优秀教学设计——《二次根式》

第21章《二次根式》（第1课时）

枣阳市吴店镇清潭中学罗吉华

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的概念，它的两个本质特征：（1）形如a；（2）被开方数a≥0．利

用a≥0求二次根式中被开方数所含字母的取值范围．

2.内容解析

二次根式是在学习整式、分式和实数之后安排的内容．根据解答实际问题的需要，需要引入二次根式．本课时主要学习二次根式的概念，因此是一节概念课．二次根式的概念是本章一个核心概念，它是学习二次根式的性质和运算及一元二次方程的基础．概念“二次根式”的核心是被开方数是非负数，这是学习时应特别注意的．在以后学习二次根式的性质时尤其要注意每一个二次根式的被开方数的取值范围．要注意转化思想的渗透．

根据以上的分析，本节课的教学重点是二次根式的定义．

二、教材解析

本课时的知识结构：实际问题→二次根式模型→形成二次根式定义→求被开方数中字母的取值范围．

为了解决实际问题，引出二次根式，由于学生不知道这种式子，所以要学习它的定义．当学生掌握二次根式的定义后，用它的本质特征解决求字母的取值范围的问题，从而进一步巩固二次根式的定义．

本节课的重点是二次根式的定义，它在本节课中处于核心地位．在教学中要紧紧围绕概念的本质特征展开教学，让学生明确“形式上含二次根号”和“被开方数是非负数”两个条件缺一不可．在教学过程中学生解决实际问题可能出现计算错误问题，为了解决这些问题可以课前让学生复习算术平方根、勾股定理等知识．

教材中的例题旨在巩固二次根式的被开方数必须为非负数这一本质特征，形如a类的式子有意义就是指它是一个二次根式，它从形式上符合，还需要满足

第二个本质特征“被开方数是非负数”．解决本例主要讲问题转化成解不等式，在解不等式时要注意不等式的性质的正确运用．

三、目标和目标解析

1．目标

（1）经历二次根式的概念的形成过程，理解二次根式的定义，能用二次根式的定义识别二次根式；

（2）掌握求二次根式中字母的取值范围的方法，进一步理解二次根式中“被开方数的非负性”．

2．目标解析

达到目标（1）的标志是：学生能建立二次根式模型解决实际问题，并能对一些二次根式观察、比较、概括、归纳形成二次根式的概念．在此基础上能在一些含有根号的式子中找准哪些是二次根式，并能从二次根式定义中的本质特征说明其它含根号的式子不是二次根式的原因．

达到目标（2）的标志是：学生能根据二次根式的本质特征列出不等式求出二次根式中被开方数中的字母的取值范围．进一步明确二次根式中被开方数必须

是非负数这一必要条件．同时渗透转化的数学思想方法．

四、教学问题诊断分析

学生在学习二次根式时往往只会从形式上进行判别一个含根号的式子是否

为二次根式，容易忽视被开方数是非负数这一必要条件．另外在解决实际问题时

学生也有因为勾股定理、开方等知识掌握不熟练导致引入新知耽误时间，也可能

有的学生对不等式相关的知识掌握不牢，造成会列不等式，而解错字母的取值范

围．

因此本节课的难点是利用二次根式的定义求被开方数中字母的取值范围．

五、教学支持条件

为了扫清学生在学习中的障碍，课堂开始前引导学生复习一下实数、勾股定

理的有关知识．为了便于学生观察、比较、概括和归纳形成二次根式的定义，我

使用课件展示，从而让学生顺利发现二次根式的本质特征，从而突出本节的重点．

六、教学过程设计

1.复习回顾，奠定基础

问题1.（1）4的算术平方根是______，3的算术平方根是______,﹣4_______

算术平方根.（填“有”或“没有”）

（2）直角边问3,4的直角三角形的斜边长是_______.

(3)﹣x ≥0的解集是____________.

师生活动：教师展示课件中的复习题，然后生答师评价，引导学生复习学习

本节内容的基础知识.

设计意图：新知都是在旧知识的基础上生成的，为了扫清学生在学习中遇到

的障碍，特设计此环节．

2.创设情境，引入新课

问题2.（1）如图1所示，一个正方形桌面的面积为2平方米，则正方形的

边长是__________米；

（2）如图2塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米；

（3）面积为s 的等腰直角三角形的直角边等于_________；

（4）如果一个圆的面积为10π，则它的半径为_________.

师生活动：学生解答后互相交流，看自己所做的和他人有何区别．教师引导学生得到正确答案（2， 2a 2500 ，s 2 ，10 ）

设计意图：从实际问题中抽象出二次根式，让学生明确学习二次根式是因为

解决实际问题的需要．同时也可以激发学生的兴趣，让学生在解决实际问题中直

面二次根式，然后引出新课．

3.合作交流，探究新知

2 图

1 50米 a 米 ?米图2

※探究点一：二次根式的定义

问题3.以上四个填空的结果有哪些共同特点？

师生活动：教师利用课件将四个式子放在一起，让学生观察思考：这些式子形式上都含有什么符号？（生会很容易发现都含有二次根号）被开方数可以为负数吗？（学生会发现这些式子的被开方数不能是负数）

教师追问：它们的被开方数可以为0吗？（学生会从0有算术平方根出发，指出被开方数可以为0．）它们的被开方数必须是什么数？（有的学生会说出正数和0，有的可以说成非负数．这两种说法都对，教师要予以肯定．）设计意图：让生经历概念的本质特征的探究过程，为下一步归纳二次根式的定义奠定基础．

问题4：这些式子都是二次根式，你知道什么叫做二次根式？

师生活动：教师引导学生用语言叙述二次根式的定义，有的学生可能叙述不完整或不准确，可以让其他学生进行补充，直到将二次根式的定义准确地概括出来．

形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

设计意图：概念教学应注意概念的本质特征的发现过程，每一个核心概念都要经历观察、比较、概括、归纳等环节，这样重视概念的形成过程，体现了新课标所倡导的教学理念——重视知识的形成过程教学.在给概念下定义时一定要描述清概念的本质特征，突出概念的核心．

问题5：下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？

330、4-、a、2x、1-

x-2

师生活动：学生先独立判断分析，然后教师引导学生交流展示．

设计意图：巩固二次根式的定义，及时训练所学的概念，强化概念的内涵：含有二次根号且被开方数为非负数．

※探究点二：求二次根式被开方数中字母的取值范围

问题6：例1：当x是怎样的实数时，式子2-

x在实数范围内有意义？

师生活动：师问：式子2-

x有意义是指有什么意义？

生答：有的学生可能说它表示x-2的算数平方根，有的学生可能说它是一个二次根式．

师追问：什么数才有算数平方根？或二次根式的被开方数必须满足什么条件？

生答：非负数有算术平方根或二次根式的被开方数必须是非负数．

师追问：那么你能列出求x的范围的式子吗？试一试，并求出x的范围．生尝试解答后让个别学生在黑板上展示交流，教师适时指点，强调解题规范．设计意图：通过例题的学习让生掌握确定含二次根号的式子有意义的条件，实质上是对二次根式的概念的深化和强调．同时让学生学会将新知转化为旧知，体会数学的转化思想方法．

在实数范围内有意义．问题7：（1）当x满足__________时，式子4x

（2）使式子4

3--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4

（3）式子32x x 、有意义的条件分别是什么？

师生活动：教师利用课件呈现变式练习题，学生及时训练，教师引导学生交流，形成方法技能.

设计意图：第（1）题旨在让生列出的不等式在解答时不等号方向改变,学生容易出错；第（2）题旨在将二次根式与分式综合，整合两个不同的知识点，训练学生的综合能力；第（3）题不同于例题所列的不等式，需要用乘方的结果的规律来分析出x 的取值范围.

4.总结梳理，内化新知

问题8：本节课你学到了哪些知识？和同学们交流分享.你还有什么疑问？让大家帮你解决！

师生活动：师用课件出示问题，并引导学生交流.然后教师板书此节课的知识框图：

设计意图：通过此环节引导学生梳理本节课所学的新知，将所学知识纳入已有的知识体系，提高学生的归纳总结能力和语言表达能力.

5.分层作业，反馈新知

必做题：教材第5页小练习第1题和第3题；

选做题：教材第5页小练习第2题.

设计意图：正视学生之间存在个体差异，让人人学习必须的数学，同时让不同的人在数学上得到不同的发展.因此布置作业时分两个层次，以适合不同层次的学生的需要.

6.目标检测题设计

（1）下列各式一定是二次根式的是（）.

A. 7-

B. 32m

C. 21a +

a b

设计意图：考查学生对二次根式的概念的掌握情况.

（2）当a 满足__________时，式子a -3在实数范围内有意义.

设计意图：考查学生是否熟练掌握“用列不等式的方法解决二次根式被开方数中的字母的取值范围”的基本技能.

（3）已知y=x -11-x +，求x 、y 的值.

设计意图：

加强对二次根式“被开方数是非负数”这一必要条件的考查，强二次根式 a （a ≥0）实际问题求字母的取值范围抽象应用概括技能

化二次根式的定义，提高学生的综合能力.

（4）当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

① 2a ； ② a

1 ； ③ 2a -. 设计意图：强化对求二次根式中的字母范围的求解方法检测，综合了分式、二次根式等知识，力求提高学生的数学素养.

二次根式与带有二次根式的方程

课题二次根式与带有二次根式的方程一、知识回顾 1、例题二次根式的混合运算例1、计算与化简：113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算（1）1211 2632122 3336 ---- （2）2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> （3）()ab ab a ab a b a ab --÷ -+（其中a>0,b>0，a ≠b ）化简求值化简求值时，一般是要把原式化简到最简，然后再代入求值例2、已知223 a =+，求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、（1）已知，求2232421 x x x x --+- （2）11,5353 a b = =-+，求2 ()a b +的值。

（3）如果11123 a b -=+，32a b -=-，那么a 、b 两数有什么关系？为什么？ 0的形式一般情况下a （0a ≥）当一个式子中含有a a +-或a a --时，则a=0，例3、若x 、y 为实数，已知22448 2 x x y x ---+=-，求3x y - 思维训练3、（1）若x 、y 为实数，且1 12214 y x x =-+-+ ，求；2x y + （2）已知a 、b 是实数，且，解关于x 的方程（3）已知3 303 x y -+-=，求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式，（其中a 、b 、c 为常数）当里面含有二次根式时，一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。例4、化简423+ 思维训练4、化简（1）526+ （2）743-

实验指导-数据结构B教案资料

实验指导-数据结构B

附录综合实验 1、实验目的本课程的目标之一是使得学生学会如何从问题出发，分析数据，构造求解问题的数据结构和算法，培养学生进行较复杂程序设计的能力。本课程实践性较强，为实现课程目标，要求学生完成一定数量的上机实验。从而一方面使得学生加深对课内所学的各种数据的逻辑结构、存储表示和运算的方法等基本内容的理解，学习如何运用所学的数据结构和算法知识解决应用问题的方法；另一方面，在程序设计方法、C语言编程环境以及程序的调试和测试等方面得到必要的训练。 2、实验基本要求： 1）学习使用自顶向下的分析方法，分析问题空间中存在哪些模块，明确这些模块之间的关系。 2）使用结构化的系统设计方法，将系统中存在的各个模块合理组织成层次结构，并明确定义各个结构体。确定模块的主要数据结构和接口。 3）熟练使用C语言环境来实现或重用模块，从而实现系统的层次结构。模块的实现包括结构体的定义和函数的实现。 4）学会利用数据结构所学知识设计结构清晰的算法和程序，并会分析所设计的算法的时间和空间复杂度。 5）所有的算法和实现均使用C语言进行描述，实验结束写出实验报告。

3、实验项目与内容： 1、线性表的基本运算及多项式的算术运算内容：实现顺序表和单链表的基本运算，多项式的加法和乘法算术运算。要求：能够正确演示线性表的查找、插入、删除运算。实现多项式的加法和乘法运算操作。 2、二叉树的基本操作及哈夫曼编码译码系统的实现内容：创建一棵二叉树，实现先序、中序和后序遍历一棵二叉树，计算二叉树结点个数等操作。哈夫曼编码/译码系统。要求：能成功演示二叉树的有关运算，实现哈夫曼编码/译码的功能，运算完毕后能成功释放二叉树所有结点占用的系统内存。 3、图的基本运算及智能交通中的最佳路径选择问题内容：在邻接矩阵和邻接表两种不同存储结构上实现图的基本运算的算法，实现图的深度和宽度优先遍历算法，解决智能交通中的路径选择问题。设有n 个地点，编号为0~n-1，m条路径的起点、终点和代价由用户输入提供，寻找最佳路径方案（例如花费时间最少、路径长度最短、交通费用最小等，任选其一即可）。要求：设计主函数，测试上述运算。 4、各种内排序算法的实现及性能比较内容：验证教材的各种内排序算法。分析各种排序算法的时间复杂度。要求：使用随机数产生器产生较大规模数据集合，运行上述各种排序算法，使用系统时钟测量各算法所需的实际时间，并进行比较。

(二次根式)

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二次根式 ◆知识讲解 1．二次根式 a≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 4．二次根式的性质 2=a（a≥0）； │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ；（a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

◆例题解析例1 填空题：（1-，其中是二次根式的是_________（填序号）．（2 x 的取值范围是_______．（3）实数a ，b ，c a －b │． o 【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7．（3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │ －a ，－│a －b │=a －b a － b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（） A B C （2）在根式1) ，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) （3）已知a>b>0，的值为（） A ．2 B ．2 C D ．1 2 【解答】（1A 错．

04.二次根式全章复习与巩固讲义

二次根式的加减要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点

类型一、二次根式的概念例1.下列各式中，一定是二次根式的有（）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（）. （1）13 ；（2）3-；（3）21x -+；（4）38；（5）21()3-；（6）1x -（1x >）例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题

二次根式知识梳理

《二次根式》知识梳理本章的知识结构框图：一、二次根式的概念 1．代数式)0(≥a a 叫二次根式，a m 也是。 2．二次根式有意义的条件：0≥a 3．训练题型设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）x 231- （2）x 2- （3）122+-x x （4）4 1--x x 二、二次根式的性质 1．性质性质1 ?? ???-==).0(),0(0),0(2a ＜a a a ＞a a 性质2 ()()02≥=a a a 性质3 ()0,0≥≥?=b a b a ab

性质4 ()0,0?≥=b a b a b a 2．训练题型利用二次根式的性质进行计算或化简，例：（1）72，41 （2）()0182≥x x （3）3a （4）()092 ?b a b （5）()23π- （6） () 3,122-=+-x x x 3、常见问题和解决技巧（1）重要公式不理解被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。口诀化方法解决：去帽子，套棍子。（2）化简二次根式不熟练在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。化简顺序：从数字到字母。（3）化去根号内的分母时结果错位解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用再分母有理化三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母（根号内不含分母）（3）分母里不含根号。 “因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型 ()???≤-≥==)0(02a a a a a a x x x x 222=x x x x x 22=x x x x x x 22222?=?=x x x =2=?=x 2x x 2x

中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析

中考数学一轮复习提高题专题复习二次根式练习题附解析一、选择题 1．下列计算正确的是（） A ．235+= B ．422-= C ．8＝42 D ．236?= 2．下列计算正确的是（） A ．2+3=5 B ．8=42 C ．32﹣2=3 D ．23?=6 3．下列二次根式中，最简二次根式是（） A ． 1.5 B ． 13 C ．10 D ．27 4．已知52a =+，52b =-，则227a b ++的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 5．下列运算中，正确的是( ) A ．1333??+ ? ?? =3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷ 1 22 =2 D ．(2+3)×3=63+ 6．下列运算正确的是（） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-= 7．下列计算正确的是（） A ．822-= B ．321-= C ．325+= D ．(4)(9)496-?-= -?-= 8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 9．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（）

A ．1 B ．2 C ． D ．6 10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A ．0.1 B ．19 C ．8 D ．14 4 11．设0a >，0b >，且( )( ) 35a a b b a b +=+，则 23a b ab a b ab -+++的值是（） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 12．给出下列化简①（2-）2=2：②22-=（）2；③221214+=123； ④11 142 - =，其中正确的是（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 二、填空题 13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 16．当x 3x 2﹣4x +2017=________． 17．把1 a - 18．已知2，n=1222m n mn +-的值________． 19．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 201262_____．三、解答题 21．观察下列各式子，并回答下面问题． 211-

最佳路径教案与反思

最佳路径教学目标：知识与能力： 1、学会本课生字新词，理解由生字组成的词语。读准多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diào zhuǎn）。 2、正确、流利、有感情地朗读课文。过程与方法： 1、引导学生联系上下文思考、讨论问题，围绕“迪斯尼乐园路径设计为什么被评为世界最佳设计？它与法国南部农民卖葡萄有什么联系”等问题发表自己的见解。 2、激发学生学习兴趣，收集有关“迪斯尼乐园”的介绍，以“走进迪斯尼”“迪斯尼的故事”开展综合活动。情感态度与价值观理解课文内容，懂得尊重他人，相信他人，给人自由与选择的机会，其中蕴含着巨大的价值。课时安排：第一课时：激发兴趣，初读课文，了解大意，理清层次，阅读课文1、2自然段，引导学生各抒己见。第二课时：阅读课文3——7自然段，了解相关资料，阅读同题文章，联系生活实际，寻找生活中的“最佳路径”。教学过程：第一课时一、激趣导入，揭示课题 1、同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特?迪斯尼）（格罗培斯：美国哈佛大学建筑学院院长，现代主义大师和景观建筑方面的专家，他从事建筑研究40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，在世界各地留下70多处精美的杰作。） 2、迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。 3、揭示课题，质疑。今天我们要学习的课文，就是和迪斯尼乐园有关的。

二次根式知识点总结大全

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】 1、概念与性质例1、下列各式 1）222 11,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1） x x -- +31 5；（2） 2 2)-(x

二次根式专项练习附答案

1、已知，为实数，且，求的值． 2、若的整数部分为，小数部分为，求的值. 3、. 4、阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出= ﹣；（2）根据上面的解法，请化简：． 5、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 6、使有意义的的取值范围是． 7、若x，y为实数，且y=4++，则y﹣x的值是．8、当x时，二次根式在实数范围内有意义． 9、方程：的解是 . 10、若代数式有意义，则的取值范围为__________． 11、若，则的值为． 12、比较大小：； 13、若+有意义，则= 14、已知xy＝3，那么的值为_________． 15、把根号外的因式移到根号内：＝ . 16、已知a，b，c为三角形的三边，则 = . 17、________．

18、计算． 19、计算； 20、; 21、）; 22、计算： 23、计算：； 24、 25、计算： 26、若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ). ≥ 2 B. x≤ 2 ≥-2 ≤-2 27、若二次根式有意义,则的取值范围是【】A. B. C. D. 28、若, 则的值为（） A. C. 9 D. 29、不改变根式的大小，把中根号外的因式移到根号内正确的结果是 A ． B ．C．－ D ． 30、为使有意义，x的取值范围是（） A． x＞ B． x≥ C．x≠D． x≥且x≠ 31、下列二次根式中，化简后能与合并的是( ) A.B．C． D． 32、已知则与的关系为（）

33、下列计算正确的是（） A. B.+ C. D. 34、下列计算或化简正确的是（） A ． B ． C ． D ． 35、下列二次根式中属于最简二次根式的是【】 A ． B ． C ． D ． 36、如果，那么（A ）；（B ）；（C ）；（D ）．37、下列二次根式中，最简二次根式是（）. A. B. C. D. 38、已知，则a的取值范围是…………【】 A．a≤0；B．a＜0； C．0＜a≤1；D．a ＞0 39、式子（＞0）化简的结果是（） A. B. C. D. 40、式子成立的条件是（） A.≥3 B.≤1 ≤≤3 ＜≤3 参考答案

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结王亚平 1. 二次根式的概念二次根式的定义：形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

25最佳路径教学设计二教案

25最佳路径教学设计二教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

25最佳路径教学设计二 1、同学们，你们喜欢看动画片么大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么（美国动画片大师沃尔特．迪斯尼） 2、迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。然而你们知道迪斯尼乐园是谁设计的吗（出示：格罗培斯：美国哈佛大学建筑学院院长，现代主义大师和景观建筑方面的专家，他从事建筑研究40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，在世界各地留下70多处精美的杰作。今天我们要学习的课文，不是“迪斯尼乐园”，不是“动画大师——沃尔特·迪斯尼”，也不是“建筑大师格罗培斯”，而是——（师指课题，学生齐读）什么是路径什么是最佳“最佳路径”是什么意思？（最佳路径：就是最好的路线。）两个享誉全球的人物，一个散发着无穷魅力的乐园，无论哪个都是夺人眼球的焦点，可作者为什么避而不谈，单单要介绍微不足道的迪斯尼乐园路的径设计呢看到这个题目，你们头脑中产生了哪些问题

（为什么迪斯尼乐园的路径是最佳路径这条最佳路径是如何设计出来的在路径设计的过程中，格罗培斯遇到了什么困难，他是如何克服的呢） 2、出示词语最佳路径格罗培斯迪斯尼乐园大伤脑筋任其选择深受启发路径设计给人自由 3、选词填空，将课文内容更为简练的概括出来。建筑大师（格罗培斯）因（迪斯尼乐园）的（路径设计）而（大伤脑筋）。他从葡萄园园主的做法中（深受启发），最终设计出了（最佳路径）。你能按照事情的发生、发展、高潮、结果来给课文分分段吗？第一段（1——2）（遇到难题）第二段（3——4）（获得启示）第三段（5——6）完成设计）第四段（7）（获得最佳）我们还可以用更为简练的方式，用三个四字词语，来概括课文内容。引导学生说出：遇到难题—深受启发—设计成功，教师随机板书。同学们看这幅图，谁在哪儿干什么呀（一群充满童话色彩的宫殿式房子前，“白雪公主”和“七个小矮人”以及一些可爱的动物们在草地上讲故事。）

二次根式专题(含答案详解)

数学专题第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、二次根式式子a （）叫做二次根式提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式二、二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0） ③= （a ≥0 ,b ≥0） ④= (a ≥0, b ≥0) 提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件： 1、被开方数的因数是，因式是整式 2、被开方数不含的因数或因式四、二次根式的运算： 1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2、二次根式的乘除： = （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算提醒：1 、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件 A ．x ≠3 B ．x ＜ 3 C ．x ＞3 D ．x ≥3 （a ≥o ）（a ＜o ）

思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可．对应训练 A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠ 1 D．一切实数考点二：二次根式的性质 A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 思路分析：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．故选C．点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．对应训练解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， =|a+b|+a =-a-b+a =-b，故答案为：-b．考点三：二次根式的混合运算

二次根式专项训练答案

二次根式专项训练答案一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0，解得，x≥1，故选A. 【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】【分析】在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2．故选B. 【点睛】本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，

移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定【答案】C 【解析】由题意得，2x?1?0且1?2x?0，解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】根据二次根式的加减，可知 A选项错误；根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误．故选B．

第十六章二次根式知识点总结大全

二次根式【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）；

【典型例题】 1、概念与性质例1、下列各式 1 ）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x -- +315；（2）2 2)-(x 例3、在根式 1) ，最简二次根式是（）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a

新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习

新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D．二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式

10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D．五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D．七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

教案-6 最佳路径(配苏教版)

6最佳路径一、教学目标 1.学会本课生字新词，理解由生字组成的词语。读准多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diào zhuǎn）。 2.正确、流利、有感情地朗读课文。二、过程与方法 1.引导学生联系上下文思考、讨论问题，围绕“迪斯尼乐园路径设计为什么被评为世界最佳设计？它与法国南部农民卖葡萄有什么联系”等问题发表自己的见解。 2.激发学生学习兴趣，收集有关“迪斯尼乐园”的介绍，以“走进迪斯尼”、“迪斯尼的故事”开展综合活动。三、课时安排第一课时：激发兴趣，初读课文，了解大意，理清层次，阅读课文1.2自然段，引导学生各抒己见。第二课时：阅读课文3——7自然段，了解相关资料，阅读同题文章，联系生活实际，寻找生活中的“最佳路径”。第一课时（一）激趣导入，揭示课题 1.同学们，你们喜欢看动画片么？大家一定对“米老鼠”“唐老鸭”这样的动画人物不陌生。知道他们是谁创造的么？（美国动画片大师沃尔特.迪斯尼）（格罗培斯：美国哈佛大学建筑学院院长，现代主义大师和景观建筑方面的专家，他从事建筑研究40多年，攻克过无数个建筑方面的难题，在世界各地留下70多处精美的杰作。）

2.迪斯尼公司的创始人不但创造出了这么多个性鲜明、活泼可爱的动画人物，对于全世界热爱动画片的人来说，他还有一个巨大的贡献，那就是迪斯尼乐园。迪斯尼乐园备受全世界男女老少的喜爱，这里可以说是每个人梦的故乡，好像来到了用梦和幻想编织的殿堂。 3.揭示课题，质疑。今天我们要学习的课文，就是和迪斯尼乐园有关的。 [板书课题：6.最佳路径]（最佳路径：就是最好的路线。）看到这个题目，你们脑中产生了哪些问题？（为什么迪斯尼乐园的路径是最佳路径？这条最佳路径是如何设计出来的？）（二）初读课文，理解大意 1.请同学们带着这些问题，自由朗读课文，要求读准字音。 2.检查读书情况。指名分节通读全文，正音：滨、窄、踩，多音字：吆喝（hè）、看（kān）管、调转（diàozhuǎn）。 3.交流初步阅读后能解答的问题，也可提出新的问题。 4.能说说课文主要讲了一件什么事吗？（世界建筑大师格罗培斯为迪斯尼乐园的路径设计大伤脑筋，后来从一位年老的葡萄园主卖葡萄的方法上受到启发，最终他设计的路径被评为世界最佳设计。） 5.理清课文层次你能按照事情的发生、发展、高潮、结果来给课文分分段吗？第一段（1——2）写格罗培斯为迪斯尼乐园的路径设计大伤脑筋，前往地中海海滨清理思绪。

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．

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