矩阵与行列式

第一章 矩阵与行列式

释疑解惑

1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会

把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b

d ??

???

写成两边各划一竖线的行列式如a c b

d

，或把

行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。n 阶行列式是2

n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方

阵

111212122212n n

n n nn a a a a a a A a a a ?????

?=????????

的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特

定的一个数值，

det A 、A 或n D ，即

111

det n

ij k

k

k A A a a

A ====

∑

（如二阶方阵

a

d A b c ??=

???所对应的行列式是这样一个新的对象：

a

d ac bd

b c

=-）。也正

因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A

λ与A

λ等同起来，

而是

n

A A

λλ

=，等等。

2．

关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵

m n

A ?是用数λ乘矩阵m n A

?中每一个元素得到的新的m n ?矩阵；二矩阵相乘与前述这两种

线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。

3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为

A ≠以及关系式

*

A A A E

=，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素

代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。

4． 关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如(,)~E i j A A ，而不是(,),E i j A A =等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两

行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。

5． 关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，要求会用矩阵的行初等变换法和计算子式法两种方法求可逆方阵的逆阵。

6． 关于矩阵分块法：对此不作过高要求。但对于特殊形式的矩阵的乘法、求逆等运算（当可能时）会用分块法计算将给我们带来许多方便。

7. 关于行列式：行列式的定义可由一阶开始记，即,

a a =从而可按行或列展开求得二阶及任意的n 阶行列式的值。教材上附注中给出的另一种定义即

121212(,,,)

12(,,,)

(1)

n n

n j j j n j j nj j j j D a a a τ=

-∑

难于理解，可参考其它线性代数教材；但对于许

多特殊行列式的某些项及值的确定用此定义会非常方便（可见下面的“例题解析”部分）。由定义与性质可得到化简与计算n 阶行列式值的常用的几种方法（可见下面的“例题解析”部分之例4）。这里，重要的是会正确地理解和使用性质及展开法计算一般的行列式，特别要注意在使用它们时有一些通常的技巧，自己应当通过作题加以领会与总结。但对于元素为数字的行列式，总可以由“交换两行（列）”与“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）上去”二变换化为上（下）三角行列式而求得其值。对元素为字母的行列式，要多观察各行、列元素的特点，灵活应用性质，如当列（行）元素之和相等时往往各行（列）相加；裂项，提公因子，逐行（列）相减化为三角形行列式等。为便于计算，还要记住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的计算公式及某些例、习题中有一定特点的行列式的值。

8．关于克莱姆法则：首先要明白克莱姆法则仅对方程个数与未知数个数相等的线性方程组（其系数行列式不为零）适用；特别要记准公式中各行列式的构成规律，而且套公式之前一定要检查方程组是否为“标准形”--常数项全在等号右端；要注意克莱姆法则推论的实质，即n 个方程n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零。

第二章 向量组和向量空间 释疑解惑

1．关于向量的概念：应该从多个角度理解n 维向量的概念。首先，向量是一种特殊的矩阵，所以对向量可以使用矩阵的加法、数乘、转置和乘法等运算。n ?1矩阵

()12, , , n a a a 叫行向量，1?n 矩阵12n a a a ?? ? ? ? ?

??? 叫列向量。从矩阵的角度看，除了1维向量，行向量与列向量是不相等的。若A 为n 阶方阵，那么n 维行向量可左乘A ，其结果()12, , , n a a a A 仍是n 维行向量；n 维列向量可右乘A ，其结果12n

a a A a ??

? ? ?

? ?

?? 仍为n 维列

向量。其次，向量与矩阵比较又有自己的特殊性，某些概念或运算在通常的矩阵间是没有的，如内积、夹角等。向量还可看成平面或空间解析几何中对应概念的推广，但代数中向量概念更抽象。空间解析几何中，向量与3维有序实数组（即向量的坐标）间有一一对应关系，所以这里把n 维有序实数组定义为n 维向量。解析几何中一些与向量有关的概念、运算和性质也可进行对应推广。

在没有特别声明的情况下，本书所指的向量都是实向量，即分量都是实数的向量。 2．关于向量的内积、长度、夹角和正交：向量的内积、长度、夹角和正交等概念都是解析几何中对应概念的推广。向量的内积对应于解析几何中两向量的数量积（点积）。注意内积不满足消去律，即：若、、αβγ都是n 维向量，且[,][,]=αγβγ，那么α不一定等

于β。例如(1,2,1)=α，(2,1,0)=β，(1,0,1)=γ，那么[,][,]2==αγβγ，且≠αβ。向量的长度又叫向量的模或范数。

三角形不等式+≤+αβαβ相当于几何中的“三角形的两边之和大于第三边”，等号成立当且仅当α与β同向（或,k k =αβ为实数，且

0>k ）。

3．关于线性表出：如果存在实数12,,,m k k k 使得1122m m k k k =+++ βααα成立，则称向量β可以由向量组12,,,m ααα线性表出（或线性表示）。应该注意到这个定义中没有要求12,,,m k k k 不全为零，因此零向量可由任意一个向量组线性表出，只要

12,,,m k k k 全取零即可。还可以从线性方程组的角度理解线性表出：n 维向量β可由n 维

向量组12,,,m ααα线性表出，相当于线性方程组1122m m x x x +++= αααβ有解。

4．关于向量组的线性相关性：向量组的线性相关和线性无关的概念在本章中极其重要，是进一步学习向量组的极大无关组、秩以及向量空间的基与维数等一系列概念的基础。理解这一抽象的概念应该从多角度思考。首先应该正确理解定义及其性质：教材中给出了两个等价的定义，第一个定义给出了线性相关性与线性表出之间的关系，它表明，向量组

12,,,m ααα线性相关相当于向量12,,,m ααα之间存在某种线性关系；第二个定义指出

向量组12,,,m ααα线性相关是指存在不全为零的实数12,,,m k k k 使

1122,m m k k k +++= 0ααα ，这一定义在证明（或研究）向量组的线性相关性时比较

常用，必须注意这里的“不全为零”不是“全不为零”；对于一些有关的性质和结论，不要完全死记硬背，要知其然并知其所以然。可结合齐次线性方程组理解：n 维向量组

12,,,m ααα线性相（无）关，相当于齐次线性方程组1122m m x x x +++= ααα0有（没

有）非零解。还可从矩阵或行列式的角度理解：矩阵贯穿于线性代数课程的始终，线性代数中的多数概念都能在矩阵中体现，线性相关性也不例外。n 维向量组12,,,m ααα线性相（无）关的充要条件是矩阵12,,,)(m A = ααα（或矩阵

12n A ??' ?

'

?

? ?'??'= ααα）的秩为m . 特别地，如果m n =，则A 为方阵，12,,,m ααα线性相（无）关的充要条件是行列式||0A =（||0A ≠）.第五，从维数的角度理解：若m n >，则n 维向量组12,,,m ααα一定线性

相关。

5．关于向量组的等价和向量组的极大无关组：理解向量组的等价概念时应注意：两等价的向量组不一定有相同个数的向量，也不一定有相同的线性相关性，但等价的向量组的极大无关组有相同个数的向量，特别地，两等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。按照定义如果12,,,r ααα的部分组12,,,s βββ是12,,,r ααα的极大无关组必须满足12,,,s βββ线性无关和12,,,r ααα可由12,,,s βββ线性表出两个条件，缺一不可。理解这两个概念还应注意下面的一些结论：一般情况下，若12,,,r ααα存在极大无关组，则极大无关组不一定唯一；向量组与它的极大无关组间以及两个极大无关组间一定等价；线性无关的向量组的极大无关组唯一，且就是该向量组本身。 利用向量组的等价还可判定某些向量组的线性相关性：若两个含有相同数量向量的向量组等价，并已知其中一个是线性相（无）关的，则可推知另一个向量组也线性相（无）关。

6．关于向量组的秩：向量组的秩的概念与极大无关组、向量组的等价、矩阵的秩（行秩、列秩）等概念是密切相关的，不能割裂地理解。正是因为“向量组的两个极大无关组一

定含有相同数量的向量”这一结论，才产生了向量组的秩这一概念；矩阵A 的所有行（列）向量组成的向量组的秩与矩阵的秩相等，常利用矩阵的秩求向量组的秩。单一零向量构成的向量组没有极大无关组且秩为零。

7．关于实数域上的线性空间：V 是一个集合，R 为实数域，定义了V 中的加法，和实数与V 中元素之间的纯量乘法，若V 对这两种运算封闭，且满足给出的8条运算规律，则称V 是实数域上的线性空间。

8．关于子空间：如果线性空间V 的子集W 对V 上原有的加法和纯量乘法封闭，则W 是V 的子空间。子空间也是线性空间。

9．关于基、维数：应该知道线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。基是有限维线性空间的极大无关组，线性空间V 的基未必唯一，V 中的每个向量都可由基唯一地

线性表出；基的概念也可看成空间解析几何中基本单位向量,,i j k 的推广，

3

R 中任一向量α都可唯一地表示成,,i j k 的线性组合，若x y z a a a =++a i j k ，则(,)

x y z a a a ,为α的坐标。

在3R 中基也不唯一，基中的向量未必像,,i j k 那样两两正交，3

R 中任一含有3个向量的线性无关的向量组都是基。

10．关于过渡矩阵：基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵T ，满足矩阵等式

1212(,,,)(,,,)n n T = βββααα，注意，应是从左“过渡到”右，且T 是右乘矩阵

12,,,)(n ααα.由基向量组的线性无关性知12,,,)(n ααα可逆，故

1

1212

(,,,)(,,,)n n T -= βββααα. 11．关于坐标：实数域上的n 维线性空间V 中，向量的坐标可看成n

R 中的向量，V 中的每个向量在给定的基下的坐标是唯一的，在不同的基下可能有不同的坐标，于是在给定基

的情况下，通过坐标建立了V 与n

R 间同构的关系，这也是在本章开始时，先研究n

R 中的

向量的一个理由，n

R 中的向量的一些概念和性质可对应推广到一般的线性空间中去。借助坐标，以及n

R 中的向量与矩阵的关系，可把对一般的线性空间中的向量及其性质（如向量组的线性相关性）的研究转化为对矩阵的研究。还应该注意向量和向量的坐标的区别，同一向量在不同基下的坐标可能不同。

12.关于线性变换:在给定基的情况下，可用矩阵表示线性变换。线性变换T 在基12,,,n ααα下的矩阵A 的列向量i β为()i T α在基12,,,n ααα下的坐标，求A 时不要把行和列写颠倒。线性变换在不同的基下的矩阵可能不同。

第三章 线性方程组

释疑解惑

1、 用线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组。 注：这一结论是消元法的基础。

2、 解线性方程组常有下面两种方法：

①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组A =x b 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，即1

A -=x b ，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算1n +个n 阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常

用于理论证明，很少用于具体求解。

②矩阵消元法.将线性方程组A =x b 的增广矩阵A 通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵B ，则以B 为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的解向量集合构成的向量空间称为解空间，解空间的基称为基础解系。

4、当()R A n <（未知量的个数）时，A =x o 存在基础解系，基础解系不是唯一的，但基础解系中所含解向量的个数是唯一的（()n R A =-）；A =x o 的任何()n R A -个线性无关的解向量组成的向量组都是基础解系；同一齐次线性方程组的不同基础解系等价。

5、当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有

()()R A R A =，即不一定有解。

6、齐次与非齐次线性方程组的有关结果 设()ij m n

A a ?=，()(0)R A r =>，12(,,,)'n x x x = x ，12(,,,)'n b b b =≠ b o

，又

设

12(,,,)

n A = ααα，其中

(1,2,,)

i i n = α是A 的第i 个列向量，(,)A A b =为增广矩

阵。

释疑解惑：

1．关于二次型的概念：二次型实际上是n 元二次齐次多项式。由于应用上化标准形的需要，改写其为矩阵形式的表达式（其矩阵是实对称矩阵）f A =x'x 是为了方便。要会将

任意n 元二次型表示为矩阵形式。

2．会用合同变换，即找出可逆线性变换c =x y 使f B =y'y 化为标准形（仅含平方项），其中'

B C AC =。这种变换称为对A 或f 进行的合同变换，且B 与A 合同。经合同变换化二次型为标准形的主要方法是配方法与矩阵变换法，掌握配方法是主要的，要通过做题多加练习。

3．注意方阵相似变换1

B P AP -=是用正交变换法使实对称矩阵相似于对角矩阵的基础，一定要掌握相似矩阵的主要性质，如相似矩阵的特征值、行列式相同等等。

4．理解方阵的特征值与特征向量的概念，特别对其实质要理解，以便会证明有关矩阵特征值，特征向量的性质及其应用的多种题目。会作已知特征值及有关特征向量反求该方阵的题目。

5．掌握向量组正交化与规范化的方法，注意其规律。

6．掌握正交矩阵的定义，会判断方阵是否为正交阵。一定要懂的正交矩阵是很重要的

一种特殊方阵，其基本属性是1'

P P -=或PP E =。了解什么是正交变换，知道其主要性质是它不改变几何图形的度量，即向量长度在正交变换下不变。

7．一定要能熟练地用正交变换法把二次型化为标准型，即会用正交变换把一实对称矩阵化为对角矩阵。

8．对二次型的分类要掌握主要的三类：正定，负定，不定。一定要理解为什么判断二次型即对称阵正定可以用特征值法（特征值全为正）、主子式法，同时记准判断负定的方法。

9．弄清一般实矩阵相似于对角阵的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量这一基本结论，正因为此，要知道并不是任何实矩阵都可以相似于对角阵，但实对称方阵一定可以与对角阵相似（可对角化）。对这一点一定不要有所迷惑。