圆重难点突破内心外心

E

F

D

O

A

B

C

前言：

元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少

【2013元调 第10题】

如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）

A 、AIB

AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠

C 、1

2180

2

AIB AOB ∠-∠=

D 、1

2180

2

AOB AIB ∠-∠=

分析：

外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点

三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。 内心：圆在三角形内，与三边都相切

三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ，

∠AIB=180°

-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+1

2

∠C

外心和内心的考查很频繁

外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题

如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD

②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积

（1）111

90,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠

（2）1

()2

S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径

当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2

a b c

r +-=

O

I

C

A

B

O

C

A

B

I

A

B

C D

B

O C

A

E

【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=

2IM ；③∠BIM=∠BAP ；

④

PM

OB

IN +=

2

2；其中正确的个数有________________

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 分析：

①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼

想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意

弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里APM BPM ∠=∠，则AM=BM 则△AMB 为等腰直角三角形，AM=BM ，AB=2AM

③欲证AB=

2IM ，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。令IAB IAP x ∠=∠=，则

45,45I A M x A I M x ∠=+∠=+（内心性质、外角等于不相邻2内角之和）

④对于∠BIM=∠BAP 这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， 若P 在AB 中点处，显然∠BIM=∠BAP 不成立

⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。本题的主线是 内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M 作AP 、BP

边的垂线，易证PCMD 为正方形。AB=2OB ，则IM=AM=2

2

AB ，

而AB=2OB ，所以IM=2OB ，又PI=2IN ，所以 PM=2（IN+OB ），证毕

【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个 ①若O 是△ABC 的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°； ②若O 是△ABC 的，∠A=50°，则∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是12； ④△ABC 的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；

45

45

x

x N

I

M

A

B

P

45

x

x

N

I

M

A

B

P

C

D

N I

M

A O

B

P

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 分析：

①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释； ②第3个结论，有一定难度

方法1：勾股定理

由图知：底边BC 一定，则AE 最大时，△ABC 的面积的最大 令AB=a ，BE=b ，则AC=10-a ，CE=6-b

由于2222AB BE AC CE -=-，则2222-(10-)-(6-)a b a b =，解得 31655

a b =

+ 因为22

2

22

23161616916-()(b 3)5525255

a b b b ?=+-=--++ 不用具体算出来，当b=3时，有最大值

即22AD a b =-取最大，此时△ABC 为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4

方法2：海伦－秦九韶公式，如果你记得住的话： ()()(),2

a b c

S P p a p b p c p ++=---=

令AB=x ，则AC=10-x ，由题知P=8，则 82

8(86)(8)(2)4(8)(2)4122

x x S x x x x -+-=---=-+≤?=（也可以用配方法）

【训练题】

1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF

2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图

中与BD 相等的线段分别是____________________

E

D O

A

B

C

D E

B

C

A

3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心，

则∠BPC=___________

4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于

F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________

5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI 的

值为_______________

I

O

C

B

A

P

D

C

A

B

F

E

O D

A B

C

6、如图，△ABC 内接于⊙O ，I 是其内心，且AI ⊥OI 。若AC=9，BC=7，则AB=_______

7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线

PH 交OA 于点H ，设△OPH 的内心为I ，那么当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，I 所经过的路径长为_______________

8、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，过B 点的切线交OE 的延长线于点F ，连结FD ，则下列结论： ①DE BE ；②FD 是⊙O 的切线；③∠C=∠DFB ； ④E 为△BDF 的内心。 其中一定成立的个数有_______________。 A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③ 提示：角的转换要灵活

F

E

D

O

B

C A

I

O

A

B

C

I

H

B

A

O

P

9、如图，BC 是⊙O 的直径，半径为R ，A 为半圆上一点，I 为△ABC 的内心，延长AI 交BC 于D 点，交⊙0于点E ，作IF ⊥BC ，连接AO ，BI 。下列结论：①AB+AC=BC+2IF ；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI ；④

IF R

AE

+为定值，其中正确的结论有（ ） A 、①③④ B 、①②③ C 、①②③④ D 、①②④ 提示：参考例1解法

10、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是直径，I 为△ABC 的内心，AD 、BE 、CF 都经过I 点分别交⊙O 于点D 、E 、F ， IM ⊥BC 于M 。则下列结论：①EF ⊥AD ；②2AB AC BC AI +-=；

③1

2()2

AD IM BC =

+，其中正确的是__________

提示：①是对的

F

D

E

I

C

O

A

B

M

E

I

F

D

B

O C

A

11、下列列说法：

①如图1，扇形OAB 的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C 是AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于D ，作CE ⊥OB 于E ，连接DE ，点G 在线段DE 上，且DG ＝1

3

DE ，连接CG 。当点C 在AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，长度不变的是DG ；

②如图2，正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心O 在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A 于点H 重合，且EH 切⊙O 于点H ，延长FH 交CD 边于点G ，则HG 的长为193

； ③已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则其内心和外心之间的距离是5cm ； 其中正确的有___________（请写序号，少选，错选均不得分）

图2

G

H

C

D

B

A

F

E

C

B

A

12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D 是直线y x =-上一点，过O 、D 两点的圆⊙1O 分别交

x 轴、y 轴于点A 和B 。

（1）当A （-12，0），B （0，-5）时，求1O 的坐标；

（2）在（1）的条件下，过点A 作⊙1O 的切线与BD 的延长线相交于点C ，求点C 的坐标； （3）若点D 的横坐标为7

2

-

，点I 为△ABO 的内心，IE ⊥AB 于E ，当过O 、D 两点的⊙1O 的大小发生 变化时，其结论：AE BE -的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；

y

x

y =-x D

O 1

B

A

O

y

x

y =-x

C

D

O 1

B

A

O

y

x

E

I

D

O 1

B A

O