证券投资学计算题练习单指数模型

一、多个证券的组合：

利用两种证券的收益风险计算模型

AB B A B A B

B A A P B B A A P x x x x r E x r E x r E ρσσσσσ.2)

()()(22222++=+=

可得多个证券组合的收益率与风险计算模型。设有证券N 种，记作A 1、A 2、……A N ，证券组合),,,(21N x x x P =表示将资金以权数N x x x ,,21投资到相应证券A 1，A 2……A N 上。i x 可以小于0，组1=∑i x ，设A i 的收益率为

),2,1(N i r i =，则组合P 的收益率为：)1(...2211N

N P r x r x r x r +++=

由马可维茨投资组合理论定义，N 个证券的组合P 的预期收益率和方差，分别由下式计算：

∑∑∑=≤<≤=+==N

i N

j i j

i

j

i

i i P i N

i i P x

x x x x r E x r E 11222

1

)

,cov(.2

.)

2()

()(σσ

∑∑=≤<≤+=N

i N

j i ij

j

i

j

i

i i x x x 1

122)3(.2

.ρσ

σσ

二、单指数模型

由（3）式知，若要计算一个有较多种证券构成的组合投资P 的方差或标准差，并由此比较风险，则需计算证券两两间的相关系数。计算工作量随着N 的增大而快速增加。比如沪深两地共有股票1600种左右，则需要估算的预期收益率、方差和协方差个数将达130(

2

)

3(+n n )万个之多。此时用（3）式衡量组合投资的风险就来得困难了。人们总希望用一些相对简洁、明了的方式来揭示证券市场中收益与风险的关系。考虑可以有一个指数作为基准参照指标，将证券两两之间关联性的计算转为证券与指数的关联性，最后仍可作出比较。这样，关联性数据只需计算与证券个数一样多的即可。如果一个指数说明不了问题，可考虑2个或2个以上（多个），这样就有了单指数模型与多指数模型。单个证券的单指

数模型为：

)4(i

M i i i r r εβα++=

这是一个回归方程，对于随机误差变量i ε,有假设①0)(=i E ε，②

j i Cov j i ≠?=,0),(εε,③0),(,=i M r Cov ε,M r 为市场整体的收益率水平。其中i β有：

()5 )

,(.2

M

M i M i iM i r r Cov σσσρβ==，这就是著名的β系数。

对(4)式两边求期望值得：)()( ),()(M i i i M i i i r E r E r E r E βαβα-=+=，在此处

i β常用于描述证券i 的系统风险的程度，1>i β，则表示证券i 的系统风险大于

市场总体水平；10，表示表示证券i 有超出市场整体的预期收益率（经风险调整），i a 越大，则证券i 的预期超额收益率亦越大。

三、证券风险的分解

前面我们提及，证券投资的风险可分成两大类，一是系统风险，二是非系统风险。只有系统风险才可能带来超额收益（收益补偿），非系统风险是得不到期望收益的补偿，所以在投资选择中，人们总是尽可能地消去这部分风险。由单指数模型i M i i i r a r εβ++=，可得：

()0

,cov ,0),cov(0,)E()

6()

(i i 22

22===+=j i M i M i i r εεεεεσσβσ当然，前提是：

所以，风险2i σ可分解成两部分：

1、22M i σβ——系统风险（systematic variance ）。它反映了证券i 与证券市场相关联的不确定性，2M σ表示市场推动的大小，或者说市场整

体风险，而i β表示证券i 对市场推动力的响应程度，或对市场整体风险和敏感

程度。

2、)(2i εσ——非系统性风险（unsystematic variance ），

它反映由证券i 自身个别因素造成的不确定性。

四、分散化投资的作用

前面我们讨论一种证券的单指数模型，现在我们可以讨论组合投资的情形。设组合P 有N 种证券，权数分别),,,(21N x x x ，其收益率i r 与p r 的回归方程分别为：

),,2,1(N i r a r i

M i i i =++=εβ

()

7 )()(1

22221

21

1

1

2211∑∑∑∑∑=====+==

++=++=+++=N

i i i M N

i i i P p p

M p p p N

i N

i i

i N

i M i i i i N

N p x x r r x r x a x r x r x r x r εσσβσαεβαεβ

同样，用22)(M i i x σβ∑来度量组合P 的系统风险，用∑)(22i i x εσ表示组合P

的非系统风险。

可以验证，分散化投资可降低非系统风险。记所有）

（i εσ2的上限为2σ，即i ?，有22)(σεσ≤i ，将资金以相同的权数分散到N 种证券上，每种证券的投资权重均为

N

1

，则有： ∑

∑∑==

≤

==N

i i i P N

N N N 1

222

22

222

11

)(1)(1)(σσεσεσεσ 当N ∞→时，0)(2→p εσ也就是组合的分散程度越高，N 越大，则非系统风险也越小。（由此可说明投资基金的积极意义）

在所有的证券组合中，有效组合P 表示无风险组合和市场组合(CML 上的组

合)，有F M F p r r x r x r ,)1(11-+=表示无风险收益率，M r 为市场组合收益率。对应单指数模型的形式有：0=p ε。

又∵这是一个线性关系，有1.=M P ρ，且)1(1x -=β,因而P 的总体风险222)1(M

p x σσ-=，非()02=p εσ,即组合的非系统风

险消失了。