直角三角形存在性问题

北辰教育学科教师辅导学案

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学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型C-直角三角形存在性问题

授课日期及时段

教学内容

一线三等角：

一、一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

二、一线三等角的应用

1、应用的三种情况

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题

b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造此模型

c.图形中只有直线上的一个角，补上“二等角”构造此模型

2、构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

例1：如图，Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO=1： 2，若点A （x 0 ，y 0 ）的坐标x 0 ，y 0 满足y 0 =1

x 0 ，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为。

知识结构

、如图，已知点

A （0，1），

B （4，3）在直线y =1

2x +1上，P 是x 轴上一点，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标为。

2、如图，已知A （1，0），B （0，3），P 是直线x=2上一点，若△ABP 是以AB 为斜边的直角三角形，则点P 的坐标为。

例2、如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，点A ，B 的坐标分别为（2，0），（0，1），把Rt △AOB 沿着AB 对折得到Rt △AO ′B ，则点O ′的坐标为

我来试一试！

1、如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图像交坐标轴于A ，B 两点，其中A （-4,0）B （0,3），

（1）求直线AB 的解析式；

（2）点C 的坐标为（5,2

m -），连接AC ，BC ，若∠ACB=90o ，则m 的值为___________。

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两邻边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为（5，2），D 是点A 右侧的x 轴上一点，E 是y 轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t ．连接BD ，BE ，DE ，当△BDE 是直角三角形时，求t 的值。

我来试一试！

【考题回顾】

1、如图1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF=a cm。点P从A 点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动。连接PE，设点P运动的时间为t s，△PAE的面积为y cm2。当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示。连接PF，交CD于点H。

（1）t的取值范围为_____ ，AE=_____cm。

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连接AM。当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t。

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动。如果P，Q两

cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动。连接PQ，QH。若a=4

请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由。

直角三角形存在性

直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算

例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0

例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比.

初三数学三角形存在性问题

1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．知识点一（等腰三角形的存在性问题）【知识梳理】如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．【例题精讲】例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以 25 6 OP=．此时点P的坐标为 25 (,0) 6 ．图1-2 图1-3 图1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）． DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42． ①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP． ②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）． ③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5 【课堂练习】 1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

中考数学专题16 函数动点问题中三角形存在性(解析版)

专题16 函数动点问题中三角形存在性模型一、等腰三角形存在性问题以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解. 模型二、直角三角形存在性问题以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”. 【例1】（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3 2 x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q. （1）求抛物线的解析式；（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），将点（0，－2）代入上式，得：a=1 2 ，即抛物线的解析式为：y=1 2 x2－ 3 2 x－2；（2）由y=1 2 x2－ 3 2 x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC 由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1 2 x－2，设P（m，1 2 m2－ 3 2 m－2），则Q(m， 1 2 m－2)，过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，

∴ CQ QM BC AB = ,4 m =， ∴CQ , PQ =－12m 2+2m , PC ①当CQ =PQ 时， =－1 2 m 2+2m ，解得：m =0（舍）或m =4； ②当CQ =PC 时， = m =0（舍）或m =2或m =4（舍）； ③当PQ =PC 时，－12m 2+2m = m =0（舍）或m =32；综上所述，存在点P ，使△CPQ 是等腰三角形，点P 的横坐标为：42或3 2 . 【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L ：y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，已知点B (3,0)，抛物线的对称轴为x =1. （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），求h 的取值范围；（3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P 的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】见解析.

三角形存在性问题

二次函数中三角形问题(复习补充) 1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0 ， 3 ）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；二次函数式为y=-x2+2x+3；（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；y=-x2-2x+3；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，抛物线y=ax2 +bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；y=x2+2x-3；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．备用图 ①当A为直角顶点时∴点M的坐标为（0，）。 ②当D为直角顶点时∴点M的坐标为（0，） ③当M为直角顶点时，∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。4、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为．三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+．图1-2 图1-3 图1-4

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

直角三角形存在性问题解决方法汇总

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：【构造三垂直】 01问题与方法

C3、C4求法相同，以C3为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1：【解析法】还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，可得：kAC=-2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为（1.5,0），即C1坐标为（1.5,0）．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上

方法小结几何法：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解． 02从等腰直角说起再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2019兰州中考删减【等腰直角存在性——三垂直构造全等】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

二次函数中的动点问题三角形的存在性问题一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程ax2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式 b 24ac二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞ 0与 x 轴交点方程有的实数根 △＜ 0与 x 轴交点实数根 △＝ 0与 x 轴交点方程有的实数根 3、抛物线上有两个点为A（x ， y）， B（ x ， y） 12 (1) 对称轴是直线x x 1 x2Q 2 (2) 两点之间距离公式：已知两点 P x1 , y1,Q x2 ,y2 ，P G ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2O 则由勾股定理可得：PQ 练一练：已知 A（ 0， 5）和 B（－ 2， 3），则 AB＝。 4、常见考察形式 1）已知 A（ 1,0 ）， B（ 0， 2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C，使△ ABC是等腰三角形；总结：两圆一线方法规律 :平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知 A（ -2,0 ）， B（ 1， 3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C，使△ ABC是直角三角形；总结：两线一圆方法规律 {平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（ 1）直接用面积公式计算；（ 2）割补法；（ 3）铅垂高法；如图，过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， A铅垂高外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽” （ a），中间的C h 这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高” （ h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：B 水平宽1 S△ABC =2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。a 6、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（ 1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算

等腰直角三角形存在性(通用版)(含答案)

等腰直角三角形存在性（通用版）试卷简介:考查在动态框架和函数框架下等腰直角三角形存在性的处理原则，调用存在性问题的处理手段，分析定点、动点，从直角入手，确定分类，借助等腰三角形自身的性质或构造弦图模型解决问题。一、单选题(共5道，每道20分) 1.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点 D的坐标为（-1，0），若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为( ) A. B.（-1，3）或（1，2） C.（-1，4）或（1，2） D.（-1，4），（1，2）或（5，-2）答案：C 解题思路：1．解题要点 ①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题． ②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论． ③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式． 2．解题过程由题意得，A（3，0），B（0，3），AO=BO=3．在△ADP中，A，D为定点，P为直线AB上的动点． ①当点A是直角顶点时，在直线AB上不存在点P，使△ADP为等腰直角三角形． ②如图，当点D为直角顶点时，过点D作⊥DA，交直线AB于点．

由∠1=45°可得，为等腰直角三角形，点满足题意．此时，点的坐标为（-1，4）． ③如图，当点P为直角顶点时，过点D作⊥AB于点．易知为等腰直角三角形，点满足题意．过点作轴于点M．易得，OM=1， ∴点的坐标为（1，2）．综上得，点P的坐标为（-1，4）或（1，2）．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性 2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交

2018二次函数与直角三角形存在性问题

二次函数中直角三角形存在性问题 1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1 以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解例一：如图，抛物线()2 230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.

例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习：

2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．

专题：直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题方法提炼： ●找点已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置； ●直角三角形存在性问题探讨 1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论 2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解；例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形（1）求点A、B的坐标；（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO ＝45°．（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

●针对性演练： 1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。（1）求点A的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数和三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交（3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。（二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度，第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度，第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。（三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法（ 1） k1 k21；（2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °）（3）三角形相似；经常利用一线三等角模型（4）勾股定理；当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二次函数的应用：

直角三角形的存在性问题(教案)

直角三角形的存在性问题（教案）学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. y x B A O y x B A O y x B A O （备用图1）（备用图2）提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？三种. （3）分类之后需要做什么？画图. （4）解题有哪些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有个.

等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（ 196,0）解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性

中考数学压轴题一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴在x轴或平行于x轴：x右-x左在y轴或平行于y轴：y上-y下（2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C）由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）分三种情况列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点（2）画图，作圆法，垂直平分线法（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．代数法：几何法：例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC 的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长．只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析

_ Q _ G _ P _ O 二次函数中的动点问题三角形的存在性问题一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=? 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0 与x 轴交点方程有的实数根 △ ＜ 0 与x 轴交点实数根 △ ＝ 0 与x 轴交点方程有的实数根 3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2 x 2 1x x += (2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：2 21221)()(y y x x PQ -+-= 练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝。 4、常见考察形式 1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S △ABC =1 2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 6、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算 B C 铅垂高水平宽 h a A

等腰三角形存在性问题(带答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？

类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）

（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个． 8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．