2020年福州大学通信原理考研复试核心题库之证明题精编
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本书根据最新复试要求并结合历年复试经验对该题型进行了整理编写，涵盖了这一复试科目该题型常考及重点复试试题并给出了参考答案，针对性强，由于复试复习时间短，时间紧张建议直接背诵记忆，考研复试首选资料。
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一、2020年福州大学通信原理考研复试核心题库之证明题精编
1．试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为
最小误码率（“1”和“0”等概出现时）
【答案】对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内，抽样判决器输入端得到的波形
可表示为
其中为均值为0,方差为的高斯噪声。发送“1”时，x（t）的一维概率密度为
而发送“0”时,x（t）的一维概率密度为
令判决门限为，则将“1”错判为“0”的概率为
将“0”错判为“1”的概率为
设发送“1”和“0”码的概率分别为p（1）和p（0）,则系统总的误码率为
令，可求得最佳门限电平，即
解得
若p（0）=p（1）=1/2，则。此时，系统误码率为
2．某信号波形，通过衰减为固定常数、存在相移的网络。
试证明:若且附近的相频特性曲线可近似为线性，则网络在处的群延迟等于它对s（t）的包络的延迟（这一原理常用于测量群迟延特性）。
【答案】设网络的传输函数为:
因为且在附近的相频特性可近似为直线，因而有
式中，为在处的群延迟。将s（t）表示为
网络输出信号为.
可见，网络对s（t）的包络的延迟为一，与网络在处的群延迟时相等的。
得证。
3．写出信息论中具有重要意义的香农公式含义，并证明：
【答案】香农公式：
其含义为以下几点：
（1）当信道带宽增大时，信道容量增大；
（2）当信噪比增大时，信道容量增大；
（3）信道中噪声为0时，信道容量趋于无穷大；
（4）当信号功率无穷大时，信道容量会趋向于无穷大；
（5）当增大带宽时，信道容量不会无限制地增大，会趋于一个定值，约为。
因为信道容量的公式可以写作
当时，则上式变为
利用关系式
上式可变为
得证！
4．随机过程是广义随机过程。载频的相位在上为均匀分布，设m （t）与是统计独立的。证明s（t）是广义平稳的。
【答案】由题意可知，m（t）的数学期望为常数；，则
可见，s（t）均值与t无关，自相关函数只与时间间隔有关，故s（t）广义平稳。
5．试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
【答案】设基带调制信号为，载波为，则经调幅后，有
已调信号的功率
因为调制信号为余弦波，设，故。则：
载波功率为
边带功率为
因此。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。
6．对于双极性基带信号，试证明其最佳门限电平为。
【答案】对于双极性基带信号，在一个码元持续时间内，抽样判决器输入端得到的波形可表示为
假定是均值为0,方差为的高斯噪声，当发送“1”时，x（t）的一维概率密度为
而发送“0”时x（t）的一维概率密度为
若令判决门限为，则将“1”错判为“0”的概率为
将“0”错判为“1”的概率为
若设发送“1”和“0”码的概率分别为p（1）和p（0），则系统总的误码率为
令，得到
解得最佳门限电平为
7
．在图中，二进制确定信号，在信道传输中受到双边功率谱密度为的加性高斯白噪声n（t）的干扰。今用冲激响应为h（t）的匹配滤波器进行最佳解调。
设与等概出现，为平均每个比特的信号能量，y表示在最佳抽样时刻对y（t）进行抽样得到的抽样值。其中
图
（1）证明y中信号分量的瞬时功率是；
（2）证明y中噪声分量的平均功率是；
（3）若发送，请写出y的条件概率密度函数表达式。
【答案】（1）匹配滤波器的冲激响应为：
抽样值为
其中，是抽样值中的噪声分量。因此无论发送的是还是，y中信号分量的瞬时功率都是。
（2）y（t）中噪声Z（t）是高斯白噪声通过线性系统的输出，它是一个0均值的平稳高斯过程。
设h（t）的傅里叶变换是H（f），则Z（t）的功率谱密度为，因此Z的平均功率是
（3）给定发送这个条件时，，其均值是，方差是，因此y的概率密度函数为
8．一个4级反馈移存器的特征方程为，证明由它产生的序列不是m序列。
【答案】因为n=4,所以。又因为