高中数学必修五第一章：解三角形复习课教案
例3、海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一 轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处, 俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？ 此时所在点E 离岛多少千米？
分析：这是一个立体的图形， 要注意画图和空间的简单感觉. 解：①如图：所示. OB=OA
3330tan =ο(千米)，3=OC （千米）
则3
13120cos 22
2=
??-+=
OC OB OC OB BC （千米）
39260
10313=÷=
∴v 船速（千米/小时） ②
由
余
弦
定理得：
=∠=∠∴=?-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,26
13
52cos 222
=?+∠-?=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26
135cos ,26393)26135(
12EBO OEB EBO .13
13
30sin cos 30cos sin )30sin(=
??∠+??∠=?+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639==
v
BE
BE 千米（分钟）. 答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.
四.课堂练习
教材24页复习参考题 五.布置课后作业
高中数学必修五 知识点总结【经典】
《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=
（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
人教版高一必修五解三角形单元试题及答案
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
高中数学的必修五解三角形知识点归纳
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a
注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心 求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4
1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积.
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
完整word版,人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆 的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大 时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若 点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( )
高中数学必修五导学案 解三角形答案
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
人教版高中数学必修五《第一章 解三角形》单元测试
必修五第一章测试题 班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批： 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ） A 3 B 2 C 1 2 D 2 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150° 4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C == ，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b = ，c = ，ABC S =A ∠等于 （ ） A 30 B 60 C 30或150 D 60或 120 8.△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1 2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34 D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc
第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点
必修五解三角形练习题
一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或
10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D． 二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则 的值为． 三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=． （1）求角B的大小； （2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
§1.1.1 正弦定理 课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【学习内容和学习过程】 一、新课导入 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠C=90° 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C = ． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = ． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A = sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 三、课堂巩固 例1. 在ABC ?中，已知45A =?，60B =?，42a =cm ，解三角形． 变式：在ABC ?中，已知45B =?，60C =?，12a =cm ，解三角形．
高二数学必修五解三角形教案
高二数学必修五第一章解三角形教案） （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2 . 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] 如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又 , A 则 b c 从而在直角三角形ABC中， C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD= ,则， C 同理可得， b a 从而 A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过
必修五-解三角形-题型归纳
一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积．
人教版高二数学必修五学案(全套)
加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =
必修五解三角形题型归纳
一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
高中数学必修五解三角形知识点
必修五不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：2 0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径； 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥． ()20,02a b ab a b +??≤>> ???； 2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
新人教版高中数学必修五导学案(全册)
新人教版高中数学必修五导学案（全册） 目录 1.1.1正弦定理 (2) 1.1.2余弦定理 (4) 1.1 正弦定理和余弦定理习题课 (6) 1．2 应用举例 (8) 2.1数列的概念与简单表示法 (11) 2.2等差数列 (14) 2.3等差数列的前n项和 (17) 2.4等比数列 (20) 2.4等比数列的性质 (22) 2.5等比数列的前n项和（1） (24) 2.5等比数列的前n项和（2） (26) 3.1不等关系与不等式 (28) 3.2一元二次不等式及其解法 (30) 3.3.1二元一次不等式组与平面区域 (33) 3.3.2简单的线性规划问题(1) (36) 3.3.2简单的线性规划问题(2) (38) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案1） (40) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案2） (42)
1.1.1正弦定理 课前预习学案 一、 预习目标 了解正弦定理的内容及解三角形的概念 二、预习内容 1、推导正弦定理 正弦定理： 变形： 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 2、了解“解三角形”的概念 三、提出困惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 课标要求： 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题和实际问题。 一、学习目标：掌握三角形中边长和角度之间的数量关系 在已有知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，掌握正弦定理. 通过对本节的学习，能够运用正弦定理等知识，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 重点：正弦定理的证明和解三角形. 难点：正弦定理的证明. 二、学习过程 例1：在ABC ?中，已知3=b ， 60=B ,1=c ，求C A a 及,