现代光学三维测量原理

现代光学三维测量原理

第1章光学三维测量基础知识

光学三维测量就是指用光学原理来采集物体表面三维空间信息的方法和技术，与传统的接触式测量相比，它非接触式的。近二十年来，随着光学技术、数字摄像技术及计算机技术的迅速发展，光学三维测量技术也获得了极大的发展，新的理论与方法不断被发现和开发，逐步解决了许多过去阻碍实际应用的问题。在1994年的国际光学学会的以信息光学的年会上，首次将光学三维测量列为信息光学前沿七个主要领域和方向之一。

1.1 光学测量的基本概念

1)光学测量——就是利用光学图像进行的测量，通过图像处理分析对目标的位置、尺

寸、形状和目标间的相互关系等参数进行测量。

2)摄影测量——通常不包括利用特殊的光学手段、如全息干涉、栅格线法等进行的光

学测量。用航空或卫星照片进行的大地测量则习惯上称为摄影测量。近景摄影测量

通常指对几十厘米到几十米距离物体的摄影测量，通常也属三维测量的范畴。

3)光学三维测量——利用光学手段和图像处理分析方法并运用计算机图形学的理论

来数字化再现物体的三维形态，在此基础上，从而可获取物体各部分间任意的相互

尺寸关系。

1.2 三维光学测量常用的方法

光学三维测量的基本方法可以分为两大类：被动三维测量和主动三维测量。

被动三维测量采用非结构光照明方式，它根据被测空间点在不同位置所拍摄的像面上的相互匹配关系，来解算空间点的三维坐标。采用双摄像机的系统与人眼双目立体视觉的原理相似，因此，该方法常用于对三维目标的识别、理解，以及位置、形态的分析，即在机器视觉（计算机视觉）领域中广泛应用。

主动三维测量采用结构光照射方式，由于三维面形对结构光场的调制，可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面形数据。这种方法具有较高的测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维测量系统都采用主动三维测量方式。结构光通常采用调制过的扇面激光光源和以白光为光源的投影光栅方式，又分别称为激光法三维测量和投影光栅法三维测量。激光光源具有亮度高、方向性强和单色性好，易于实现调制等优点，所以在三维测量领域得到广泛应用；白光光源的结构光照明方式具有成本低、结构简单的优点，特别在面结构光照明的三维测量中得到越来越多的应用。

1.图像分析法（Image Analysis Methods）

一个物体在两个不同位置上拍摄图像，通过确定物体同一点在不同像面上的相互匹

配关系，来获得物体空间点的三维坐标。由于匹配精度的影响，图像分析法对形状

的描述主要是用形状上的特征点、边界线与特征描述物体的形状，故较难精确地描

述复杂曲面的三维形状。

2.激光三角测量法（Laser Triangulation Methods）

使用激光光源（点扫描或线状）向被测物体表面投射一扇形光面，并与物体变化的

表面相交于形成一条变化起伏的光带，通过与光源成相对位置关系的摄像系统成

像，根据物体、光源与成像系统的三角几何关系并通过像面上像点的相对位置来解

析物体空间点的坐标关系。该方法受环境光影响小、使用灵活、采集数据快等特点

在三维测量中广泛应用，缺点是价格较贵。

3.投影光栅法（Structured Light Methods）

使用光学投射器将一定模式的结构光（光栅等）投射到物体表面，在物体表面形成

由被测物体表面所调制变形的结构光图像，通过与投射光源成相对位置关系的摄像

系统拍摄，并通过图像的处理与解析来得到物体的表面三维形态数据。该方法算法

复杂，操作也较复杂，精度较激光法稍低。

4.工业计算机断层扫描成像法（Industrial Computer Tomograph）

工业计算机断层扫描成像（简称ICT）是对产品实物经过ICT层析扫描后，获得一

系列断面图像切片和数据，这些切片和数据提供了物体截面轮廓及其内部结构的完

整信息。ICT最大的特点是它能测量物体内部截面信息，因而适用任意的形状结构，但测量精度低。

1.3 数字图像的基本知识

1.数字图像的数学表示

图像是指能为视觉系统所感受的一种信息形式，该信息是客观世界反射或透射的某

种辐射能量在空间分布的记录，这些辐射能量可能是X射线、红外线、可见光和

超声波等。图像所记录的内容与辐射源的照度、波长以及物体的反射或投射能力有

关。

一般图像的主要度量特征是光强度和色彩，对于一幅反射的光强图像（又称灰度图

像或黑白图像），可由二维光强函数I (x, y)来表示：

x

y

r

i

=（1.1.1）I?

x

x

y

(

)

,

)

(y

,

,

)

(

其中, x和y是图像的空间坐标，i(x,y)是依赖于光源的入射光照能量分量的入射函

数，r(x,y)是反映物体表面反射特性的反射函数，且0

由于计算机的离散特性，需要将自然界的连续光强图像离散化为数字图像。一幅亮

度图像可离散为像素阵列的方式表示，其行和列表示图像中对应的像素点（picture

element, 简称pixel），如像素(x i, y j) (i=0,1,…,M-1; j=0,1,…,N-1),M和N是图像分

别在x和y两个方向的像素个数，M*N的数值越大，图像被分割成越多的像素，

则称图像的空间分辨率（space resolution）越高；而相应阵列中像素的值一般称做

灰度值(gray level),若将图像的亮度范围均匀分成G个等间隔，则G为灰度的分割

级数或量化级数，G的数值越大，则图像的亮度分辨率（brightness resolustion）越

高。灰度级数通常用二进制的位数k(比特数)表示，即G=2k，k根据A/D转换的位

数常有8，16位等，分别对应256、65536个灰度级数。

1

,11,11,03,11,11

,00,10,10

,0...............

......------N M N N M M I I I I I I I I I

经离散后的数字图像从数学形式上看，就是一个 M *N 的数学矩阵。这幅数字图像的基本特征就可以用 M *N *2k 个状态来描述，也就是M ,N ,k 决定了数字图像占用的存储空间的大小。图像的空间分辨率和亮度分辨率越高，则图像所占用的存储空间也越大，计算机所要对图像进行处理的时间也越长。

2. 数字图像的特征

通过数字图像设备可将一幅自然界的光学图像转换为一幅数字图像。那么一幅数字图像与原自然界景象有什么区别和联系？为了更好地掌握图像的本质和特征，进而通过图像来进行精密测量。这里总结出如下与光学测量有关的数字图像特点：

1) 数字图像是通过成像设备将自然界景象的光强分布函数在空间上离散成像素

点，在光强上离散为灰度等级而形成的。其中景象的几何位置与图像成中心投影关系；灰度级与对应光强成正比关系。因此数字图像在几何位置和光强分布上与自然界存在一定的相似性。

2) 数字图像的数学表示为一数学矩阵，因此对数学矩阵所能做的所有的数学运算

都能用于数字图像。这些运算包括加、减、乘、除、卷积和数学变换，以及各种局域运算、分析等。不同的运算代表着不同的物理意义，根据处理所要达到的目的就可以设计出相应的算法。

3) 数字图像采样具有重建特性。一幅数字图像是由有限的离散像素点组成的，其

采样间隔Δx 、Δy 满足什么样的条件才可以完全重建空间的连续图像？或图像所能反映的空间特性的最小细节或最高频率是多少？这个问题可简单地由著名的奈奎斯特（Nyquist ）采样定律来解决，许多图像和信号处理书籍都有该定理的详细阐述，这里只给出结论。

光强度函数f (x , y )中信号的最高频率是由空间物体包含的最高频率和成像系统调制传递函数(MTF)的截止频率来决定的。设u c 、v c 为两个方向上空间物体包含的最高频率和成像系统MTF 截止频率两者的最小值，则只要采样间隔Δx 和Δy 满足下式的关系，就可能由f (x , y )的采样图像精确重建f (x , y )。

c u x 21

v y 21

由于数字图像采集过程中会不可避免地在多个环节中出现各种噪音，而噪音在理论和实践上是不可能完全滤除的，即理想采样不可能实现，所采集的数字图像不可能完全精确重建现实空间连续图像。

4) 图像光强量化具有非线性效应。即将自然景象的光强变成对应的灰度值。总体

说数字化设备的灰度与光强的转化是线性正比关系的，但由于成像材料的特殊性能，实际的光强——灰度曲线通常不是表现为严格的线性关系，而是表现为如下的指数关系：

α

G?

=

I

K

其中，G是灰度值，I是光强值，α是非线性指数，K是一常数。

灰度与光强曝光曲线如图所示, 在光强的中间区域BC段,灰度与光强有较好

的线性关系。在光强的暗区AB段和极亮区CD段，灰度与光强的关系是非线

性的。在AB段，光强低于或接近光敏门限值，处于曝光不足状态。CD段的

光强处于过饱和状态，将难展现高光区的层次。在实际采图工作中，应尽量使

图像系统工作在灰度——光强曲线的线性区BC段。当工作在非线性区时，可

用数字图像处理的方法对图像进行灰度标定和修正。

5)光学成像系统的几何畸变现象。在实际光学成像系统中，数字图像与自然景象

在几何上很难满足严格的中心投影关系，通常存在一定的几何畸变现象。

综上所述，一幅数字图像是自然景物的光学特性、环境光场、成像系统等各环节的特性的综合表现形式。通过数字图像来提取、恢复自然界景物的特性是数学物理中的一个反问题。由于数字图像生成过程中引入了许多不确定的因素，从而使得该反问题是个不适定的问题，即无法得到严格真实的解。目前还没有一种通用的、一般可解的具体算法，因此对不同的应用对象往往需要研究不同的具体算法。

1.4 数字图像器件及指标

1.数字成像器件

1)CCD（charge coupled device）电荷藕荷器件

阵列CCD成像器件由许多感光单元（photosite）组成，每个感光单元在接收输入光后，会产生一定的电荷转移，因此形成了和输入光强成正比的输出电压。按

芯片几何组织形式不同，CCD成像器件可分为线阵和面阵两种。

线阵CCD中的感光单元排列成一条直线，只能在一个维度方向上接受感光信息，要获得二维图像信息，必须靠场景和成像系统之间的相对运动来实现。各类扫

描仪就是利用线阵CCD和步进电机的移动来实现图像的扫描，在激光测量中也常

用到线阵CCD。

面阵CCD由排列成方型或矩形阵列的感光单元组成，一次曝光可直接得到二维图像，如各种数字成像系统。面阵CCD相应的后续信号处理系统要比线阵CCD

复杂的多，因而成本价格也响应地较高。

CCD成像器件具有灵敏度高、光谱响应宽、线性度好、动态范围大等优点，具体讲就是成像效果好，色彩鲜艳自然、灵敏度高，对于光线要求低等，但CCD

的生产成本高，耗电高是其缺点。目前在中高端成像领域得到广泛应用。

2)CMOS（complementary metal oxide semiconductor）成像器件

CMOS图像传感器是近年来发展起来的一种新型光敏器件技术。与CCD相比，它具有反应快、耗电少、价格低等优点，然而在成像品质方面与CCD还有一定的

差距，随着技术的不断发展，这种差距正在缩小。CMOS在监控等领域广泛应用，中低端数码相机也有采用。

2.数字成像器件的技术指标

1)CCD(CMOS)的成像面积和尺寸(sensing area)

CCD成像面积定义为成像区的宽度与高度的乘积，如6.4mm x 4.8mm。但习

惯上沿用过去摄像管靶面的对角线长度来衡量，如摄像机为2/3，1/2，1/3，

1/4英寸等，数码相机为4/3，1/1.8, 1/2.7英寸等。按惯例1/2 和1/3英寸的

CCD的实际成像面积分别为6.4mm x 4.8mm和4.8mm x 3.6mm。

2)CCD（CMOS）的像素数

CCD的像素数，即图像的最大空间分辨率，由列像素数M 和行像素数N的

乘积决定。

3)感光单元尺寸（pixel size）

感光单元面积是指CCD（CMOS）感光器件上单个感光单元的宽度和高度之

积，其宽度和高度尺寸多为4μm~16μm，常用尺寸如6.7μm x 6.7μm，9.0μm x

9.0μm等，也有宽度和高度不一样的。一般讲，感光单元面积越大，感光的动

态范围也越大。

4)5动态范围(dynamic range)

CCD的动态范围指所能感受到的光强变化范围，一般由CCD单元所能存储的

最大电荷量和自身噪声的最小电荷量之比决定。最大电荷量与有效成像单元的

面积和电路结构有关；而噪音与CCD的电路结构和制造质量有关。一般情况

下，成像单元面积越大，CCD的动态范围越大，所能表现的亮度层次也越丰

富。

5)A/D转换器件的位数

A/D转换即将成像单元中感光产生的电压值进行模拟量到数字量的转换，A/D

转换的位数越高，图像的亮度层次越丰富。通常A/D转换位数k有8，10，14，

16，24，32等, 分别对应2k个灰度级。在一定空间分辨率的条件下，通常CCD

（CMOS）的动态范围越大，A/D转换位数越高，图像的层次越丰富，视觉

效果越好。

6)光学分辨率(optical resolution)和解析（插值）分辨率(interpolated resolution)

数字成像系统的光学分辨率一般指CCD的空间分辨率，即单位长度或面积上

的像素数。而解析分辨率实质对图像进行插值放大处理后的得到的图像分辨

率。这两种分辨率的单位都为dpi (dots per inch)。解析分辨率图像并不能提供

更多的原始图像信息，而仅仅改善了视觉效果。

1.5 摄像镜头及指标

摄像机镜头是成像系统的关键部件之一。由于衍射现象和镜头相差的存在，实际镜头并不是理想的，它的质量直接影响到图像的质量。衡量镜头质量的关键指标是镜头的分辨率，即对空间光学图像细节的分辨能力，使用MTF传递函数可准确描述镜头的成像品质，一般可用单位长度内分辨的黑白线对数来简单判别。从系统上讲，镜头实际上相当于一个低通滤波器，高于镜头MTF截止频率的信号将被滤除，这样就使得空间光学图像中如边缘、小目标等含有高频信号的特征被平滑或丢失。因此为了保证数字图像的质量，必须要合理地选用成像镜头。

对于测量用镜头，镜头的几何畸变像差是影响测量精度的最主要的像差。畸变像差是指成像系统不能使图像与实际景物在全场严格满足针孔成像模型（或中心投影关系），使中心投影射线发生弯曲。畸变像差可分为正畸变和负畸变，即分别对应所说的枕型畸变和桶型畸变。它是由于一对共扼物像面上的放大率不为常数，使得物体和图像

之间失去了相似性而形成的误差。一般摄像机镜头在边缘处会有较大的畸变像差，尤其是短焦距的广角镜头，畸变像差会更大。

1.6 齐次坐标表示法与图形变换

图形的几何变换是计算机图形学的重要内容。图形变换是指对图形的几何信息经过变换后产生新的图形，通常为比例、平移、旋转、对称、错切以及透视投影等。图形变换即可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；也可看作图形不动而坐标系变动，图形在新的坐标系下具有新的坐标值。

计算机中的图形变换一般不采用传统的坐标系，而采用齐次坐标系。齐次坐标技术是从几何学中发展起来的, 它在点、线、面的表示和形体的处理等方面是很有效的工具。采用齐次坐标技术，图形的变换则可以转化为表示图形的点集矩阵与某个变换矩阵进行矩阵相乘这一单一形式，方便计算机的运算，并能很快得到变换后的图形，因而在计算机图形学中得到了广泛的应用。

1. 齐次坐标表示法

所谓齐次坐标就是用n + 1维向量来表示一个n 维向量。我们把在n 维空间的坐标称为正常坐标，在(n + 1)维空间的坐标称为齐次坐标。若二维点[x , y ]在齐次空间点的坐标可看[X , Y , h ]，其中h 是任意非零标量，称比例因子, X = h ·x , Y = h ·y 。从齐次坐标[X , Y , h ]映射到二维空间坐标[x , y ]时，只要用h 来除：x = X /h , y =Y /h 。三维类推。

由于比例因子h 可取任意非零常数，一个空间点的坐标可有无限多个齐次坐标值，即从n 维空间映射到(n + 1)维空间是“一对多”的变换。例如，二维点正常坐标是［5, 3］，它对应的齐次坐标可以是[15, 9, 3], [-30, -18, -6]和[5, 3, 1]等。从(n + 1)维空间映射到n 维空间则是“多对一”的变换。

为了方便起见，通常我们采用h =1时的规格化齐次坐标。如[x , y ]的规格化齐次坐标为[x , y , 1]。

2. 齐次坐标和齐次变换阵的优点

(n + 1)维的齐次坐标表示，其变换矩阵也相应地增加了行数和列数，因而齐次变换阵可以比非齐次变换阵表示更丰富的变换规则，解决了许多非齐次变换阵所不能解决的问题。具体如下：

1) 解决了平移变换矩阵积的问题。可将平移、旋转、缩放三种变换用统一的方式，即

用矩阵乘积的方式表达。即：P 1 = T ·P , P 1为变换后的齐次坐标，P 为变换前的齐次坐标，T 为齐次变换阵。

A. 二维齐次变换矩阵：????

??????=i f c h e b g d a T D 2。 从变换功能上可把T 2D 分为四个子矩阵，其中??

????e b d a 是对图形进行比例、旋

转、对称、错切等变换；[]f c 是对图形进行透视变换；??

????h g 对图形作平移变换；

[]i 是对整体图形做伸缩变换。

B. 三维齐次变换矩阵：?????

???????=444342413433323124232221

141312113a a a a a a a a a a a a a a a a T D 。 其中，子矩阵????

??????333231232221131211a a a a a a a a a 产生比例、旋转、对称、错切等变换；[]434241a a a 产生透视变换；????

??????342414a a a 产生平移变换；[]44a 产生整体比例变换。

2) 可以容易地表示无穷远点。在h = 0时的齐次坐标即表示了一个n 维的无穷远点，

此时，其余n 个分量可取任意值。相比之下，用传统坐标表示无穷远点时，n 个坐标分量中要至少有一个分量为无穷大∞，而计算机中的字长总是有限的，所能表示的数的范围是有限的，要表示无穷大是困难的。

3) 可以表示透视变换。将一组平行线变为交于一点的直线束的变换，称为透视变换。

三维图形常用到透视变换。而传统坐标系却很难表示透视变换。

第2章 光学测量基本理论

三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型。在数字视觉系统中，就是建立摄像机CCD （CMOS ）像面坐标系与参考坐标系之间的关系。根据模型的参数选择，建模方法主要有以下两种：对映函数法和小孔成像变换法。

1. 对映函数法（coodinate mapping ）：完全利用投影变换理论，通过无任何物理意义

的中间参数，将图像坐标系与测量参考坐标系联系起来。对该类数学模型的局部标定就是计算中间参数的过程，且对这些参数无任何约束，只要它们结合在一起能完成正确的三维测量就行。

2. 小孔成像变换法：通过具有明确物理意义的几何结构参数，如光心、焦距、位置以

及方向等，建立图像坐标系与测量参考坐标系的关系。这类方法的模型参数分为摄像机内部参数和摄像机外部参数。摄像机内部参数指摄像机内部的几何和光学特性，而其外部参数是摄像机相对于测量参考坐标系的方位参数。这种模型直观，可根据使用场合以及要求达到的精度不同，建立不同复杂程度的数学模型。

对映函数法我们将在后面章节与摄像系统标定一起讨论，这里我们重点讲第二种建摸方法。

2.1小孔成像模型

理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔成像模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个“针孔”而投影在像平面上，即满足光的直线传播的条件。针孔模型主要由光心（也称投影中心）、成像面和光轴组成，针孔模型的焦距f p 等于光心到像面的距离，物距u 等于光心到物面的距离。如图2- 所示。

由于针孔成像透光量太小，很难在实际中应用。而摄影镜头光通量大，并能清晰聚焦成像，因此实际应用的摄影系统通常是由镜头构成。如图2-2所示，理想的透镜成像满足高斯定律：

v

u f L 111+= 2-1 其中，f L 为镜头的焦距，u 为物距，v 为像距。

在针孔成像中，焦距等于像距，而在透镜成像中，焦距只有在拍摄无限远的情况下才等于像距，所以，透镜焦距与针孔成像所指的焦距不是同一个概念。但是，理想透镜与针孔在成像关系上是一致的，即像点是物点和光心的连线与图像平面上的交点，因此， 可用针孔模型作为摄像机成像模型。通过针孔模型具有明确物理意义的几何结构参数，可建立图像坐标系与测量参考坐标系的关系。

2.2光学测量常用坐标系

图2- 表示三个不同层次的坐标系统：物空间坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系。摄影测量常用坐标系一般采用右手准则来定义，当伸出右手拇指、食指和中指成相互垂直状，拇指指向x 轴，食指指向y 轴，中指则指向为z 轴。在右手坐标系中，以右手大拇指指向旋转轴的正向，其余四指所指的方向为逆时针方向。当物体在坐标系中旋转一角度，逆时针为正，顺时针为负；但物体不动，坐标系旋转时，则相反，以顺时针为正，逆时针为负。

1. 物空间坐标系（O w -x w y w z w ）

它是由用户任意定义的三维空间坐标系，也称世界坐标系或全局坐标系。通常是将被测物体和摄像机作为一个整体来考虑的坐标系。图2- 中（O c -x w ’y w ’z w ’）是以摄像机光心O c 为原点，通过平移物空间坐标系而得到的辅助坐标系。

2. 摄像机坐标系（O c -x c y c z c ）

摄像机坐标系的原点O c 为摄像机光心，z c 轴与摄像机的光轴重合，且取摄影方向为正向。x c 、y c 轴通常与图像物理坐标系X , Y 轴平行，如图2- 所示。其中平面S ’和S 定义为图像的负像和正像位置，分别位于摄像机坐标系的z c = - f 平面和z c = f 平面内，f 为摄象机中心到图像面的垂直距离，成为像片S 的主距。但此主距不同于摄象机镜头的焦距f L 。

在我国，习惯上用第一转角系统来定义摄像机光轴及图像方位的变化，在该转角系统中， 3个角元素φ，ω，κ有严格的定义，如图2- 中所示。φ，ω来描述摄象机光轴在物空间坐标系中的方位，κ描述图像以摄象机光轴的旋转方位。φ为摄像机光轴z c 在平面x w ’ z w ’上的投影z c ’同z w ’之间的夹角；ω为为摄像机光轴z c 同它在平面x w ’ z w ’上的投影z c ’

之间的夹角；κ是图像旋角，定义为y w 轴在图像平面XY 内投影y w ”和Y 轴的夹角。3个角度的正向按右手法则规定为：ω，κ以逆时针为正，φ以顺时针为正。在不同的应用领域中，这三个角度的定义可能不同。

3. 图像坐标系

在摄影测量学中，为了便于像点和对应点空间位置的相互换算，图像坐标系一般建立在正像平面S 中，如图2- 所示。图像坐标系又分为图像像素坐标系(u , v )和图像物理坐标系(X , Y )两种，其定义分别为：

1) 图像像素坐标(u , v )

图像像素坐标系是以图像左上角为原点，以像素为坐标单位的直角坐标系。u , v 分别表示该像素在数字图像中的列数和行数。

2) 图像物理坐标系（X , Y ）

图像物理坐标系是以光轴与像平面的交点为原点，以毫米为单位的直角坐标系。其X 、Y 轴分别与图像像素坐标系的u , v 轴平行。

2.3 坐标系的变换关系与共线方程

在光学三维测量过程中，需要就各坐标系间建立相互转换关系。

1. 物空间坐标系与摄像机坐标系的坐标变换

物空间坐标系中的点的坐标P (x w , y w , z w )到摄像机坐标系的坐标P ’(x c , y c , z w )的转换包含平移和旋转两种转换，用矩阵形式表示为：

T z y x R R R T z y x R z y x w w w w w w c c c +????

??????=+??????????=???????????ωκ 2- 式中：??????????==333231

232221

131211

r r r r r r r r r R R R R ?ωκ为旋转变换阵，其中：??????????-=1000cos sin 0sin cos κκκκκR ，??????????-=ωωωω

ωcos sin 0sin cos 0001

R ，??????????-=????φcos 0sin 010sin 0cos R , ；????

??????=z y x t t t T 为平移变换矩阵。 用齐次坐标表示式2- 为：

?????

???????=??????????????????=????????????11101w w w E w w w T c c c z y x M z y x T R

z y x 2- 式中，M E 为物空间坐标系与摄像机坐标系之间齐次变换阵，它由三个转角φ，ω，κ和三个平移变量t x , t y , t z 共6个参数决定。这6个参数为摄像机外部参数， 也称外方元素， 他们决定摄像机在物空间坐标系中的方位。

2. 图像像素坐标系摄像机坐标系的变换关系

在理想情况下，根据针孔成像的几何结构，将摄像机坐标系下的三维坐标（x c ，y c ，z c ）转换为图像物理坐标系O-XY 下的二维坐标，几个关系如下，如图2- 所示： c c z x f X ?= c

c z y f Y ?= 将上式用齐次坐标表示为：

?????

?????????????????=??????????100010000001c c c c z y x f f Y X z 2- 将图像物理坐标系进一步转化为图像像素坐标系，则图像像素坐标系（u , v ）与图像物理坐标系（X , Y ）变换式为：

x d X u u /0=- y d Y v v /0=-

2-

用齐次坐标表示为： ????

????????????????=??????????1100/100/1100Y X v d u d v u y x 2- 其中，u 0, v 0为图像中心（光轴与图像平面的交点）的坐标， d x 和d y 分别为一个像素在X 和Y 方向上的物理尺寸。

3. 物空间坐标系与图像坐标系的转换（共线方程）

将式2- 与式2- 代入式2- ，11可得到物空间的三维坐标（x w , y w , z w ）和计算机图像的二维坐标（u , v ）的理想模型（即共线方程）为：

z

w w w x w w w x x t z r y r x r t z r y r x r d f d X u u +?+?+?+?+?+??==-3332311312110 z

w w w y w w w y y t z r y r x r t z r y r x r d f d Y v v +?+?+?+?+?+??==-3332312322210 2- 用齐次方程表示为：

?????

????????=????????????????????????????=??????????111000010/00

0/100w w w E I w w w T y x c z y x M M z y x T R v u d f d f v u z 其中，M I 完全由参数f , d x , d y , u 0, v 0决定，这些参数是摄像机的内部参数，称为内元素，它们决定摄像中心与成像面相对位置关系。M E 如前述完全由摄像机外部参数所决定。

根据共线方程，在摄像机内部参数确定的条件下，利用若干个已知物点和相应的像点坐标，就可根据式2- 求解出摄像机的6个外部参数，即摄像机的光心和光轴方位的

信息。

将共线方程写为下列形式：

?????

?????????????????=????????????==??????????111342414332313322212312111w w w w w w c z y x m m m m m m m m m m m z y x M v u z 其中，E I M M M ?=为3 * 4不可逆矩阵，称为投影矩阵。与前面相比，采用投影映

射矩阵使共线方程在表达形式上更加简洁，而且由于矩阵M 确定了空间点坐标与它的图像坐标点的关系，因此可以不再分解求出摄像机内外参数。也就是说矩阵M 本身也代表了摄像机参数，但这些参数不像焦距、光心一样具有具体的物理意义，而是摄像机参数的一种综合表示。故有些文献中称为隐参数。

共线方程是光学（摄影）测量学中最基本、最重要的方程。几乎所有摄影测量的理论方法都是以此为基础的。掌握共线方程的基本原理和方法对光测学习与研究者是十分重要的。

2.4 实际摄像机成像模型

在实际上，摄像机镜头是非理想光学系统，即便是最严格的设计，它还是存在各种误差因素，如透镜像差及加工装配误差等（统称畸变误差）。这样像点、光心和物点在同一直线的小孔模型关系便不存在，这表明实际成像模型并不满足线性关系，而是一种非线性关系。

相比之下，中焦距镜头或中长焦镜头的一般可做到较小的畸变误差，而短焦（广角）镜头会有较大的畸变误差。因此使测量系统有较高的精度，需要用非线性模型对理想模型进行修正。

描述图像点的非线性畸变可用下面的公式：

x x x d d u u X X δδ+-=+=)(0

y y y d d v v Y Y δδ+-=+=)(0 2-

其中，（X , Y ）为针孔模型成像条件下的图像点理想坐标，（X d , Y d ）为图像点实际的坐标。δx 与δy 分别为x 和y 方向上的畸变值，它和图像点的位置有关，一般镜头中心成像区的畸变较小，而成像边沿区域较大。将上式用齐次坐标表示：

????

????????????????--??????????=??????????11001001100/100/1100Y X v d u d v u y x y x δδ 2- 所以，在考虑镜头畸变误差的情况下，实际摄像机成像模型为：

?????

???????????????????????--??????????=??????????11000010000100/100/1100w w w T y

x y x c z y x T R f f v d u d v u z δδ 3- 在实际摄像机成像模型中，摄像机内部参数多出了误差项。误差项和摄像机内部参数往往要通过摄像机标定来确定。

第三章 三维光学测量原理

基于针孔模型的摄像机成像关系，是像点、光心和物点三点共线。对于单个摄像机而言，如果光心和像点位置已知，就可确定物点必然在像点和光心相连的射线上，但是物点在射线上的具体位置无法确定。也就是说，在没有其他附加信息的条件下，仅用单个摄像机是无法确定目标点的三维空间位置的。

3.1 被动三维测量

被动三维测量采用非结构光照明方式，从二个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中，通过相关或匹配来解算物体的三维面形数据，重建物体的三维形态。采用双摄像机的系统与人眼双目立体视觉的原理相似，因此，该方法也称为双相机视差法。该方法常用于对三维目标的识别、理解，以及位置、形态的分析，即在机器视觉（计算机视觉）领域中广泛应用。

在使用两台或多台摄像机的条件下，利用各个摄像机的光心和像点组成的射线都通过空间物点，即各射线应在物点相交的原理就可以对空间物点进行交会定位，简称线线交会。这就是近景摄影测量学中的三角测量法的基本原理。图3- 为多台摄像机对空间物点P 成像的示意图。由此可见物点P 为摄像机光心O i 和相应的像点p i 组成的射线的交点。

设空间点P (x w , y w , z w )由第i 个摄像机拍摄的图像点为p i (u i , v i )，则共线方程可写为方程组：

?????

?????????????????=????????????=??????????111343332312423222114131211w w w i i i i i i i i i i i i w w w i i i ci z y x m m m m m m m m m m m m z y x M v u z 3-1 在上式中分别消去z ci ，可得关于x w , y w , z w 的两个线性方程：

??????--=????????????????------i i i i i i w w w i i

i i i i i i

i i i i i i

i i i i m v m m u m z y x m m v m m u m m v m m u m m v m m u 3424341423

33133322321232

21311131

3-2 对于单个摄像机，由于式3-2表示的方程组为不定方程组，方程只有两个，但未知数却有三个，因此没有唯一解。当两台或两台以上摄像机交会时，方程的个数变为2i （i ≥2），多于未知数的个数，于是该方程组变为超定方程组，因此可用最小二乘法求解确定空间点的坐标。

由于实际摄影系统客观存在各种误差，特别是镜头畸变误差、目标图像提取误差、摄影系统参数求解舍入误差等，使得物点、光心和像点很难严格满足共线条件。因此，这些射线不是严格意义上的相交于一点，而是近似相交于一点。

对于非微观的摄影测量测量系统，镜头的物距远大于像距。在确定由光心和像点组成的射线过程中产生的微小误差，会对空间交会结果带来很大的误差。因此精确地确定摄影系统的系统参数和精确地提取目标对应像点的位置是保证测量精度的关键。 在传统摄影测量学中，将空间被测目标点看作空间三维物体的基元。基元点在理论上可以是物体表面上的任意点，但是一般只能取物体表面的特征点（如多面体顶点等），这些特殊点一般有较明显的图像特征或通过贴标志的方法与周围产生明显的反差，这样

就比较容易从在不同角度摄像机拍摄的图像中找出相同点的对应关系。若物体需要定位的点很多，则在图像中较难使每个点都能找到一一对应的关系，通常需要借助如遗传算法等算法的帮助。

3.2 主动三维测量

主动三维测量采用结构光投射方式，投影器向被测物体表面投射结构照明光，接收器接收由被测三维表面返回的光信号，由于三维面形对结构光产生空间或时间调制，因此从接收到的光信号中就可以得到物体的三维面形数据。相比于被动三维测量方法，主动三维测量方法通常具有较高的数据密度和测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维测量系统都采用这种方式。

结构光光源一般采用激光光源和普通白光光源。由于激光光源具有亮度高、方向性强和单色性好，易于实现调制等优点，所以在三维测量领域得到广泛应用；白光光源的结构光照明方式具有成本低、结构简单的优点，特别在面结构光照明的三维测量中得到越来越多的应用。

根据三维面形对结构照明光场调制方式的不同，人们将主动三维测量方法分为时间调制和空间调制两大类。

时间调制法是基于三维面形对结构照明光束产生的时间调制，光源通常为激光，又称激光测距，如图3- 所示。根据测距原理不同又分为脉冲激光测距和激光相位测距。

脉冲激光测距是发射器将一个激光脉冲信号发出，经物体表面反射后，沿几乎相同的路径反向传递回到接收器，检测光脉冲从出发到接收之间的时间延迟，就可以计算出光发射点到光在物体表面反射点的距离。这种方法很原理简单，但是要得到较高的距离测量精度，对信号处理系统的时间分辨率有极高的要求。激光相位测距则采用单一频率调制的激光束，然后比较发射光束和接收光束之间的相位，计算出距离，但所测距离一般不能超过其波长的一半。

空间调制法是一种更常用的方法，它是基于三维面形对结构光产生的空间调制。使用结构光的空间调制从原理上也可理解为被动式双像机交会三角测量中的某一个像机用事先约定好的结构投射光来代替，并利用投影系统和成像系统的几何关系来完成三维面形测量的，如图3- 所示。由于三维面形对结构光束产生了空间调制，根据变化图形在接收器CCD位置上的变化，即可计算出三维面形数据。事实上，大多数三维测量仪器都以此为原理，如图3- 所示采用单光束点结构光是最简单的情况。采用片状光束的线结构光是三角测量法的一种扩展。至于采用投影光栅等面结构光的相位测量三维面形解算法（Phase Measuring Profilometry，简称PMP）和傅立叶变换三维面形解算法（Fourier Transform Profilometry, 简称FTP）在光路几何关系方面也属于三角测量法，只不过使用不同的技术方式从观察光场中提取三角计算所需要的几何参数。下面我们主要就第二类空间调制法展开讨论。

3.2.1 三种基本的结构光照明形式

第一种是点结构光，投射器向被测物体表面投射一直线光束并形成一个光点，如图3- 所示。激光具有高亮度和良好的方向性，是理想的点结构光源。点结构光源将光能集中在一个光点上，具有高的信躁比，可以测量较暗的和距离较远的物体。但由于每次只有一个点被测量，为了完成整个面形测量，必须附加二维机械扫描系统来协助完成。

第二种是线结构光，投射器向被测物体表面投射一个片状光束并与物体表面形成亮交线，如图3- 所示。使用线结构光，通常只需附加一维机械扫描系统即可完成完整的

三维面形数据的测量。

第三种是面结构光，投射器投射一个二维图形到被测物体表面，并在物体表面上形成调制图形。使用多个片状光束可构成最简单的多线结构光投影。但最常用的面结构光都是几何光栅投影，主要类型有：条纹光栅、正交光栅、点阵、圆形光条、交叉线、空间编码模板等。根据不同的应用对象，可设计不同的结构光形式。条纹光栅如图3- 所示。

3.2.2 采用激光片光的三维测量

1. 激光片光的形成

在采用线结构光照射的三维测量系统中，投射器投射片状光束，这种光束又称片光或光刀。光刀与被测物体表面相交形成一条剖面轮廓线，接收器CCD 所接收的是这条受到三维面形调制的轮廓线的影像信息，解调影像信息就可以得到该剖面线上各点的三维数据。

产生片光的方法常用的有柱面镜法和球面镜组合的方法， 如图3-所示。

2. 激光片光三角测量原理

3. 在片光平面上以一点o w 为原点，建立测量参考坐标系o w -x w y w z w , 其中光片面位于o w -x w y w 平面。光平面在测量参考系的方程为：

0=w z

将此式代入共线方程（摄像机变换模型），式2- ，和2- ，可得线结构光测量的数学模型：

?????

????????=????????????????????????????=??????????10101000010/000/10

0w w E I w w T y

x c y x M M y x T R v u d f d f v u z 3- 式3- 表明片光平面o w -x w y w 与图像平面坐标o-uv 成点对点的一一透视对应关系。只要已知摄像机坐标系o c -x c y c z c 相对于o w -x w y w 的方位（旋转与平移）参数，就可由坐标值（u , v ）求出（x w , y w ）值，从而得到被测点的空间坐标值（x w , y w , 0）。由此看出，线结构光测量完成光平面内的二维测量。测量坐标系原点o w 为人为设定，因而可方便地求出摄像机的结构参数。

如前所述，采用线结构光的测量系统还需要一维机械扫描的配合才能完成对整个物体面形三维坐标的连续测量。

3.2.3 投影光栅相位测量法

投影光栅相位测量法(Phase Measuring Profilometry, 简称PMP)是一种三维测量方法。这种方法采用正弦光栅投影和相位测量技术相结合，来获取物体的三维面形数据。

3.2.3.1 相位测量法的基本原理

相位测量法也遵循三角测量的基本原理，即投影系统和成像系统的光轴成一定角度

关系， 成像系统可以观察和记录被物体调制的变形投影光栅，并根据变形光栅的相位信息，来解算出物体表面各点相对于参考平面的数据信息。

当一个正弦光栅图形被投影到三维漫反射物体表面时，从成像系统获取的变形光栅像可表示为：

),(),(cos ),(),(),(y x C y x y x B y x A y x I ++=?

或：

)],(),(cos ),1)[,(),(y x y x y x y x A y x I α?γ++=（

式中，I (x , y )是图像坐标系中像点(x , y )的光强（灰度）值，A (x, y )是背景光强，B (x , y )是条纹图的振幅，φ(x , y ）条纹图的相位场，C (x , y )是加性随机噪音，γ(x , y )是调制光强系数（条纹光强对比度），α(x , y )随机噪音与背景光强比值。

相位函数φ(x , y )包含条纹的变形信息，并且与物体的面形高度值h (x , y )有关。相位和三维形状之间的关系取决于系统结构参数。由于变形光栅图与传统光学中干涉条纹图相似，因此变形光栅图有时也被称为“干涉图”。在干涉计量中，光波波长是度量微观起伏的尺度，而PMP 方法中与投影条纹间距有关的“等效波长”可看作为度量三维宏观面形的尺度。

1. 相移法相位计算

从式3- 可知，一幅条纹图的光强灰度信息中包含有多个未知变量，若无附加信息，通常是不可能直接解出φ(x , y ）。相移算法可提供一种精确测定相位φ(x , y )的技术手段。它通过将投影光栅横向移动一个固定的相位值，如移动其条纹周期的1/N 时，条纹图的相位被移动2π/N ，则在原位置(x , y )产生一个新的光强函数I n (x , y )，通过若干次相移，从联立方程中就可解出相位函数φ(x , y )。这种通过对条纹图相位场进行移相来增加若个常量相位而得到多幅条纹图以求解相位场的方法，称为相移法(Phase shifting Methods)。

π/2四步相移（four-bucket technique ）是最常用的相移法。主要是因为90o 相移实现较方便，精度也较高。设四步相移为：φ(x , y )，φ(x , y )+π/2，φ(x , y )+π，φ(x , y )+3π/2，所产生的四个四个条纹光强图为:

)]

,(),(sin ),(1)[,(),()]

,(),(cos ),(1)[,(),()]

,(),(sin ),(1)[,(),()]

,(),(cos ),(1)[,(),(4321y x y x y x y x A y x I y x y x y x y x A y x I y x y x y x y x A y x I y x y x y x y x A y x I α?γα?γα?γα?γ++=+-=+-=++=

解联立方程组可解得相位函数： )]/()arctan[(),(3124I I I I y x --=?

上述公式中分子与分母分别为正弦和余弦函数与背景值的乘积，根据三角函数公式1sin cos 22=+??，对应的调制强度系数可解得：

A I I I I y x 2/])()[(),(2

1231224-+-=γ

通过不同的相位移动，可得到不同的相移条纹图，由此可导出各种不同的相移法公式，但基本都是通过对多幅图的运算，然后用反正切函数得到相位场的主值图，即值在

[-π/2，π/2]的相位场，也称锯齿形相位图。至于采用二步、三步乃至N 步的相移算法可参

考相关文献，这里不再赘述。

相移法是在条纹图处理研究领域中最重要的发展和成果之一，目前已经得到广泛应用。与对条纹图的直接几何测量相比较，相移技术有明显的优点：（1）精度高，相位测量精度可达几十分到几百分之一个条纹周期；（2）对背景、对比度和躁音不敏感；（3）测点与CCD 成像阵列一一对应，所得到的相位值是一个均匀分布的正交网格上点的测值，可与三维面形测量直接发生联系。与其他的相位解算技术相比，它没有相位符号二义性问题，这也是相移法得到广泛应用的重要条件。

2. 相位展开（phase unwrapping ）

由式3- 计算出的相位分布φ(x , y )，被截断在反正切函数的主值范围[-π，π]内，是不连续的。为了从相位函数计算被测物体的高度分布，必须将由于反三角运算引起的截断相位恢复成原来的相位分布，这一过程称为相位展开，也称解包络。相位展开式如下：

π?φ?+-=)(2)1()(i k i i 3-

式中，Ф(j )为展开后的相位，φ(j )为反正切解出的一维截断相位函数，0≤i ≤N-1, i 是抽样点序号，N 是抽样点总数。由上式展开的相位场即恢复了原来的以2π为周期的正弦相位场分布。

相位展开的原理很简单，但实际操作中有很多困难，至今仍是一个没有完全解决的问题。相位展开方法可以分为空域解包和时域解包两大类。空域相位解包法是利用一幅截断相位图来恢复连续相位分布的方法；时域相位解包法则是借助于多幅不同灵敏度的相位图在时间轴上展开相位。

普通的空域相位展开法是沿着一个展开方向比较截断处相邻两个点的相位值，如果差值小于-π，则在后一点的相位值应该加上2π；如果差值大于π，则后一点的相位应该减去2π。此方法可表示为：

)1()()(--=?i i i ??? 3-

??

???-?--=π?π?π?)(1)1()()1()(1)1()(i i k i i k i i k i k 3-

在实际中由于得到的相位数据是一个二维的抽样点阵列，所以相位展开应针对二维进行。可首先沿二维数据阵列中的第一列（或行）进行展开，然后以该列（行）展开后的相位为基准，沿每一行（列）进行相位展开，得到连续分布的二维相位函数。

然而，该方法是一个逐点扫描的积分累加过程，这样会使一点的误差向后继点传播，形成解包过程中常见的“拉线”现象。在是实测得到折叠相位图中，存在有噪音、阴影以及间断点，这些无效点都会使普通的解包方法失败或使误差传播，即使只存在很少的无效点也会影响到整个相位图的解包。

为了控制误差的传播效应，很多新的技术被采用，其中以模板技术为主，这种方法将无效点定位，然后再通过特殊的方法在解包过程中绕过这些点。因为无效点的确定和定位以及绕开这些无效点的算法本身是一个很复杂的问题，这些方法虽然取得了一定的效果，但离最终解决问题还有比较大的差距。

为了避免频域相位解包过程中的出现的问题，H.O.Saldner 和J.M.Huntly 等[ ]提出了时域解包方法。这种方法通过投射一系列不同频率的光栅条纹图像到物体表面，连续拍摄得到的物体表面的光栅投影图像可以认为是一个时间轴上的序列，然后将每点的相位在这个

序列上独立进行解包。这样解包过程是在时间轴上按像素点独立进行，与相邻点不发生关系，误差或错误被限制在各个单独的像素点，不会向其它点传播。

3. 面形空间点坐标计算

在解算出展开后变形条纹场的连续相位分布后, 与参考平面x , y 坐标点条纹相位φ(x , y )相对应的物体面形的三维坐标的计算取决于光学系统的结构参数。投影光栅有远心投射方式和发散投射方式，即光栅为平行光投射，适于精密小物体的测量。对于测量较大面形物体，一般采用白光发散投射方式。

1) 远心光束投射方式

在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周期为P 0。在参考平面上的相位分布Ф(x , y )是x 方向的线性函数，记为：

x P x K y x ?=?=0

2),(πφ 光栅未调制前，物体轮廓D 点所对应的参考平面C 点的相位为：

OC P C ?=0

2πφ 光栅被物体轮廓调制后，D 点的相位与参考平面A 点的相位一致：

OA P D ?=

2πφ 于是： )(2200D C CD P P AC φφπ

φπ-=?= 设D 点z 坐标，即离开参考平面的高度DB , 可得：

πφφλπφφθθθθ22tan tan )tan /(tan '

0'D C e D C D P AC DB z -?=-?+=+== 式中，θ和θ’分别表示光栅投射方向角和观察方向角；)'tan /(tan 0θθλ+=P e 为等效波长，是一个系统参数，一个等效波长恰好等于引起2π相位变化量的高度变化。

相应的D 点x 坐标为：

π

θφθφλθ

2't a n t a n 't a n ?-??=?-=D C e D DB OC x 2) 发散光束投射方式

如图3- 所示，由于投影的光束是发散的，在基准平面上的相位分布已不是等周期的线性分布关系，不能按照式3-来表示，需要建立相位映射算法来处理相位和z 坐标的关系。虽然Ф(x ,y )是x 的非线性函数，但在参考平面上每一点相对于参考点O 的相位值是唯一和单调变化的。根据系统结构参数，可以计算在参考平面上光场的相位分布，建立参考平

面坐标（x , y ）与相位分布Ф(x ,y )之间的映射关系，并以数据表的形式存储在计算机中备用。映射表的建立也可以通过对一基准平面的实测确定。

在光栅图像未被物体面形轮廓调制前，CCD 像机感应到经过D 点的光线的相位就是光线在参考平面C 点的光栅相位ФC 。当光栅图像被面形轮廓调制后，D 点反射光线的相位与光栅未被调制前A 点的相位ФA 是一致的。由于Ф与x 坐标成映射关系，通过查表以及插值的方法可获得A 点和C 点的x 轴坐标值，AC=OC - OA 段的距离可求得。由三角关系可计算出D 点z 坐标：

d

AC d l AC DB z D /1)/(+== 式中，d 和l 是系统的结构参数。相应的D 点的x 坐标值为：

AC d d OC l z OC OC BC OC x D +?=?

-=-= 在大多数实际应用中，AC <

= 综上所述，在采用远心投射和发散投射两种情况下，都可以通过对相位的测量而计算出被测物体的z 方向上离开参考平面的高度值。只是前者的相位差与高度之间存在简单的线性关系，而后一种情况下相位差与高度差的映射关系是非线性的。

4. 产生投射结构光的方法

相位法三维测量的正弦条纹结构光的典型方法有两种，一种是采用激光干涉的方法产生所需的结构光场，另一种是采用白光光源的投影型结构光投射光场。

3.2.4 莫尔纹轮廓测定原理

所谓“莫尔”（Moire ）一词，在法文里是水波纹或云纹花样的意思。200年前法国丝绸工人发现，当薄的两层丝绸重叠在一起并做相对运动时，则形成一种飘动的水波纹花样，当时就把这种有趣的花样叫做莫尔条纹（Moire Fringe ）。这种现象在日常生活中也经常能看到，例如两层窗纱或两层帐子布重叠时，就能看到这种现象。

工程上应用的莫尔条纹（也称云纹），一般是由两块等间距排列的光栅（直线的或曲线的）叠合时产生的。面形轮廓的莫尔测定法是通过一块基准光栅来检测轮廓面上的影栅或像栅，并依据莫尔图案分布规律来推算轮廓面形形状的测量方法。

从基本原理出发，发展了两类不同布局的莫尔装置。一类是光栅照射法[ ]（简称照射型），是将物体光栅和基准光栅合一，测量时观察者透过光栅观察其空间阴影；另一类装置是光栅投影法[ ]，这种方法是将光栅投射到被测物体上，在接收端将空间变形的栅像成像在基准光栅面上以产生莫尔轮廓条纹。

3.2.

4.1 照射型莫尔纹法

照射型莫尔纹法原理如图3- 所示，在待测物体前面放置一块光栅，从点光源S 发出 的光线将基准光栅G 的线纹阴影投射到物体表面，形成变形条纹光栅，再由物体表面反射到基准光栅面上，于是，在适当观察方向上形成了可见的反映物体面形高度信息的莫尔等高线条纹。各序条纹之间所代表的面形的深度Δh 可按几何关系求出。

照射莫尔纹法虽然具有装置简单，使用方便等特点，但要求光栅面积较大，至少应能覆盖待测轮廓面，而且要紧靠它，这是该方法的两个缺点。在测定大物体时，由于光栅制造比较困难，该方法难以实施。

3.2.

4.2 投影型莫尔纹法

如图3- 所示，投射器将基准光栅投影到物体表面上形成变形光栅像，而在接受器上将物体表面反射回来的光栅像成像在一个参考光栅上并与参考光栅相叠加形成反映物体面形信息的摩尔等高条纹图案。参考光栅的节距与基准光栅相匹配，投射镜头与成像镜头同处于与光轴相垂直的平面内。设光栅节距为p ，镜头间距离L 1L 2 = d ，基准物距为l ，像距为a ，光栅与镜头主点的距离为a ，第一条莫尔纹所代表的变形条纹到基准物面的距离为h 1，第n 条莫尔纹所代表的变形条纹到基准物面的距离为h n 。由于ΔA 1BC ∽ΔA 1L 2L 1和ΔBCL 1 ∽ΔB ’C ’L 1，故

)/(/11l h h d BC +=

a p l BC //=

同时 f

a l 111=+ 所以 )()(1f l p f d f l l p h +?-?-??=

又因为ΔA 2BD ∽ΔA 2L 2L 1, 同时BD = 2BC 的关系，可求出第二条摩尔纹到基准物面的距离h 2。所以在一般情况下，可用下式表示第n 条摩尔纹所代表的变形条纹到基准物面的高度为

)

()(f l p n d f f l l p n h n -??-?-???= 相比照射型摩尔纹法，该方法采用较小面积的光栅便可计测较大的物体，投射器和成像系统可做在一起，结构紧凑。

产生莫尔纹的方法有若干种，所产生的莫尔纹图案也有所区别，但是莫尔纹国有的特点是相似的。例如，仅从莫尔纹等高线无法判定物体是凸还是凹，这一点与三角测量法有本质的区别。另外莫尔纹法对高度斜率变化45o 的情况最灵敏，对斜率急剧变化的侧面和变化平缓的顶部分辨率是很低的。因为这些局限性，也限制了莫尔纹法在测量物体的三维轮廓方面的应用。

第四章 数据处理

由于在实际测量过程中受到各种人为或随机因素的影响不可避免地会产生数据误差，使得测量结果包含噪音，尤其是尖锐边和物体边界附近的测量数据，测量数据中的坏点，可能使该点及其周围的曲面片偏离原曲面。同时由于实体几何和测量方式的限制，在数据测量时会存在部分测量盲区和缺口，给后续的三维数据模型生成造成困难。

为了减低或消除噪音对后续建模质量的影响，有必要对测量数据进行各种处理。与传统的接触式测量不同，由投射式光学测量手段所获得的三维数据点在数量上是很大的，通常称为“点云”（Point cloud ）数据。这种点云数据与传统方法所测得的数据在结构上有很大区别，因此处理方式也有所区别。

4.1 “点云“数据的类型

点云是三维空间的数据点的集合，最小的“点云”只包含一个点（称为孤点或奇点，Singular），高密度“点云”可达几百万数据点。为了能有效处理各种形式的点云，根据点云中的点的分布特征（如排列方式、密度等）将点云分为：

1)散乱点云

测量点没有明显的几何分布特征，呈散乱无序状态。随机扫描状态下的“点云”呈散乱状态。

2)扫描线点云

“点云”由一组扫描线组成，扫描线上的所有点位于扫描平面内。激光点沿直线扫描和线结构光的三维测量的数据呈现扫描线特征。

3)网格化点云

“点云”中所有点都参与参数域中一个均匀网络的顶点对应。激光扫描系统、投影光栅测量系统及立体视差法获得的数据经过网络化插值后得到“点云”即为网格化“点云”。

4)多边形点云

测量点分布在一系列平行平面内，用小线段将同一平面内距离最小的若干相邻点依次连接可形成一套有涤套的平面多边形。莫尔等高线测量、工业CT、磁共振成像等系统测量的“点云”呈多边形特征。

在CAD造型过程中，通常的逆向软件都具有将点云显示为多种模型形态的功能，以方便处理，一般有Scatter(点云显示为个别像素)、折线（Polyling, 点之间连接）、扫描线(Scan Line )、网格（Grid）、三角面形(Polygonized)等形态。

在造型之前或过程中，应对点云信息有所了解，点云的信息主要指点云的名称、点之间的距离和角度、点之间的方向等。

4.2“点云“数据的处理

1.数据平滑

滤波处理（Point Filtering）或称平滑滤波（Smoothing Filtering），目的是去除误差或噪音、数据精简和抽取模型的特征信息，多数滤波都是针对扫描线数据，如果数据点是无序的，将影响过滤的结果。数据平滑通常采用标准Gaussian（高斯）、平均（Averaging）或中值（Median）滤波算法。高斯滤波器在指定域内的权重为高斯分布，其平均效果较小，故在滤波的同时能较好地保持原数据的型貌。平均滤波器采样点的值取滤波窗口内各点的统计平均值。而中值滤波器采样点的值取滤波窗口内各数据点的统计中值，这种滤波器消除数据毛刺的效果较好。在实际使用时，可根据点云质量和后序建模要求灵活选用滤波算法。

2.数据精简

对于高密度“点云”，由于存在大量的冗余数据，有时需要按一定要求减少测量点的数量。不同类型的“点云”可采用不同的精简方式，散乱点云可通过随机采样的方法精简；对于扫描线点云和多边形点云可采用等间距缩减、倍率缩减、等量缩减、弦偏差等方法；网格化点云可采用等分布密度法和最小包围区域法进行数据缩减。数据精简只是简单地对原始点云中的点进行删减，不产生新点。

3.数据插扑

三维物体经常存在一些凹陷、孔、槽等阴影区，光学测量手段难以进行完整的测量，这样在造型时就会出现数据“空白”现象，这样的情况使逆向建模变得困难。解决方法是通过数据插补的方法来补齐“空白”处的数据，最大限度获得物体的完整信息，使恢复的