高一轻松寒假提升作业数学第7—函数的概念及其表示(答案)

高一年级20天轻松提升数学第7天函数的概念及其表示

(答案解析)

一、单项选择题

1.【解析】选A.对B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数的定义;对C,集合A中的元素0取倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,不符合函数的定义;对D,集合A中的元素0在集合B 中也没有元素和它对应,不符合函数的定义;只有A符合函数的定义.

2.【解析】选C.由题图知函数的图象是一条直线,可以用一次函数表示,设为y= kx+b,将点(30,330),(40,630)代入得k=30,b=-570,所以

y=30x-570,令y=0得x=19.

二、多项选择题

3.【解析】选A、D.a,b异号,则一个经过一、三、四象限,另一个经过

一、二、四象限

4.【解析】选B、D.由题意设f(x)=a(x-1)2+b(a>0),由于点(0,0)在图象上,所以a+b=0,a=-b,故符合条件的是B、D.

三、填空题

5.【解析】f=-+3=,f=f=.令f(x)=0,则x+1=0时x=-1∈(-∞,1],故x=-1成立,-x+3=0时,x=3∈(1,+∞),故x=3成立,故

f(x)=0的根为-1,3.

答案:-1和3

6.【解析】因为y==-1+,

所以函数的定义域为R.因为x2+1≥1,所以0<≤2.

所以{y|-1

函数的值域为{y|-1

答案:R {y|-1

四、解答题

7.【解析】(1)f(+1)=1+=1+-1=.

因为f(1)=12+1=2,

所以f(f(1))=f(2)=1+=.

(2)当a>1时,f(a)=1+=,所以a=2;

当-1≤a≤1时,f(a)=a2+1=,所以a=±;

当a<-1时,f(a)=2a+3=,所以a=-(舍去).

综上,a=2或a=±.

8.【解析】(1)由题设知,可设y-a=kx(0≤x≤12,k<0),即y=a+kx. 依题意,当x=12时,y=-55,

所以-55=a+12k,解得k=-.

所以当0≤x≤12时,y=a-(55+a)(0≤x≤12).

又当x>12时,y=-55.所以所求的函数解析式为

(2)当a=29,x=3时,y=29-(55+29)=8, 即3 km上空的温度为8℃.

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高一数学反函数重难点解析人教版

数学反函数【重点难点解析】 1．本单元知识结构 2．了解互为反函数的两个函数间的关系(定义域、值域、运算反映的映射法则及图象)，会求函数的反函数(如果有的话)． 3．判断一个函数是否有反函数及求反函数运算时解不惟一，此时如何确定谁是所求的反函数等．【考点】 1．求已知函数的反函数与已知函数的性质(单调性、奇偶性、图象特征等)从而确定反函数的性质． 2．求函数的值域是数学中的难点也是考点，而利用求反函数的定义域来求函数的值域，在解题时常有使用．【典型热点考题】例1 求下列函数的反函数： (1)y ＝f(x)＝2x －1； (2)3 x 1x 2)x (f y -+= =．思路分析求函数y ＝f(x)的反函数)x (f y 1-=，需先对函数的解析式按运算律要求逐步实施逆运算求得)y (f x 1-=，然后再交换x 、y ，就可求得反函数．一般如不特别给出函数的定义域，则解得的解析式即为所求，不必再另注明反函数的定义域(函数的值域)，如题目指明要求，则应计算函数的值域(反函数的定义域)．解： (1)∵y ＝2x －1 ∴2x ＝y ＋1 2 1y 21x += ∴反函数21x 21)x (f y 1+= =-． (2)∵3 x 1x 2y -+=(x ≠3且x ∈R) ∴xy －3y ＝2x ＋1 xy －2x ＝3y ＋1 (y －2)x ＝3y ＋1 当y －2≠0，即y ≠2时有2 y 1y 3x -+=(y ≠2) ∴反函数2 x 1x 3)x (f y 1-+==-(x ≠2)．例2 求下列函数的反函数： (1)1x y 2-=(x ≤0)； (2)7x 4x y 2+-=(x ≥2)； (3)x y =(x ≥1)．

高一数学反函数的概念

4.5反函数的概念一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？

教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1 x f y ；了解)(1 x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2 x y （R x ）的反函数是（2）2 x y （0 x ）的反函数是（3）2 x y （0 x ）的反函数是学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题）例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1 ,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1）变形:解方程，)(x f y 得)(1 y f x ；（2）互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.

高中数学函数概念

函数 1、函数的概念定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。已学函数的定义域和值域一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、函数图象定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：分式中的分母不为零；偶次根式下的数或式大于等于零；实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定；定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

2020-2021年高一数学反函数一新课标人教版

2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。教学难点反函数的概念。教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）

师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

2020高一数学：反函数的定义

【文库独家】反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数 f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为 [0，+∞），值域是[-1，+∞)。 2．反函数存在的条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数． 3．函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上． 4．反函数的几个简单命题（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．

反函数

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。（8）反函数是相互的（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。三、学情分析：学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。四、教学过程设计 1、创设问题情境：导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构：给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

高中数学反函数教案

高中数学反函数教案 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。反函数的概念。教学方法师生共同讨论幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。

（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：反函数[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：

7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（ B. －－1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是（） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f － 1(4)等于（） A ．2 B ．1－2 C ．－2 D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（） A ．y=－f (x ) B ．y= f -1(x ) C ．y =－f -1(x ) D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（） A ．a B ．1 a - C ． b D ．1 b - 7．已知函数()1 3 ax f x x += -的反函数就是()f x 本身，则a 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数（） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 9．函数f (x )=－ 2 2 ·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为（） A ．(－∞，0］ B ．(－∞，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（） A ．(－1，4) B ．(－4，－1) C ．(－1，－4) D ．(1，－4)

反函数的几种题型及解法素材

例析反函数的几种题型及解法反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。一. 反函数存在的充要条件类型例1. （2004年北京高考）函数f x x ax ()=--2 23在区间[] 12，上存在反函数的充要条件是（） A. (]a ∈-∞，1 B. [ )a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--2 23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间( ]-∞，a 或[) a ，+∞上是单调函数。而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数所以[](]12，，?-∞a 或者[][) 12，，?+∞a 即a ≤1或a ≥2 故选（C ）评注：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。二. 反函数的求法类型例2. （2005年全国卷）函数y x x =-≤23 10()的反函数是（） A. y x x = +≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 解析：由x ≤0可得x 2 3 0≥，故y ≥-1 从y x = -23 1解得x y =±+()13 因x ≤0

高一数学暑假作业(20)反函数

（二十）反函数一、选择题： 1．若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是（） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2 －1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 4．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b - 5．已知函数()13 ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 二、填空题： 6．若点(1,2)既在函数b ax x f += )(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则_____,_____a b == 7. 若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点__________。 8．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ 。 9．设13,2x y x -=≥，则求反函数1()f x -=__ ______。 10．已知f (x )＝f －1(x )＝ x m x ++12(x ≠－m )，则实数m = 。 11. 点(2，1)既在函数f (x )=a b x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有__________组。 12. 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，1(1)f x -+=____________。

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？〖投影〗观察对应：〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个

数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。（2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；

高中数学《反函数》教案

课题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程：一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出

人教版高一数学必修一《函数的概念》教学设计

. 1.2.1 函数的概念（第一课时）班级姓名时间制作人：课题函数的概念课型新授课知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽学习目标重点难点学法指导象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗，透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？（学生思考、小组讨论）教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）二、新课探究： 1.实例感受：实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2．思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？（２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？（实例一由师生共同完成）事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1

高一数学反函数教学设计

高一数学反函数教学设计一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。三、学情分析：学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。四、教学过程设计 1、创设问题情境：导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构：给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

高一数学必修一函数的概念知识点

高一数学必修一函数的概念知识点高一数学必修一函数的概念知识点知识点总结本节主要包括函数的定义、函数的表示方法、函数的定义域、函数的值域、分段函数及映射等知识点。其中关键是函数的概念的理解。 1、映射的定义 2、函数的概念 3、函数的三要素：定义域、值域和对应法则。 4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。 5、区间的概念和记号 6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。(1)解析法(2)列表法(3)图像法 7、分段函数常见考法本节是段考和高考必不可少的考查部分，多以选择题和填空题的形式出现。段考中常考查函数的定义域、值域、对应法则、同一函数、函数的解析式和分段函数。高考中可以和高中数学的大部分章节知识联合考查，但是难度不大，属于容易题。多考查函数的定义域、函数的表示方法和分段函数。误区提醒

1、映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。A到B的映射与B 到A的映射是不同的。而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。 2、函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。无论是简单的函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。 4、分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。

(新)高一数学函数概念及其表示练习题

函数的概念及表示（国庆作业）一、选择题： 1、函数y = ） A ．{} 1x x ≤ B ．{} 0x x ≥ C ．{}10x x x ≥≤或 D ．{} 01x x ≤≤ 2、函数1 1 x y x +=-的值域为（） A ．() ()11-∞+∞，， B ．()1,1- C ．()()11-∞+∞，-， D ．()()11-∞-+∞，-， 3、下列函数()()f x g x 与表示同一函数的是（） A ．()()4 2 f x x g x == 与 B ．()()2 x f x x g x x ==与 C ．()()f x g x == D ．()()2 f x x g x == 与4．给出下列四个对应，其中构成映射的是…( ) A ．(1)(2) B ．(1)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(3)(4) 5.已知函数f(x)＝? ???? x －3，x>0， x 2，x ≤0.若f(a)＝f(4)，则实数a 等于……( ) A ．4 B ．1或－1 C ．－1或4 D ．1，－1或4 6、函数()1 3 f x x =-的定义域是（） A ．(),3-∞ B ．()3+∞， C ．()()33-∞+∞，， D ．()()33-∞+∞，， 7．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（）.

8．下列图形是函数y ＝－|x|(x ∈[－2,2])的图象的是( ) 9．下列四个图象中，不是函数图象的是（）. 10．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 11、已知函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则()2f x -的定义域为（） A ．[]2,3- B ．[]1,4- C ．[]16， D ．[]4,1- 12．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) A. B. C. D.

高中数学必修1函数概念及性质知识点总结

数学必修1函数概念及性质（知识点总结）（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。