北师大版九年级上册图形的相似
图形的相似专题
一、 选择题 1.如图，正五边形
是由正五边形
经过位似
变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C.
D.
2.（2014·南京中考）若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ） A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4
D. 4∶1
3.已知四条线段是成比例线段，即d
c
b a =，下列说法错误的是（ ）
A ．
B. b a d b c a =++
C.
d b c b d a -=- D ．22
22d c b a = 4.已知：在△ABC 中，BC =10，BC 边上的高h =5，点E 在边AB 上，过
点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ，点D 为BC 边上一点，连接DE ，DF ，设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）
5.若
8
75c
b a ==，且，则
的值是（ ）
A.14
B.42
C.7
D.
3
14 6.如图，已知
//
，
//
，
分别交
于点
，则图中共有相似三
角形（ ）
A.4对
B.5对
C. 6对
D.7对
7.如图，在△
中，∠
的垂直平分线交
的延长线于点，则的长为（ ）
A. B. C.
D.
8.下列四
第1题图
F
G
H
M
N
A B C
D
E
组图形中，不是相似图形的是（ ）
9.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( )
A.48 cm
B.54 cm
C.56 cm
D.64 cm
10.（2013·陕西中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的 是（ ）
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,2
3
DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面
积 . 12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．
13.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
14.若0234x y z ==≠，则23x y z
+= .
15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知
，，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙
的高度是_____.
16.已知五边形∽五边形A′
B′C′D′E′，∠A=120°，∠B′=130°,∠C=105°,∠D′=85°,则∠E= .
17.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C,AB=6,AD=4,AC=
5,则_______．
18.如图，△三个顶点的坐标分别为，以原点为
位似中心，将△缩小，位似比为，则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.
三、解答题
19.如图，在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC
?（顶点是网格线的交点）.
（1）将ABC
?向上平移3个单位得到
111
A B C
?，请画出
111
A B C
?；
（2）请画出一个格点
222
A B C
?，使
222
A B C
?∽ABC
?，且相似比不为1.
20.已知：如图，在△中，∥，点在边
上，与相交于点，且∠．
求证：（1）△∽△；（2）
B C
A
D E
F
G
第20题图
21.（8分）如图，在正方形中，分别是边上的点，
连结并延长交的延长线于点
（1）求证：ABE DEF
△∽△；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
22.（7分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC
的顶点均在小正方形的顶点. X K b1.C m
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1
2；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.
23.（8分）已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，
EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S
四边形AFEG
．
24.（8分）已知：如图，是上一点，∥，，分别交于
点
，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.
A E D
F
B C G
第21题图
图形的相似专题参考答案
1. B 解析：由正五边形
是由正五边形经过位似变换得到的，知
，
所以选项B 正确.
2.C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果△ABC 与 △A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.
3.C 解析：由比例的基本性质知A 、B 、D 项都正确，C 项不正确.
4.D 解析：由EF ∥BC 得到△AEF ∽△ABC ,所以EF h x BC h -=，即5105
EF x
-=，解得EF =10-2x ,则S =()21
10252
x x x x -=-+，即S 与x 的函数解析式25S x x
=-+是二次函数,其中x 的取值范围是0 75，则 所 以所以 3 14. 6.C 解析：△∽△∽△∽△. 7. B 解析：在△ 中，∠ 由勾股定理得 因为 所以 2 5 .又因为所以 △∽△所以BC BD AB BE =，所以6 25 =?=BC AB BD BE ，所以6 7 3625=-.X|k | B| 1 . c |O |m 8.D 解析：根据相似图形的定义知，A 、B 、C 项都为相似图形，D 项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形. 9. A 解析：两个相似多边形的面积比是9︰16，则相似比为3︰4，所以两图形的周长比为3︰4，即36︰48，故选A. 10.D 解析：选项A 中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B 中，由于任意两个等边三角形相似，因此B 中两三角形相似；同理C 中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似. 11.18 解析：∵ DE ∥BC ,∴ △ABC ∽△ADE ，∴.9 4 )( 2==??BC DE S S ABC ADE ∵ △ADE 的面积为8，∴ ,9 4 8=?ABC S 解得ABC S ?=18. 12.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长为由题意得， 所以 又因为所以此三角形是直角三角形，所以 周长为 13.12 7 或2 解析：设，由折叠的性质知， 当△∽△时， CF B CB B 'F A =，∴ 443x x -=，解得 12 7 . 当△ ∽△ 时,CF B CA B 'F A =，∴ 433 x x -=，解得 .∴ 的长度是 12 7 或2. 14. 413 解析：设234x y z k ===，则，，， ∴ 23x y z +=491344 k k k +=. 15.8 解析：由反射角等于入射角知∠∠，所 以△ ∽△所以DP CD BP AB =，所以128.12.1CD =，所以CD=8 m. 16. 解析：因为五边形∽五边形所以 .又因为五边形的内角和为所 以. 17. 解析：在△和△中，∵, ,∴ △∽△ . ∴∴ ∴ . 18. 或 解析：∵ （2，2），（6，4），∴ AC 中点坐标 为（4，3）.又以原点为位似中心，将△缩小，位似比为，∴ 线段 的中点变换后对应点的坐标为 或 . 19.解：（1）作出如图所示. （2）本题是开放题，答案不唯一，只要 222A B C ?满足条件即可. 第19题答图 20.证明：（1）∵ ，∴ ∠． ∵ ∥ ，∴ ， ． 111A B C ? ∴ ． ∵ ，∴ △ ∽△． （2）由△∽△，得EF DE DE DB = ，∴ ． 由△∽△，得． ∵ ∠∠，∴ △∽△．∴ DF DE DE DG = ． ∴ ． ∴ EF DB DF DG ?=?． 21.（1）证明：在正方形中，?=∠=∠90D A ，. ∵ ∴ ， ∴ DF AE DE AB = ，∴ ABE DEF △∽△. （2）解：∵ ∴ 522422=+=BE .X|k | B| 1 . c| O |m 又由（1）得，?=∠+∠=∠+∠90DEF AEB ABE AEB ， ∴ ?=∠90BEG . 由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△， ∴ BG BE BE AE =，∴ . 22. 解：（1）如图. （2）四边形的周长=4+62. 23.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积. 解:已知正方形ABCD ，且EF ⊥AB ，EG ⊥AD ,∴ EF ∥CB ，EG ∥DC . ∴ 四边形AFEG 是平行四边形. ∵ ∠1=∠2=45°,∴ . 又∵ ∠，∴ 四边形AFEG 是正方形， ∴ 正方形ABCD ∽正方形AFEG ， ∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）. 在△ABC 中，EF ∥CB ,∴ AE ∶EC =AF ∶FB =2∶1. 又,∴ .∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =36∶16， ∴ 3616 1636 AFEG S ?==正方形. 24.解：. 理由如下： ∵ ∠∠，∴ . 又∵ ∴ △∽△ EF DB DE ?=2DF DG DE ?=2DEF ABE ∠=∠102 ==AE BE BG ∴ BF FG EF BF ，即. 图形的相似（一） 一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b =m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b =c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例 项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ：b =b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b =c ：d ?ad =bc ②a ：b =b ：c ac b =?2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ?=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a =?= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( n m b a =d c b a = 3、黄金分割 1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2.618.02 15≈-=AB AC 二、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 三、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 北师大版九年级上册数学第四章图形的相似单元测试卷 一．选择题 1．下列说法正确的是（） A．四条边对应成比例的两个四边形相似 B．相似三角形的面积的比等于相似比 C．对应角相等的多边形相似 D．三边对应成比例的两个三角形相似 2．已知，则下列等式成立的是（） A．B． C．D．y+z＝3x 3．如图，△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AD，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为（） A．B．C．D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，DE、AB的延长线相交于点F，图中相似三角形共有（） A．4对B．3对C．2对D．1对 5．如图，已知矩形ABCD的边AD长为4cm，边AB长为3cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（） A ．2.25cm 2 B ．4.75cm 2 C ．5.25cm 2 D ．6.75cm 2 6．如图，等腰直角△ABC 的两直角边BC 、AB 分别在平面直角坐标系内的x 轴、y 轴的正半 轴上，等腰直角△MNP 与等腰直角△ABC 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC ＝3，若点M 的坐标为（1，2），则△MNP 与△ABC 的相似比是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，直角梯形MNPQ ，∠MNP ＝90°，PM ⊥NQ ，若 ，则＝（ ） A ． B ． C ．4 D ． 8．如图，D E ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，则AE ：AC 为（ ） A ．1：9 B ．1：3 C ．1：8 D ．1：2 9．已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．2.5 B ．3.25 C ．3.75 D ．4 10．如图，正方形OABC 和正方形DEFG 是位似图形（其中点O ，A ，B ，C 的对应点分别是点 D ， E ， F ， G ），点B 的坐标为（1，1），点F 的坐标为（4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ） 第四章图形的相似测试卷 姓名：___________ 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2018秋?新都区期末）已知＝，则的值为（） A．B．C．D． 2．（2018秋?怀化期末）如图，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 3．（2018秋?增城区期末）如图，已知∠ADE＝∠C，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（） A．20B．3.2C．4D．5 4．（2018秋?南浔区期末）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（） A．3B．4C．5D．6 5．（2018秋?海州区校级期末）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（）A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm 6．（2018秋?永寿县期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（） A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD?AB 7．（2018秋?海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝BC，DF＝15，则DE等于（） A．5B．6C．7D．9 8．（2018秋?怀化期末）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（） A．18平方厘米B．8平方厘米 C．27平方厘米D．平方厘米 9．（2018秋?普兰店区期末）如图，△ABC中，点D是AB边的中点，且DE∥BC，若△ADE的面积是2，则△ABC 的面积是（） A．4B．6C．8D．10 10．（2018秋?永新县期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝6，AD＝3，AC＝4，∠DAC＝∠B，则BD长为（） A．4B．6C．8D．9 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（2018秋?遂川县期末）已知（a≠0，b≠0），则＝． 12．（2018秋?宣城期末）如果若＝2，且b+d+f＝5，则a+c+e＝． 13．（2018秋?南浔区期末）b和2的比例中项是4，则b＝． 图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(泰安)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题： ①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；③若∠A＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1；④若AC ：A 1C 1＝CB ：C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( B ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C ) A ．2∶3 B ．2∶5 C ．4∶9 D .2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA ∽△ACD ，BC AC ＝AC AD ＝AB DC ，AB ＝2，DC ＝3，∴BC AC ＝AC AD ＝AB DC ＝23，∴BC AC ＝23，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝23，cos ∠DAC ＝AC DA ＝23，∴BC AC ·AC DA ＝23×23＝49，∴BC DA ＝49，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA ，∴△ABC 与△DCA 的面积比＝49 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中 心，相似比为12 ，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4) C ．(－8，4)或(8，－4) D ．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯 图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题： ①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B ) A．4个B．3个C．2个D．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC 与△DCA的面积比为( C ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD， BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ，AB＝2，DC＝3，∴ BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ＝ 2 3 ，∴ BC AC ＝ 2 3 ，∴cos∠ACB＝ BC AC ＝ 2 3 ，cos∠DAC＝ AC DA ＝ 2 3 ，∴ BC AC · AC DA ＝ 2 3 × 2 3 ＝ 4 9 ，∴ BC DA ＝ 4 9 ，∵△ABC与△DCA的面积比＝ BC DA ，∴△ABC与△DCA的面积比＝ 4 9 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为 1 2 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( D ) A．(－2，1) B．(－8，4) C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯一)__． 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知 识点归纳 第四章图形的相似 一、成比例线段 定义： 线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、cD 的长度分别是,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：cD=:n,或者写成AB/cD=/n. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 定理：如果a/b=c/d==/n, 那么/=a/b 二、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 概念：一般地，点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc，如果Ac/AB=Bc/Ac，那么称线段AB被点c黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，Ac与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点o，且有oP1=*oP,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点o叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。 第三章 相似图形 1．成比例线段 一、目标导航 1．了解两条线段的比的概念； ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的 比AB :CD =m :n ，或写成n m B A =. 2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)； 3． d c b a =与b c a d =在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化． 二、基础过关 1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，x y x +=________． 2．如果 53=-b b a ，那么b a =________． 3．若a =2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________． 4．若7 53z y x ==，则 z y x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________． 三、能力提升 6．若 AE AC AD AB =，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________． 7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________． 8．已知y x 2 3=，那么下列式子成立的是( ) A ．3x =2y B ．xy =6 C ． 3 2=y x D ． 3 2=x y 9．把ab =2 1cd 写成比例式，不正确的写法是( ) A ．b d c a 2= B ． b d c a =2 C ．b d c a =2 D ．d a b c 2= 第四章 图形的相似 1 成比例线段 2 平行线分线段成比例 3 相似多边形 4 探索三角形相似的条件 *5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段 ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线 段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则 d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02 15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似 多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平 方. 四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1 测试题： 一、选择题 1．下面四条线段成比例的是（）． A． B． C． D． 2．如图，若，则下面比例式不能成立的是（）． A．B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（）． A．所有的等边三角形都相似 B．和同一图形相似的两图形也相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的矩形都相似 4．如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得米，米， 米，则河宽BC为（）． A．5米 B．4米 C．6米 D．8米 二、填空题 5．两个相似三角形的一边对应边分别为35cm14cm，它们的周长相差60cm，则这两个三角形的周长为_________． 6．如图，，若将图中的旋转（平 移），则所得到的新三角形与_____________，与__________． 7．学校平面图的比例尺是1：500，平面图上校园面积为1300cm，则学校的实际面积为____． 8．把一个矩形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到_________倍，其面积扩大到_______倍． 9．如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，米，米， 米，则米． 三、解答题 10．如图，在中，于D，如果， 求CD、AC． 11．如图所示，五边形与五边形相似，求和的长度． 12．已知：中，，问：边AC上是否存在一点D，使∽ ？如果存在，请算出CD的长度． 13．如图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80mm，AB是步枪上的准星宽度2mm，CD是目标的正面宽度50cm，求眼睛到目标的距离OF． 14．已知：于B点，于D点，，问： 在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，说明理由． ②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． ③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长 线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ?∽ABC ?． 知识点7 、三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用． (2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 知识点8 、相似三角形常见的图形 (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B 图形的相似单元训练 一．选择题（共14小题） 1．（2016?兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（） A．2a=3b B．3a=2b C．D． 2．（2016?崇明县一模）已知=，那么的值为（） A．B．C．D． 3．（2016?泰州二模）已知，则的值是（） A．B．C．D． 4．（2016?临沂模拟）若=，则=（） A．1 B．C．D． 5．（2016?萧山区二模）已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（） A．﹣ B．C．﹣2 D．2 6．（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（） A．B．C．D． 7．（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n 交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（） A．B．C．D．1 8．（2016?西山区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．12 9．（2016?潮州校级模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（） A．=B．=C．=D．= 10．（2016?罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（） A．两个矩形B．两个正方形 C．两个直角三角形D．两个等腰三角形 11．（2016?安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（） A．4 B．4C．6 D．4 12．（2016?承德模拟）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（） A．15m B．m C．60 m D．24m 13．（2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2 14．（2016?重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 二．填空题（共12小题） 15．（2016?邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是______． 16．（2016?浦东新区一模）已知，那么=______． 17．（2016?杨浦区一模）如果，那么=______． 18．若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的相似比等于______．19．（2016?丹东模拟）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 图中与△ADC相似的三角形为___ ___（填一个即可）． 20．（2016?抚顺模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=______． 21．（2016?潮州校级模拟）如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为______m． 相似三角形整理与复习 【考点分析】 ①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 一、比例线段 1. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 第四比例项：若d c b a =，则d 叫a 、b 、 c 的第四比例项. 3. 比例中项：若c b b a =，即a c b =2 ，则b 叫a 、c 的比例中项. 针对练习： 1、下列说法中正确的是（ ） A.两条线段的比总是整数 B.两条线段的比总是正数 C.两条线段的比可能为0 D.两条线段的比与所采用的长度单位有关 2、下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a =2，b =3，c =2，d =3 B.a =4，b =6，c =5，d =10 C.a =2，b =5，c =23，d =15 D.a =2，b =3，c =4，d =1 二、比例的性质 1 基本性质： ac b c b b a b c a d d c b a =?==?=2;（a 、b 、c 、d 都不为零） 2 等比性质： 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常 用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用 等比性质也成立．如： 图形的相似 专题练习 1．已知△ABC ∽△DEF ，AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( ) A ．1∶9 B ．1∶25 C ．9∶25 D ．3∶5 2．如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OB ∶OB ′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为( ) 图2 A ．4∶9 B ．2∶5 C ．2∶3 D ．2∶ 3 3．如果3A ＝2B (AB ≠0)，那么下列比例式中正确的是( ) A ．a b ＝32 B ．b a ＝23 C ．a 2＝b 3 D ．a 3＝b 2 4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥B C ．若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的长为( ) 图4 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 5．在下面的图形中，相似的一组是( ) ,A ) ,B ) ,C ) ,D ) 图5 6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图6 7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于() 图7 A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m 8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图8 9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果AD DB＝3 2， AC＝10，那么EC＝________． 第四章图形的相似尖子生训练题 一．选择题 1．下列各组线段能成比例的是（） A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm B．1cm，2cm，3cm，4cm C．4cm，6cm，8cm，3cm D．cm，cm，cm，cm 2．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（） A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2 4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（） A．y＝12x B．C．D． 5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为（） A．B．C．D． 6．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（） A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6m，则AB的长为（） A．30m B．24m C．18m D．12m 8．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长是（） A．B．C．D． 9．如图，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列各式正确的是（） ①AD2＝BD?DC；②CD2＝CF?CA；③DE2＝AE?AB；④AE?AB＝AF?AC． A．①②B．①③C．②④D．③④ 作品编号：GLK520321119875425963854145698357 学 校： 黄莺读市仙鹤镇喜鹊小学* 教 师： 悟性中* 班 级： 凤翔2班* 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项， a c (a b c d )a d b c a c b d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b = c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项． 2． 比例性质 ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()() ()?=?? ?=?=?? ?=???=?交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3． 黄金分割 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中 AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥l 2∥l 3．则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型： C A B D C A B D E E D B A C DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD A B C D O B A C O D C B A X 型 母子型 AC ∥BD ∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________． 9． 中位线 1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中 点的线段的长是对应中线长的3 1 ． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段． A D B C 第3章图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）． A ．(2，0) B ．(23 ，2 3) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.5 1 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． A C D F E （第6题） y x A O C B D E F 图1 图 2 图 3 图 4 C A D B A D E B C 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知x:y=2:3，则(x+y):y 的值为（ ） Ａ．2:5 Ｂ．5:2 Ｃ．5:3 Ｄ．3:5 2．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( ) A ．菱形的各角扩大为原来的2倍 B ．菱形的边长扩大为原来的2倍 C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍 D ．菱形的面积扩大为原来的4倍 3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比 例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正 确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别是1和3，如果△ ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A ．2 B ． 22 C ．26 D ．3 3 5．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，小明骑自行车从单 位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时( ) A ．40000米 B ．4000米 C ．10000米 D ．5000米 6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长 为（ ） A ．80 B ．36 C ．40 D ．100 7．如图1，已知D 、E 分别是△ABC 的的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，且△ADE 与四 边形DBCE 的面积之比为1:3，则AD: AB 为（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．2:3 8．如图2，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，腰BA 、CD 的延长 线相交于M ，图中相似三角形共有（ ） ．2对 C ．3对 D ．4对 9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示 意图. 已知桌面半径为米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积 为（ ） A ．π米2 B ．π米2 C ．2π米2 D ．π米2 10．如图4，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2= AD ·DB ；②AC 2= AD ·AB ；③ CD AC =BD AB ．其中一定成立的有（ ） A ．3个 B ．1个 C ．2个 D ．0 个 11．如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，DE ︰CE ＝2︰3， 连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于（ ） 第3章 图形的相似 【经典例题】 1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ ）． A ．(2，0) B ．(23，2 3) C ．(2，2) D ．(2，2) 【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍． 【答案】C 【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似． 2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.4 1 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故 FD BF =AD BE =3 1 . 解答：选B ． 点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键. 3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ． 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】ABC △与DEF △的相似比为 254=5 2. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方. 4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）． 【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。 解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等． 5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________． A B C D F E （第6题） y x A O C B D E F 图形的相似测试题 一，选择题(30分) 1、如果 a b =23，那么下列各式中的错误的是（ ） A b a 22= B b a 23= C 32b a = D a b 2 3 = 2、已知c d a b ::=，下面哪些比例式正确（ ） (1) c d a b ::= (2) c d b a ::= (3) b c a d ::= (4) d b c a ::= A (1) (2) B (2) (3) C (1) (4) D (3) (4) 3、下列各组数中，成比例的是（ ） A 2，-4，-4，8 B 1，-4，-2，-8 C 1，4，-2，8 D 1，-2，-3，9 4, 在锐角△ABC 中，高AD ，C E 相交于 F ，则图中所有和△AEF 相似的三角形有（ ） A 1个， B 2个， C 3个， D 4个。 5，E 的边BC 的延长线上的一点，连线AE 交CD 于F ，则图中共有相似的三角形（ ） A 1对， B 2对， C 3对， D 4对。 第4题 第5题 第8题 6，两个相似的三角形的对应边上的角平线之比是3：2，周长之和是30，那么这两个三角形的周长分别是（ ） A 18和12，B 9和11，C 7和13，D 6和14。 7，顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，在下列条件中，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A AB=CD ，B AC=BD ，C A C ⊥BD ，D AD ∥BC 。 8，中，E 是BC 上一点，BE ：EC=1：2，AE 交BD 于点F ，则BF ：FD 等于（ ） A 5：7，B 3：5，C 1：3，D 2：5。 9，点P 为△ABC 的AB 边上一点（A B ＞AC ），只有一个条件不一定使△ACP ～△ABC ，请找出这个条件（ ） A ,AC AB AP AC = B ∠APC=∠ACB, C ∠ACP=∠B ， D AB AP BC PC =。 10，如图，矩形ABCD 中，P ，Q 分别是DC ，BC 上的点，M ，N 分别是AQ ，QP 的中点， 当Q 在BC 上从B 向C 移动而P 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A B C D E F F E D C B A A B C D E 图形的相似 知识点1比例的性质、单选题 5 3 1.已知———,那么的值是 X2 1015 3 A . 3 B ? C ?D? 2.已知3x=4y(xy乞0则下列比例式成立的是（） A. j 4 C . = J D? y 3 ，则下列各式不成立的是（） 2 耳4 2x y 6?若=，贝U 的值为( x y 1 2 A ?B? 7.已知2x=3y （xy工），则下列各式中错误的是（） A x^-v A.卞=A M T C B .〒=三J 」广叱卩] a5 a-b 8?已知工=_n, 则的值是（） a+b ■n94 A?卞 B .巧 C ?可D?号 a3a+b? 9.若—则的值为（) b5b 3 ? 不为0的四个实数a、b , c、d 满足励■=?：＜/，改写成比例式错误的是 （ a d c b d b a c A B ? C ? D ?—-z c b a d a c b d 1■十片7X 4 ? 如果，那么的值是（)? ) 5?若 y X 10. 已知x ： y=3: 2，则下列各式中不正确的是（ ） 、解答题 11. 已知 a ： b : c=2： 3 : 4,且 2a+3b -2c=10，求 a -2b+3c 的值. 12. 已知 == ,且 x+y -z=6,求 x 、y 、z 的值. —r a b 5a-2b 的值. 13. 已知 =口 0求代数式 a 2b 已知 x 2y 14. = ,且 x -y= 2,求 y 的值. 2 a b c ,求a 、b 、c 的值 15. 已知 a+b+c= 60,且一 —— 一 3 4 5 16.已知 a 3，求下列算式的值. b 2 17.已知 — b ，求代数式 5a _ 2b 的值. 2 3 a 2b x y z 18. 已知 2 3 4 亠x 2y … （1） 求 的值； z （2） 如果 \ x 3 y z ，求x 的值. b c — —, 求a 、b 、c 的值. 4 5 专= =身，x - y+z=6,求：代数式3x - 2y+z 的值. 三、填空题 8-5 A 5 一 2 一一 1-n 士 - ￥ ■ 19.已知 a+b+c=60，且 20.已知: 35 C 3-1 D北师大数学九年级上册---图形的相似知识点详细(一)
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