高三数学微专题深度分析系列07 圆锥曲线中的弦切角定理(pdf版)
微专题深度分析系列07
———圆锥曲线中的弦切角定理
(2016年重庆一中高二下周考文数20)已知椭圆22
221,(0)x y a b a b
+=>>经过点(1,1)P ,O 为椭圆中心,A 为椭圆右顶点,直
线PO 交椭圆于另一交点B ,且满足0,2PA PB PB PA ?==. (1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上存在两点,C D (异于,A B )，使(
)0PC PD OA PC
PD
+
?=,试问是否存在R λ∈,使得AB CD λ=,并说明理由.
参考答案：(1) OPA 为等腰直角三角形,2a ∴=,又椭圆经过点(1,1)P ,2
43b ∴=,所以椭圆方程为
22
3 1.44
x y += (2)假设存在λ,使得AB CD λ=,事实上,(
)0PC PD OA PC
PD
+
?=,CPD ∴∠的平分线垂直于OA ,则PC PD k k =-,设直线
PC 的方程为1(1),y k x -=-代入椭圆方程得, 2222361321,3131k k k k x y k k ----+==++,即2222
361321
(,)3131
k k k k C k k ----+++.同理2222361321
(,)3131
k k k k D k k +--++++,13C D CD C D y y k x x -∴==-,而(2,0)A ,(1,1)B --,13AB
k =,//CD AB ∴. 故存在R λ∈,使得AB CD λ=.
（推广与引申）已知椭圆22
221,(0)x y a b a b
+=>>上的点00(,)A x y ,过点A 作斜率互为相反数的直线12,l l 与椭圆交于两
点,B C ，则直线BC 的斜率与点A 处切线的斜率互为相反数
法一（韦达定理）：设直线AB 的斜率为k ，点1122(,),(,)B x y C x y ，则其方程为00()y y k x x -=-，代入椭圆可得：
2
2
2
2
2
2
2
22
0000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=，则有2222
0012220
()()a y kx a b x b a k x --=
+， 又直线AC 的斜率为k -，同理：2222
002222
()()a y kx a b x b a k x +-=+， 2222
22001210201202220
2()
()()(2)()k a y b x a b y y k x x k x x k x x x b a k x ---=-+-=+-=+
20012122221204()BC a kx y y y x x k x x b a k x ---=?==-+2222
220
022202()()k a y b x a b b a k x --+22202
00()4b a k x a kx y +?- 22222222222222
222222200000000022
200000
,()22b x a b a y b x b x a y a y b x b x a y a b a x y a x y a y +-++-===+=
法二（点差法）：设点1122(,),(,)B x y C x y ，则有：22222
0001112222201()1,1()
AB x y b x x x y k a b a b a y y ++=+=?=-+，
同理可得：202202()()AC
b x x k a y y +=-+，212212()
()
BC b x x k a y y +=-+，因为0AB AC k k +=?
01020201001221012012()()()()02()()0x x y y x x y y x y x y x y y x x x y y +++++=?++++++=……①
又因0101AB y y k x x -=
-，0
2
02
0AB AB AC y y k k k x x -=?+=-?01020201()()()()0x x y y x x y y --+--=0012210120122()()0x y x y x y y x x x y y ?++-+-+=……②
由①-②可得：012012012120
2()2()0x x x y x x x y y y y y ++++=?=-+220
1222120()()BC b x b x x k a y y a y +?=-=+
背景分析：注意到椭圆在点A 处的切线为
00221x x y y
a b
+=，故其斜率恰好为点A 处切线斜率的相反数.
直线BC 的斜率与在点A 处的切线的斜率怎么会互为相反数呢？由于直线
,AB AC 的斜率始终互为相反数，当直线AB 按照顺时针方向运动时，点C 与
点A 逐渐靠近，
以至于直线AC 逐渐变为椭圆在点A 处的切线，此时直线BC 恰好与AB 重合，则在极限位置时，直线BC 的斜率与在点A 处切线的斜率互为相反数。
不妨设,ay x x y b ''==，则有2222222
222211x y x y x y a a b a a
''''+=?+=?+=，则有点000
0(,)(,)A x y A x y '''?； 点A 在椭圆上22
22000
00
0222211(,)x y x y A x y a b a a
'''''?+=?+=?在圆222x y a ''+=上(伸缩变换)，同理可得：1111(,)(,)B x y B x y '''?；222
2(,)(,)C x y C x y '''?，1122(,),(,)B x y C x y ''''''在圆2
2
2
x y a ''+=上，则有：010
1010
1()()AB A B y y b y y b k k x x a x x a ''''--=
==?
''--,00AC A C BC B C AC AB A C A B b b
k k k k k k k k a a
''''''''=
=+=?+=，椭圆的长轴变换为圆的直径，过点A '作圆的切线A G '',如图所示，则有,A B C C A G A E F A F E ''''''''''''
∠=∠∠=∠+1=+2A B C C A G ''''''?∠∠∠∠1=2?∠∠，建立坐标系如图，则有0B C A G k k ''''+=，故有椭圆中，直线BC 的斜率与
点A 处切线的斜率的相反数.
由此可得，过椭圆22
221x y a b
+=上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角，
0,AB AC k k +=0,2121BC AN k k ADE AED CMN ANM CMN ANM +=?∠=∠∠=?∠+∠=∠+∠?∠=∠，故
有过椭圆上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角。由椭圆的推导过程可知，过点
双曲线22
221x y a b
-=上的一点A 作斜率互为相反数的直线12,l l 与双曲线
交于两点,B C ,则直线BC 的斜率与点A 处切线的斜率也互为相反数
设双曲线22
221x y a b -=上的点1122(,),(,)B x y C x y ，则有：
222
220001112
2
2
2
201()1,1()
AB x y b x x x y k a b a b a y y +-=-=?=+， 同理可得：202202()()AC
b x x k a y y +=+，212212()()
BC b x x k a y y +=+，因为0AB AC k k +=?01020201001221012012()()()()02()()0x x y y x x y y x y x y x y y x x x y y +++++=?++++++=……①
又因0101AB y y k x x -=
-，0
2
02
0AB AB AC y y k k k x x -=?+=-?01020201()()()()0x x y y x x y y --+--=0012210120122()()0x y x y x y y x x x y y ?++-+-+=……②
由①-②可得：012012012120
2()2()0x x x y x x x y y y y y ++++=?
=-+2201222120()
()BC b x b x x k a y y a y +?==-+ 设抛物线2
2y px =上的点1122(,),(,)B x y C x y ，则有：2
2
001101
22,2AB p
y px y px k y y ==?=
+，
同理可得：022AC p k y y =
+，122BC p k y y =+，因为0AB AC k k +=?12020y y y ++=120
2BC p p
k y y y ?=
=-+ 由以上可知：过圆锥曲线上一点做A 作斜率互为相反数的直线12,l l 与圆锥曲线交于两点,B C ,则直线BC 的斜率与点A 处切线的斜率互为相反数；过圆锥曲线上一点A 作两条斜率互为相反数的直线，则弦切角等于其所夹弧对应的圆周角。
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
弦切角定理及其推论
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
弦切角定理试题
C B O A D C E O A B D 弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ . 3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______. 4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________. 2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ? ，则DBE D的大小为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° 7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125° 8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ） A.2 B.3 C.23 D.4 9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350 ，那么∠ACP 等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125 6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ） A. 300 B. 450 C. 500 D. 600 11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若 ∠ABD=440，∠AED=1000 ，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ） A.780 B.920 C.560 D. 1450 C B A D C B A D P O C B D E O A F B P C O A C B D A P O A E B C O D
弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法 弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。 而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。 连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。 由射影定理有ac2=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac2=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc，则有 ∠acd+∠aco=90° = = =∠aco+∠aoc, 所以∠acd=∠aoc， 而∠cba=∠aoc， 得∠acd=∠cba。 另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab， 所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。 2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 ∵∠tcb=90-∠ocb ∵∠boc=180-2∠ocb ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证： 证明：分三种情况： 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部, 过a作直径ad交⊙o于d 那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90 ∴∠cda=∠cab ∴ 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
弦切角定理练习-初三数学
一、填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ． 3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____． 4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 二、选择 5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（） A．62.5°B．55° C．50°D．40° 6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径， 则图中与∠PAB相等的角的个数为（） A．1 个B．2个C．4个D．5个 7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径， MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 A．38°B．52°C．68°D．42° 三、解答 8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°， AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数． 9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于 P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求 ∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长． 2 11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC． 12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证： （1）△ABE为等腰三角形； （2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
中考专题切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 1.切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： （1）PA=PB （2）PO⊥AB,且PO平分AB （3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB C B O A D C B A D P O
P B A O 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ．1 个； B ．2个； C ．4个； D ． 5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
弦切角定理证明
弦切角定理证明 弦切角定理证明弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 编辑本段弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴(弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°, AB=a 求BC长.
怎样证明弦切角
怎样证明弦切角 怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d， 则∠tcb=∠cda ∵∠tcb=90-∠ocd ∵∠boc=180-2∠ocd ∴,∠boc=2∠tcb ∵∠boc=2∠cab ∴∠tcb=∠cab 2 接oboc过o做oe⊥bc 所以∠a=1/2 又因为∠oct=90° ∠oec=90° 所以∠eoc=∠tcb
所以∠tcb=∠a 3 温馨提示 设切点为a切线ab弦ac圆心为o 过a作直径ad连oc 角cab等于90度减角dac 因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac 即可证明角aoc等于二倍的角cab 参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半 4 线段ad与线段ef互相垂直平分。 证明:设ad交ef于点g. 因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b， 又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad， 从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad, 而∠pac+∠dac=∠pad， ∠b+∠bad=∠pda，所以 ∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角
形， 因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad， 从而ad垂直ef， 则∠age=∠agf=90°， 再由∠gaf=∠gae，得到 △eag≌△fag， 从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。 5 圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴ 圆心o在∠bac的外部,
(完整版)弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，
弦切角定理
弦切角定理 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角 ∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧 （2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）
切线长定理 切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O 的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点 P到⊙O的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两 条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．切线长定理推论：圆的外切四边形的两组对边的和相等 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦定理说明： 若弦AB、CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC2=PA·PB（相交弦定理推论） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法 弦切角定理证明方法 (1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知 ∠oca=∠cad。 而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。 (2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。 由射影定理有ac2=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用， ∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac2=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。 连接oa、oc、bc，则有 ∠acd+∠aco=90° =(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc) =(1/2)(2∠aco+∠aoc) =∠aco+(1/2)∠aoc, 所以∠acd=(1/2)∠aoc， 而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)， 得∠acd=∠cba。 另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab， 所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。
2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 ∵∠tcb=90-∠ocb ∵∠boc=180-2∠ocb ∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) ∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心o在∠bac的一边ac上 ∵ac为直径，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵为半圆, ∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部. 过a作直径ad交⊙o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ∴(弦切角定理) (3)圆心o在∠bac的外部,
条据书信 弦切角定理证明
弦切角定理证明 弦切角定理的统一证明 结论：如图1，AB是⊙O的切线，切点为P，弦CD//AB，则 图1 证明：作直径PQ，因为AB是⊙O的切线，切点为P 所以 因为CD//AB 故，从而 已知如图2，图3，图4所示，AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，是弦切角 所夹的弧， 所对的圆周角。 求证： 图2图3图4 证明：作弦PD//AB交⊙O于D，连结AD，则 因为 所以 由于AB是⊙O的切线 所以 从而 于是 是篇二:《弦切角定理及推论》
弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示 一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧 （2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m 所对的 劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+