趣小组吗? 二、自主求知 1. 交流。预设1：淘气不是电脑小组的，他可能是足球、航模小组的。预设2：笑笑不喜欢踢足球，他可能是航模和电脑小组的。同学们先自己想一想，然后，再把你的想法与同桌说一说。 2. 反馈。 (1)师：你们是怎样想的?你们愿意跟大家交流吗? (2)还有别的想法吗? 教师适时板书：淘气喜欢航模→航模小组

笑笑不喜欢踢足球→电脑小组小明不是电脑兴趣小组的→足球小组 3. 提问。 (1)你觉得这三句话中，哪一句最重要? (2)为什么? 4. 共识。 “淘气喜欢航模”这句话最重要，因为通过它不仅直接知道了淘气是航模小组的，还能帮助我们判断其他两个人是什么小组的。这是直接信息 5. 激趣：除了用阅读分析的方法来思考外，你还能想出其他的方法吗? 6. 画表格：足球航模电脑淘气笑笑小明 (1)观察：横着的三行表示什么?竖着的三列呢?它是怎样记录信息的呢? (2)交流：用什么符号来表示?你是怎样想的? 足球航模电脑淘气×√× 笑笑××√

直接证明和间接证明(4个课时)教案

2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

《有趣的推理》教学设计

《有趣的推理》教学设计董莉一、指导思想本课教学内容是生活中的推理，是一节数学实践活动课，属于实践与综合领域。把“对现象的推理”作为教学内容在教材中还是第一次，这些生动、有趣而易于使学生接受的知识溶入数学课本中，也是新教材在编排上一个大胆的尝试与创新。立足学生认知发展水平，教材在问题设计的难度上都不是很大，一般都有一个可以直接判断的条件，学生只要找准关键句，就能较为轻松地推理出其他的相关结论。让学生亲身经历对生活现象判断的过程，从而锻炼学生的逻辑推理能力是教材编写的重要目的之一。二、教学目标： 1. 知识与能力目标：经历对生活中的某些现象进行推理、判断的过程，能够对这些现象进行合理的分析。 2. 方法与途径目标：学会运用列表、尝试、操作等解决问题的策略进行推理，发展推理能力。 3. 情感与评价:能够用语言清楚地表达自己的推理过程，在经历推理判断的过程中树立自信，体会生活中这些现象中蕴含的数学道理。 4. 现代教学手段：利用多媒体清晰的演示推理的过程。三、教学重难点：重点：经历对生活中某些现象进行推理、判断的过程。难点：能对生活中的某些现象按一定的方法进行逻辑推理，判断其结果。四、教学准备：教具准备：多媒体课件学具准备：每人一张练习纸五、教学过程：

（一）情境导入同学们，今天老师给大家请来了一个好朋友，看他是谁（柯南），你知道他是干什么的吗？你觉得他聪明吗？为什么？对，在一些案件中，柯南正是根据错综复杂的线索，判断推理，最终缉拿凶手的。像柯南这种通过观察，分析问题的过程的能力就是我们数学中所说的“推理”，这节课我们就来学习“有趣的推理”板书课题。（二）探索新知 1. 师：同学们我们学校在每周二开设了第二课堂，淘气、笑笑和奇思也想加入咱们的兴趣班，下面就让我们一起了解下淘气、笑笑和奇思分别参加了什么课外兴趣小组吧。（课件出示第1题）学校有足球、航模和电脑兴趣小组。淘气、笑笑和奇思根据自己的爱好分别参加了其中的一组。他们三人都不在一个组。（1）先齐读题目，在自由默读。（2）通过阅读获得了哪些信息？生1：有足球、航模、电脑兴趣三个小组；生2：他们分别参加了其中一组；生3：他们三人都不在一个组。师：“分别参加了其中一项”是什么意思？生举手自由说。师：你能确定他们分别参加了那个兴趣小组吗？（不能，没有给出信息）（3）补充信息淘气不是电脑小组的。奇思喜欢航模。笑笑不喜欢足球。（4）同学们先自己想一想，然后把你的想法与小组同学说一说。把本组认为能让别人清楚明白的方法用自己喜欢的方式写在本子上。用自己喜欢的方式。（5）汇报，全班汇报自己的方法。（用文字叙述表示的方法和连线法）文字叙述略连线法：（叫生自己上来按照自己连的边说边演示）淘气足球

直接证明和间接证明4个课时教案

2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案

第五节合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。小|题|快|练一、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an －1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )

三年级数学下册数学好玩--有趣的推理教学设计

三年级数学下册数学好玩---《生活中的推理》教学设计教学目标： 1、经历对生活中某些现象进行判断、推理的过程。 2、能借助列表整理信息，并对生活中某些现象按一定方法进行推理。 3、能有条理地表达自己思考的过程，与同伴进行交流。教学重点：经历对生活中某些现象进行判断、推理的过程，按照一定方法进行推理。教学难点：对信息进行归类、整理，用表格的形式处理信息。教学过程：一、激趣引新 1、判断玻璃球在哪只手里。亲爱的同学们，你们好！今天，老师要带大家一起做好玩儿的数学游戏，想参加吗？想参加的小朋友请你把手举得高高的，哦，我看见了！大家都想参加，仔细观察，精彩的游戏马上就要开始了！（师出示一个彩色的玻璃球）这是一个彩色的玻璃球，老师要把它藏在老师的其中一只手里。看好了啊！（师把手藏在桌子后面，然后把玻璃球放入一只手里）来，猜猜玻璃球在哪只手里？有的小朋友猜会在左手中，也有小朋友猜会在右手中。能不能确定在哪只手里？大家都说不能确定，为什么不敢确定？有小朋友会说：老师有两只手，谁也不知道究竟在哪只手中。（师张开了右手，做出举手的姿势）现在，当我打开右手的时候，你敢不敢断定它在哪只手里？哦，大家都知道在老师的左手里。为什么？小朋友一定会说：因为刚才右手打开了，那它肯定藏在左手里。你们为什么这么肯定？哦，因为老师只有两只手。现在排除了一只手，就只剩另一只手。

这就是推理的一个小知识，它叫作排除法。当我们排除了一种可能，它就可以确定是另一种可能。 2、猜猜他是谁。好，现在我们玩第二个小游戏：“猜猜他是谁”。这是一张师生合影，我们要找的人就在其中，你能很快的猜出他是谁吗？不能吗？为什么？因为人太多了，无法直接进行判断。那么，老师就给大家提供第一条线索：他穿着干净的校服。根据这一条线索，我们可以判断出，他一定是一名学生，不是老师。那咱们就把老师排除掉。现在猜出他是谁吗? 不能，还需要线索，对吗？第二条线索很重要：他在第一排。范围缩小了，咱们把目标就锁定在第一排同学的身上。现在你敢确定他是谁吗？还不能确定吗？最后一条线索非常关键：他是男生。仔细观察，第一排有几个男生，只有一个，因此，我们要找的就是他。太棒了！刚才同学们根据老师提供的三条线索，进行了连续的思考，最终找到了正确答案。其实在刚才的游戏当中，我们就运用了一些推理方法，把很多线索连续起来思考，把范围逐渐缩小，最终找到正确答案。这个过程，就是我们数学中推理的一种方法。生活中还有什么情况需要推理呢？今天我们一齐来研究：生活中的推理。 (设计思考：以学生熟知的猜球和找人的小游戏作为情境，通过多媒体的生动演示，让学生产生身临其境的感觉，仿佛真的来到了小伙伴中间。拉近了问题与学生的距离，有效地激发了学生解决问题的兴趣。) 二、探究新知 1、理解题意首先，那我们就一起走入熟悉的校园去看一看那里有什么推理问题。

苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案

1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 6．教学过程: 学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写) 要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证： .)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x = ].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知 ,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

推理与证明教案

推理与证明合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程：一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清

9.2 直接证明与间接证明【知识网络】 1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点； 3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。【典型例题】例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； ③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个答案：C 。解析：①③④恒成立。（2）利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 32++k k 答案：C 。（3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是（） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解答案：D 。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。（4）定义运算 () ()a a b a b b a b ≤?*=? >? ，例如，121*=，则函数 2()(1)f x x x =*-的最大值为 _________________．答案： 2 。（5）若c b a >>，* N n ∈，且 c a n c b b a -≥ -+-11恒成立，则n 的最大值是。答案：4。解析：因c b a >>，* N n ∈，所以 c a n c b b a -≥-+-11同解于n c b c a b a c a ≥--+-- 又 42≥--+--+=--+-+--+-=--+--c b b a b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。

推理与证明教学设计范本(高中数学)

教学设计说明一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 二、教学目标分析新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标： (1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单

高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A版选修1-2

湖南省蓝山二中2014年高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A 版选修1-2 教学任务分析：（1）在以前的学习中，学生已经能应用分析法证明数学命题，但学生对分析法的内涵和特点不一定非常清楚.本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析，再总结这类证法的特点：要证明结论成立，逐步寻求退证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. （2）“逆推证法”或“执果索引法”，是分析法的两种形象说法.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.教学中，应强调分析过程和思考过程，让学生明白为什么要采用分析法，以及运用分析法进行证明的书写格式. 教学重点：（1）了解分析法的思考过程和特点；（2）运用分析法证明数学问题. 教学难点：对分析法的思考过程和特点的概括. 教学过程 ).0,0(≥2 >>+b a ab b a 证明：分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法. 例1. . 5273 <+求证：

例2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证AF ⊥SC . 课堂练习 . )()( 00 .131332122y x y x y x +>+>>，求证：，已知： 2. 是否存在常数C ，使得不等式 y x y y x x C y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数x 、y 恒成立？试证明你的结论. .0 ,0 .3b a b a b a a b b a b b a a ≠≥≥+>+且应满足的条件是、，则实数如果 .82121 210 .4≥-+<