分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。
将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
分部积分的计算方法
§7.2分部积分法与换元积分法 (一) 教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． ———————————————————————— 如何计算不定积分 ?xdx 2cos ？我们知道， ?+=C x xdx sin cos ，那么是否有 C x xdx +=?2sin 2cos ？显然不对。 计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如?xdx 2cos 、?xdx ln 、? xdx tan 等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。 一、换元积分法 1．凑微分法 定理1（第一换元积分法）若函数)(x u φ=在[a,b]可导，且βφα≤≤)(x ，],[βα∈?u ，有 )()(x f x F ='，则函数)()]([x x f φφ'存在原函数)]([x F φ，即 C x F dx x x f +='?)]([)()]([φφφ **具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的： ???+====+======'==C x F C u F du u f x d x f dx x x f x u x u )]([)()()()]([)()]([) ()(φφφφφφφ 例7．求 ? +dx x 3 5 分析：我们有公式 ? +=C x dx x 34 3 4 3 ，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。 为了能用公式计算，进行凑微分： )5(+=x d dx 解： C x C u du u x d x dx x x u x u ++====+=====++=+? ?? +=+=34 53 4 3 5 3 3 )5(4 343)5(55 例8．求? +dx x )85sin( 分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：)85(51 += x d dx 解：???+=====++=+udu x d x dx x x u sin 5 1)85()85sin(51 )85sin(85 C x C u x u ++-====+-=+=)85cos(5 1 cos 5185 一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式： （1）)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f ++= +
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。三角函数： 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。 分部积分法它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。 三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 三角函数的反函数因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。 不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案 课题：§ 4.4 分部积分法 课型：讲授 教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部 积分法公式 教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv 教学内容： 一、分部积分法 设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 '+'='uv u (uv)v 移项得 v '-'='u (uv)uv 对这个等式两边求不定积分, 得 ??'-='v d x u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。 二、例题 例1 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==??? 例2 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos C x x x ++=c o s s i n . 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv 选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法); 2.u vd ?比?udv 容易求. 例3求 ?dx e x x 2 解： x x de x dx e x ? ?=22 C e xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=???22) (222222 2
例4求 ?xdx x arctan 解： ??= 2arctan 2 1arctan xdx xdx x [][] C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=?? ????+--=??????+-=-=???arctan arctan 2 1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416 x x xd x x x x dx x x x C ==-=-+蝌? 分部积分法的使用技巧 (1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。 例6求xdx e x sin ?. 解 因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n ?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ?--=xdx e x e x e x x x sin cos sin , 所以 C x x e xdx e x x +-= ?)cos (sin 21sin . 练习: (1) (2)xdx x ln 2? 例7 求 ?dx e x 解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此 []C x e C e te dt te tdt e dx e x t t t t x +-=+-===???)1(2 2 2 2
分部积分法的二个经验
分部积分法的二个经验 一、u 和v / 的选择 我们知道，用分部积分公式求积分时，主要是选好 u 与 v ， 这里介绍一种经验顺序，取名“反对幂指三”经验顺序。“反对幂指三”是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的简称。其意是说，如果用分部积分法求不定积分，而被积函数 f (x )恰是这五类函数中任意两个函数的乘积时，则按“反对幂指三”的顺序，次序在前的取为u ,次序在后的取为 v’ 进行分部，这样通常能解决问题。这便是经验顺序。 例1 求 ∫ =dx xe I x 解 被积函数是“幂指”型，因指数函数排在幂函数之后，按经验顺序，取为v /，即 x e ∫ =x xde I 例2 求 ∫ =xdx x I cos 解 这是“幂三”型，cos x 应取为v /，即 ∫ =x d x I sin 例3 例3 求 ∫ =dx x x I 2sin cos ln 解 这是“对三”型，应将“三”取为v /，即 ∫ ?=)cot (cos ln x d x I 要注意，在许多情况下，这个经验顺序是行之有效的，但并非严格的理论，因而不能将它作为不变的教条。例如，求 ∫ +=dx x xe I x 2)1( 这是“幂指”型．若按经验顺序，取为v /，则 x e ∫ ∫+??+=+=dx e x x e x x de x x I x x x 322)1(1)1()1( 所得新积分反而比原积分更复杂。 这时，应考虑取“幂”为v /，即 C x e C e x xe e x d x x xe x d xe I x x x x x x ++=+++?=+++?=+?=∫ ∫11)(111)11( 二、关于连续多次分部积分的使用 在用求积分时，可能会出现多次使用分部积分法的情况，例如
(完整版)分部积分法教案.doc
分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v 教学方法：讲练法 0回顾 上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。 凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f ( x)dx f [ ( x)] '( x)dx f [ ( x)]d[ ( x)] 令 u (x) ( ) f u du F (u) C F [ ( x)] C 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t) ，使得难求的积分易求 f (x)dx 令 x ( t ) f [ (t )] '(t)dt f [ (t )]d (t) F [ (t)] C F(x) C 1 引入 用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x cos x ③第二类换元积分法 解：不妨设cos x t 则x arccost 原方程t arccost 1 dt 更为复杂1 t 2 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设 u、 v 为两个函数）已知：(u v)' u' v uv'
对上式两边积分得：移项得：uv u'vdx uv' dx uv'dx uv u'vdx 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx 中v’为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cosxdx 先要化的和要求积分的形式一样 x(sin x)'dx x sin x x'sin xdx x sin x cosx C 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法” 。 2 公式 2.1 定理设函数 u u(x) 和 v v(x) 及都具有连续的导数，则有分部积分公式： uv'dx uv u'vdx （或 udv uv vdu ） 说明：①两函数的积分等于将其中一个放在 d 里后，里外相乘减去换位的积分。 ②内外积减去换位“积”。 ③步骤： a、放 d 中， b、套公式。 2.2 例 1 求不定积分x sin xdx 解: x sin xdx x sin xdx xd (cos x)① 放d中 x cos x cos xdx② 套公式 x cos x sin x C 3U、V 的选取问题 例 2 求不定积分e x xdx 解： e x xdx e x d ( 1 x2 ) 2 1 x2e x 1 x 2 de x 2 2 1 x2e x 1 e x x 2 dx 2 2
不定积分解题方法及技巧总结剖析
? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??
求不定积分的方法及技巧小汇总~
求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。 一、口诀 “反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。 将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。 （分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。） 反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领 当出现两种函数相乘时 指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是： 反*对->反(对) 反*幂->反(幂) 对*幂->对(幂) 二、相关知识 （一）不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C （二）求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）
不定积分解题方法及技巧总结
不定积分解题方法及技巧 总结 Prepared on 24 November 2020
? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法. 公式：??-=νμμννμd d 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x x x ? -?2 31arccos 【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则 例4：?xdx 2arcsin 【解】 ? ?--=dx x x x x x xdx 2 2 211arcsin 2sin arcsin 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在??-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律： 将以上规律化成一个图就是： ν
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一．不定积分的概念与性质 定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I） 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分 变量，C称为积分常数。 性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx. 二．换元积分法的定理 如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积 分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换 元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式
常见求积分方法总结
Yi b i n U n i v e r s i t y 毕业论文（设计） 题目常见求积分方法总结 系别数学学院 专业数学与应用数学 学生姓名罗大宏 学号120204036 年级12级4班指导教师刘信东职称xxx 2016 年 3 月10 日
常见求积分方法总结 作者：罗大宏 单位：宜宾学院数学学院12级4班 指导教师：刘兴东 摘要: 微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运 算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。 1.积分的概念 1.1、不定积分 若()x F 是函数()x f 在区间I 上的一个原函数，则()x f 在I 的所有原函数()C x F +（C 为任意常数）称为()x f 在区间I 上的不定积分。记作 () ()C x F dx x f +=?。其中?称为 积分号，函数()x f 称为被积函数，x 称为积分变量，()d x x f 称为被积表达式，C 称为积分常数。 另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。 1.2、定积分
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 5 本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。 基本信息 中文名称 分布积分法 外文名称 Integration by parts 目录 1定义 2应用 折叠编辑本段定义
不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 折叠编辑本段应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组 分部积分法 分部积分法 成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 分部积分法顺序口诀为”反对幂指三“，分别对应反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的第一个字。 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。 使用步骤： 1. 首先将分部积分公式写出来 2. 题目原本是对x求积分，需要换成对x的平方求积分 3. 然后用分部积分公式将积分展开 4. 再对积分函数有理化 5．然后列项，使得积分函数很容易求出 6. 接着可以求出积分，注意不要遗漏了常数C 7. 最后合并同类项，整理式子 函数概括
（1）三角函数： 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。 （2）反三角函数： 反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。 （3）对数函数： 对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。 （4）幂函数： 函数是基本初等函数之一。一般地，y=xα的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1等都是幂函数。 （5）指数函数: 指数函数是基本初等函数之一。一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数
常见求积分方法总结
常见求积分方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
Y i b i n U n i v e r s i t y 毕业论文（设计） 题目常见求积分方法总结 系别数学学院 专业数学与应用数学 学生姓名罗大宏 学号 120204036 年级 12级4班 指导教师刘信东职称 xxx 2016 年 3 月 10 日
常见求积分方法总结 作者：罗大宏 单位：宜宾学院数学学院12级4班 指导教师：刘兴东 摘要:微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。 1.积分的概念 1.1、不定积分 若()x F是函数()x f在区间I上的一个原函数，则()x f在I的所有原函数 ()C F+（C为任意常数）称为()x f在区间I上的不定积分。记作 x
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 首先，我们要清楚选择的原则，我们在选取u和v的时候要遵循两个原则。 1v要比u更容易求出；二、∫vdu要比∫udv更容易计算。在清楚这两个原则以后，我们可以开始看选择的方法。 2然后我们来看选择的方法，第一点，我们要将被积函数视为两个函数之积。也就是u和v的积的形式。 3然后，我们记住一个口诀来选择u、v，这个口诀就是“反对幂指三”，什么叫反对幂指三呢？反就是反三角函数，对就是对数函数，幂就是幂函数，指就是指数函数，三就是三角函数。 4在记住口诀后，我们把两个被积函数在口诀中排个顺序，在前面的选为u，在后面的选为v的导数。这样我们就可以进行进一步的计算了。 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部
积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取，因为一旦确定，则公式中右边第二项中的也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取则要依的复杂程度决定，也就是说，选取的一定要使比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。[2] 记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）指（数函数）三（角函数）
分部积分法顺序口诀
将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。 分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。 扩展资料： 不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数 2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C 4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C
6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C 求不定积分的方法： 第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。 分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx 这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。 反>对>幂>三>指就是分部积bai分法的要领du 当出现两种函数相zhi乘时 指数函数必然放到d( )中然后再用分部积分法dao拆开算 而反三角函数不需要动 再具体点就是：
分部积分法顺序口诀
分部积分部积分法顺序口诀分法顺序口诀 常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。 三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。 三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。 三角函数的反函数因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函不定积分的公式 1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数 2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1 3、∫1/x dx = ln|x| + C
4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1 5、∫e^x dx = e^x + C 6、∫cosx dx = sinx + C 7、∫sinx dx = - cosx + C 8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C数。
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 定义 微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公
式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。