用直接开平方法解一元二次方程知识点及练习
用直接开平方法解一元二次方程知识点及练习
（1）定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．
（2）类型：①x 2=a (a ≥0)，其解为x=±a ；②（x+m ）2=n (n ≥0)，其解为x=±m -n ③（mx+n ）2=c (m ≠0,c ≥0) ；其解为x=m
n -±c （3）用直接开平方法解一元二次方程的步骤：
①通过配方等相关运算将一元二次方程的左边化为含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式；②开方、降次，得两个一元一次方程；③移项，解出一元一次方程。
特别提示：①因为正数的平方根有两个且互为相反数，所以用直接开平方法时要防止丢根；②注意解中的二次根式要化为最简二次根式。
例：解下列方程：2x 2=54 9x 2+6x+1=8
练习
一、选择题：
1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）
A. 230x -=
B. 2(1)40x --=
C. 2
20x x += D. 22(1)(21)x x -=+
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x =
B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x =
C. 方程2250x -=的根是5x =±
D. 方程232640x x -+=有两个相等的根
3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是（ ） A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2
243b x a
=± 4. 方程220(0)x m m +=<的根为（ ）
A.2m -
B.
C. 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于（ ）
A. 1±
B. 2±
C. 0或2
D. 0或-2
6、若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．
A ．p=4，q=2
B ．p=4，q=-2
C ．p=-4，q=2
D ．p=-4，q=-2
7、若2x 2+3与2x 2-4是互为相反数，则x 的值为（ ）
A 、 21
B 、 2
C 、±2
D 、±2
1 二、填空题：
1.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293
x x -+的值为零。 2. 若222(3)25a b +-=，则22
a b +=_________
3.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________
4.方程()412=-x 的解是______________。 5、已知实数x 满足4x 2-4x+1=0，则代数式2x+x
21的值为_________ 6、关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解x 1=-2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0的解是_________
7若x=2是关于x 的方程x 2-x-a 2+5=0的一个根，则a 的值为_________
8、如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．
三、解下列方程
（1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3）22((1x =
（4）22
69(52)x x x -+=- （5）（x+4）2-16=0 (6)(x+5)(x-5)=20 四、设α和β是方程2(2)9x +=的两个根，求αβ+
的值。
九年级上直接开平方法教案
九年级上直接开平方法教 案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次── 转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2； （3）x 2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 B C A Q https://www.360docs.net/doc/b49003617.html, P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12 x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±
一元二次方程及其解法(一)直接开平方法—巩固练习
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习 【基础练习】 一、选择题 1. 若2 2 30px x p p -+-=是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．p ≠1 B ．p ≠0且p ≠1 C ．p ≠0 D ．p ≠0且p ≠1 2．如果x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，那么该方程的另一个根是（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．1 3．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2﹣x +m=0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 4．若1x ，2x 是方程2 4x =的两根，则12x x +的值是 ( ) A ．8 B ． 4 C ．2 D ．0 5．若a 为方程式2 (17)100x -=的一根，b 为方程式2 (4)17y -=的一根，且 a 、 b 都是正数，则a b -之值为何?( ) A ．5 B ．6 C ．83 D ．1017- 6．已知方程2 0x bx a ++=有一个根是-a(a ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A ．ab B ． a b C ．a+b D ．a-b 二、填空题 7. 方程(2x+1)(x-3)＝x 2 +1化成一般形式为____ __，二次项系数是_____， 一次项系数是________，常数项是________． 8．（1）关于x 的方程 是一元二次方程，则m ； （2）关于x 的方程是一元一次方程，则m . 9．下列关于x 的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)． (1)x 2 +1＝0； (2)2 11 12 x x + =+； (3)210x y ++=； (4)32 10x x x --+=； (5)2 2(35)64x x x -=+ ； (6)(x-2)(x-3)＝5. 10．下列哪些数是方程2 680x x -+=的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． 11．方程2x ﹣4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解，则m 的值为 ． 12．若方程（x ﹣4）2=a 有实数解，则a 的取值范围是___ _____． 三、解答题 13．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m+1与2m ﹣4，求b a 的值． 14. 用直接开平方法解下列方程． (1)2 160x -=； (2)2 (2)9x -=． 15．教材或资料会出现这样的题目：把方程 2 122 x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． (1)下列式子中，有哪几个是方程 2 122 x x -=所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)______ __． ① 21202x x --=； ②21202 x x -++=； ③2 24x x -=； ④2 240x x -++=； ⑤2 323430x x --=. (2)方程 2 122 x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)(入门简单))
解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2(1)9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； （3）26(2)1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ．
6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+= 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （3）23(1)12x +=； （4）2 410y y ++=； （5）2884x x -=； （6）2310y y ++=．
人教版初中数学 第1课时 直接开平方法2教案
21.2.1 配方法 第1课时直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
B C A Q https://www.360docs.net/doc/b49003617.html, P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2 p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=± 即x 1 ，x 2 可以验证， 和 都是方程 12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=± ，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=± 即 ， 方程的两根为t 1 -12，t 2 -12 例1：解方程：x 2+4x+4=1
因式分解法、直接开平方法(2)
第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2） 主备人备课时间 集体修订时间课型新授课 授课人许大精授课时间 教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方 程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。 知识与能力： 通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生 观察、类比、转化的思维能力． 情感态度价值观： 通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知 与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生 形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了 解“未知”可以转化为“已知”的思想． 教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 教学难点： 通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。 教学课时：1课时 教学方法：自主、合作、探究 教学媒体：多媒体 教学过程： （一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。 答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。 答案：平方根，±，±2，±。 （二）创设情境 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知 让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题 展示课本P．7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
解一元二次方程(直接开平方法)教学设计
解一元二次方程(直接开平方法)教学设计 一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。 二、重难点： 重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 四、教学过程： （一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。 （1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0） （3）x2= 25 （二）探索 问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程， 整理，得
对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？ （老师）解出完整的过程。 小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。 练习：解方程下列方程。 （1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程 （1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程 （1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习 六、课外作业：P16复习巩固第1题
一元二次方程的解法(直接开平方法)
用直接开平法解一元二次方程 学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。 重点：用用直接开平方法解一元二次方程； 难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解； 教学过程： 一、 检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。 （1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。 （2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 。 三、 新课讲解 例1：解下列方程（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程 （1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程： （1）12y 2－25＝0； （2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习
1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程 （1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。 直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言） 六、小测 解下列方程 （1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。
解一元二次方程(直接开方法配方法)练习题100道
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题
一元二次方程的解法（直接开平方法） 一、 选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 2 30x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程2 32640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 2 43b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2 - C.2 ± D.2 ± 5. 若2 (1) 10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 22(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 3.一元二次方程2 2(21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程 ()412=-x 的解是______________。 三、用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）22((1x = （4）2 269(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2) 9x +=的两个根，求αβ +的值。
2221直接开平方法解一元一次方程
22.2.1 直接开平方法解一元一次方程 学习目标 1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程． 活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ 我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 计算：用直接开平方法解下列方程： （1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成的形式，那么可得 活动2 知识运用课堂训练 例1用直接开平方法解下列方程： （1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11 练习： （1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0 （4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活动3 归纳内化 应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
直接开平方法练习题
22.2.1 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义 解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____= （x+______）2． 问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12 x ·2x=8 x 2=8
根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程1 2 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以22秒后△PBQ的面积等于8c m2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元 为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为t1=2-1 2 ，t2=-2- 1 2 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为x．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思
直接开平方法和因式分解法教案设计
直接开平方法和因式分解法 【教学目标】 1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 【教学重难点】 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 【教学过程】 一、提问导入 怎样解方程(x+1)2=256的？ 让学生说出作业中的解法，教师板书。 解：1．直接开平方，得x+1=±16； 所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17。 2．原方程可变形为： (x+1)2-256=0； 方程左边分解因式，得： (x+1+16)(x+1－16)=0； 即可(x+17)(x－15)=0； 所以x＋17=0，x－15=0； 原方程的解：x1＝15，x2＝－17。 二、例题讲解与练习巩固 1．例1： 解下列方程： （1）(x＋1)2－4＝0； （2）12(2－x)2－9＝0。 分析： 两个方程都可以转化为a(x-k)2=b （a≠0，ab≥0）的形式，从而用直接开平方法求解。
解（1）原方程可以变形为： (x＋1)2＝4， 直接开平方，得： x＋1＝±2。 所以原方程的解是：x1＝1，x2＝－3。 原方程可以变形为________________________， 有________________________。 所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________。 2．说明：（1）这时，只要把(x+1)看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。 3．练习一解下列方程： （1）(x＋2)2－16＝0； （2）(x＋2)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0。 三、读一读 四、讨论、探索：解下列方程 （1）(x+2)2=3(x+2)； （2）2y(y-3)=9-3y； （3）( x-2)2— x+2 =0； （4）(2x+1)2=(x-1)2； （5）x2-2x+1=49。 五、本课小结 1．对于形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程，只要把(x-k)看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式，用直接开平方法解。 2．当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
一元二次方程及其解法直接开平方法
一元二次方程及其解法直接开平方法 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点进阶： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点进阶： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：
一元二次方程的解法直接开平方法教案
第二课：一元二次方程的解法-----直接开平方法 教学目的：掌握解一元二次方程的直接开平方法； 重点、难点：直接开平方法解一元二次方程 教学过程： 一、探索： 请你和同学一起来探讨如何解下列方程： （1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 归纳什么是直接开平方法； 二、新课： 例1解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解：（1）移项：(2) 直接开平方： ∴原方程的解是 2、练习：解下列方程： （1）x2＝169；（2）x2－7=0 （3）45－x2＝0；(4) 12y2－25＝0 (5)16x2－49=0 (6)2x2－32=0 例2解下列方程 （1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0. 分析：两个方程都可以转化为（）2=a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：（1）（2）
4、练习：解下列方程： （1）（x ＋2）2－16＝0；（2）(x －1)2－18＝0； （3）(1－3x )2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）（2x －3）2=5 (6)(x+1)2－12=0 (7) (x －5)2－36=0 (8) (6x －1)2=25 三、堂上练习： 1、用直接开平方法解下列方程； （1）012=-x （2）0162=-x （3）01212=-y （4）12822=x （5）021 22=-x （6）3432=y （7）x x x x +=-225 （8）15272-=-x
（9）1652=+)(x （10）49172=+)(x （11）41732=-)(y （12）010062=-+)(y 四、成果检测： 1、解下列方程 （1）0642=-x （2）762=+y （3）3632=x （4）042=-)(x （5）16542=-)(y （6）24362=+)(y （7）8321 2=-)(x （8）0101012=-x （9）01622=-x （ 10）041212=-+)(x
21.2解一元二次方程——直接开平方法的教学设计
教学设计案例 21.2 解一元二次方程 第1课时直接开平方法 一、内容和内容解析 （1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 （2）内容解析： 一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。 本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。 二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析 达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。 三、教学问题诊断分析 在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。
直接开平方法练习题
1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 2 20x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2m - B.2m - C.22 m -± D.2m -± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（ ） A ．k ≥o B ．h ≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 7、方程22) 1(=-x 的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 8、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41 (D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 9.当x =________时，分式293 x x -+无意义； 当x =________时，分式293 x x -+的值为零。 10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________ 12.方程()412 =-x 的解是______________。
直接开平方法解一元二次方程教案
直接开平方法解一元二次方程教案 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程"降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，?P、Q都从B 点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=-- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1
初中数学解一元二次方程直接开平方法一
初中数学解一元二次方程直接开平方法讲义一 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣． 一、情境导入
一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究 探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；
(2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x 2＝9，得 x 2＝ 94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝ 2或x ＋3＝－ 2. ∴原方程的解是x 1＝ 2－3，x 2＝－ 2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝ a ，x 2＝－a . 初中 【类型二】直接开平方法的应用 (2014·山东济宁中考)若一元二次方程 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是 m ＋1与2m －4，则b a ＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴ m＋1＋2m－4＝0，解 得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a＝2，∴ b a＝4， 故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________． 解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用