导体表面电荷分布与表面曲率关系

摘要

从导体表面电场的特征和电荷分布的微观解释导体表面电场的特性出发，我们对孤立带电导体凹凸形尖端的表面电荷与电场分布进行了定性计算及分析。依据该带电导体的等势面与电场线正交的特征，得出了该带电导体尖端处表面电荷与表面电场间的定量关系，而且进行了讨论。对于孤立的带电导体来说，电荷分布规律有以下的结论，其上面电荷的多少与该处表面的曲率有关，导体表面凸出尖端的地方( 曲率较大)，面电荷密度σ较大；表面较平缓的地方( 曲率较小) 电荷密度σ较小；表面凹下去的地方( 曲率小于零) σ更小。本文将进行分析说明：电荷密度分布与曲率成正比只是一个大致的定性的规律，不能简单地根据两处的曲率大小来比较两处的电荷密度的大小。

关键词：带电导体电荷面密度电场分布电荷面密度表面曲率

目录

一、导体表面电荷分布的有关因素 (1)

1电荷分布的微观解释 (1)

2尖端处表面电荷 (1)

3电荷分布与表面曲率关系 (1)

二、导体表面的电场 (4)

1电场分布的描述 (4)

2凸端处的场强 (6)

3凹端处的场强 (7)

三、结论 (8)

参考文献 (9)

一、导体表面电荷分布的有关因素

1电荷分布的微观解释

我们所说的导体带电，通常是指正负电荷中和后会出现多余“净电荷”。若正电荷数量大于负电荷，则中和后，导体就会多余出正的“净电荷”，这些“净电荷”都会带有正的电性，我们也因此判定导体带正电。又根据同种电荷间有库伦力的作用，导体表面相同电性的电荷将会齐向着斥力小的方向运动。此时若导体呈球状，电荷也会自由移动至均匀分布于球体表面，进而形成均匀的对称电场。

但若导体非球状，表面有凸凹时，净电荷依旧向着斥力最小的方向自由移动。但由于凸面的顶端据其他表面最远，会使得此处电荷受其他电荷的斥力最小。因此会吸引大量电荷移向此处，导致电荷分布最集中，随之电场也会最强。反之，凹面距离其余电荷最近，库伦力也最大，因此电荷密度最小，电场也最弱。

2尖端处表面电荷

总静电荷不为零且与其他物体距离足够远的孤立带电导如果带有电荷Q，当自由电子不做自由运动达到静电平衡时有：（1）导体电场强度为零（2）导体部电荷密度为零，电荷只能在导体表面分布;(3) 在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比，可在导体外紧靠表面处人去一点做高斯面，有高斯定理知电场强度大小为E=，而导体表面的电荷密度是。大致来说，当曲率半径ρ> 0 时，任意形状的孤立带电导体外表面，向外突出的地方电荷较密，场强也大。在突出部位较平坦的地方电荷很疏，场强也小；当某处场强>击穿场强时，就发生常见的尖端放电现象。

3电荷分布与表面曲率关系

椭球面的代数方程式是比较简单的，当椭球的三个半轴相等时，它的方程式就变成圆的方程。现有一椭圆，使该椭圆绕短（长）轴旋转而得到的椭球就相当于一根细长棒。长棒两端曲率很大，中间曲率较小，因此用这种导体研究表面曲率与电荷分布是能说明问题的，无论它是什么形状的带电导体，除了外界环境，

导体部各处场强大小等于零是判断导体电荷是否平衡分布的唯一条件。

假设我们考虑的是一个绕轴旋转的椭球体，它的两个焦点分别为01和O2 ，椭球表面的电荷分布使椭球部任一点的场强矢量和为零。一般来说，这种现象是导体表面电荷产生的场强相互抵消的结果。但是，对于焦点O1 和O2 ，这种抵消是一对一成立的。过椭球的焦点O1 作一个较小的立体角，它在椭球表面上切出两块表面d s 和d s2 ,通过严格的理论证明, d s上的电荷在焦点O1 处产生的场强与d s2 上的电荷在O1处产生的场强恰恰相互抵消，所以，整个椭球表面上的电荷在O1产生的场强之和为零，根据这一规律，就可以找到带电导体表面电荷分布的一些规律。

图1 旋转椭球焦点场强分布

如图1，设d s1 处电荷密度为σ1 ，离O1 的距离为r 1，即d s 上的带电量为d q1 =σ1d s，这些电荷在O1 处产生的场强 d 为：d＝

注意，d s = d s′/ c o s α1 , 是与该处表面法线间的夹角。d s′= d，d是d s 对O1 的立体角。

因此：d＝

同理，d s2 上的电荷在O1 处产生的场强也可以用同样的方法求出。d s2 对O1 的立体角也是d Ω1 。

同理：d＝

其中是d上的法线与之间的夹角，因为在焦点上是对应的电荷产生的场进行抵消，所以d E1 = d E2 ，进而得到/ = ，这也就是说σ∝c o s α,这就是椭球表面电荷分布的具体规律，依据以焦点为原点的椭圆方程：

r=( P是焦点参数, ε是偏心率)

可以求出r 、φ处的cosα,为：=

由次我们可以求出导体上任意两点( 即φ1 和φ2) 的表面电荷密度之比。如:

1) 在最平的一点B，=-=-

=

根据以上讨论得密度比为：=

2）在椭圆最尖锐的一端A ，φA = 0 , c o s αA = 1

3 ) 在A与B之间的其它的点，其中cosα值是介于与之间的，我们假设椭球长轴逐渐变长，当ε很接近于1 时，焦点O1 、O2 逐渐到达椭球两端，椭球上很大一部分面积的，因而cosα≈0 ，所以电荷集中分布在椭球两长轴末尾的尖端这一很小的区域，长椭球中间部位多地方的电荷分布几乎为零。

首先对导体表面面电荷率和表面曲率的关系进行定性分析，如图1、我们可以简单的知道，表面曲率小的地方，α角大，cosα值小；表面曲率大的地方，α角小，cosα值大。所以可知曲率大的地方的电荷密度大于曲率小的地方的电荷密度，这个说法是正确的，但应该想到，这并不是一个一般的结论，我们可以来进行下面的分析。

由数学学过的知识可知平面曲线的曲率为：k==

其中dl是曲线（该题目中即为椭圆）上的一段弧长，通过计算可得，k与cos α的关系并部确定，影响它的因素有多个，所以电荷密度与K也不是一一对的的，与曲率并不成简单的正比关系，可推测它们二者之间的关系是一个很复杂的函数。通过这样分析，就可以得到结论，用细导线连接两个导体球面而得到的可以看成一个孤立导体的模型中，电荷密度σ与曲率K 成正比的结论并不一定。

进一步分析，任意一个曲面上某一点有两个曲率值。比如旋转椭球上短轴上的B 点，在椭球旋转方向上有一个曲率，在椭圆形的平面上还有一个曲率，我们的“电荷密度与半径成反比，即与曲率成正比”这句话到底是指旋转方向的曲率还是表面曲率？当出现一个方向的曲率很小，另一个方向的曲率又很大的情况时，电荷又将怎么分布呢？

图2 旋转椭球面电荷分布图3 旋转椭球面电荷分布

二、导体表面的电场

1电场分布的描述

图4 等势面

现在孤立导体外部空间电场中，取一等势面元s，s面上的两个主曲率半径分别为和，再沿着s面的法线方向外移一段线元dz，即得到另一个等势面的面元（s+ds），如图4 所示：由于两层面元之间不存在电荷，可由高斯定理得：d ( E·S) = 0 ，

所以Ed S + S d E = 0

整理得：= - (1)

由此可见导体表面场强大小与此处面积的相对变化率变化方向相反，但绝对值相等，随着Z值的逐渐变大，，离导体表面越远的地方，场强越

小。如图由几何关系可知：

(2)

联立两式并把高阶无穷小项略去，得到：

dS=()dzd d (3)

同除以S得：=dz=(+)dz dz (4)

联立( 1) ( 4) 式得：

或= E (5)

可知，电场在此处的相对变化率与该处等势面的曲率半径成反比。

当导体表面为平面时，ρ→∞；在凹面外，ρ< 0，，即沿Z 方向, E 越来越大，场强增大，凹面处的E 最小。在凸面外，ρ> 0，即沿Z 方向，E 越来越小，且ρ越小，场强变小的速度越快，凸处尖端电场强度E 最大。

图5 凸端场强图6 凹端处场强

2凸端处的场强

如图5 所示，以凸处尖端的棱角处为原点，取电场线线方向为Z轴。在Z 轴上A，与原点相距为Z，设A处等势面的曲率半径为ρ，将其在原点处以曲率半径展开，得泰勒级数如下。

即：+（+…，=0。

且略去上式高次项，整理上式得：，把Z代入( 5) 式，

有：·

因为凸处尖端外部曲率半径ρ增大，所以式中。设点A 处场强为，凸处尖端0 点场强为，

则有：=·

-=-·-

要使上式等号成立，其中的值有限，则→∞，可得→∞，这样的话在此处可出现尖端放电这种现象。

导体尖端附近电荷面密度与是成正比，这里r表示导体表面上的任意一点到尖端的距离，v 是一个与锥角β有关的变量，如图4。

现假设β= 10 °时，v ≈0.2 ；β= 1 °时，v = 0 . 1 …。以此类推，我们可得到，当导体尖端锥角很小时，v →0，σ∝，这时，电荷面密度与曲率成反比，因为当r 足够小时，任何尖端都趋于圆弧，所以以上公式不能用于离尖顶太

近的地方，理论上说，r = 0 处σ→∞，这实际上是不可能的。由此可知，电荷面密度和表面曲率的并不是成正比这种简单的关系。

3凹端处的场强

如图6 所示，设·，因为曲率半径是负的，而凹处外部逐渐增大，所以其变化率仍小于零，，所以有：-=-·-。要使等式成立，其中可知为有限值，所以=一定是0，即凹处= 0，因此，场强最小。

现看一个比较复杂形状的导体，进行进一步考察，例如图5 的“元宝”导体，显然在凹陷的区域有些地方的曲率很大，但是电荷密度不会很大。

图5 图6

三、结论

从以上论述中，可得:电荷在导体上的分布是非常不均，难以测量的，由以上

论证也只可得到电荷密度与表面曲率有着正相关的定性关系，但是还不能证明电荷密度的大小由各处表面曲率决定。

参考文献

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[9] 盂. 关于曲率与面电荷分布问题[J]. 大学学报(自然科学版). 1986(04)

Abstract

From the perspective of the peculiarities of power field of the conductor surface and micro explanation of the distribution of the electric charge , we make a qualitative calculation and analysis of the distribution of electric charge and power field of the isolated electric conductor’s concavo-convex pointed surface.According to the peculiarities of the perpendicular of equipotential surface and the electric field of the electric conductor,we can conclude the quantitative determination bears of the electric charge and power field of conductor’s pointed surface and have a discussion.To isolated electric conductor,electric charge has the flowing conclusion of its distribution law:the quantity of the electric charge has relation with its surface curvature ,the curvature of the conductor’s concavo-convex pointed surface is relatively bigger,the surface electric charge density ? is bigger;the surface more mild,the curvature smaller,the electric density ? smaller;the sunken surface curvature is less than zero,,

? is the smallest.This thesis will analysis that the law of the distribution of electric charge density and curvature is direct ratio relation is relative,we cannot compare the quantity of curvature and electric charge density of these two places so uncomplicated.

Key words:electric conductor,electric charge surface density,electric field distribution,suface curvature