2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01-与解三角形有关的最值问题

2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-

微专题01 与解三角形有关的最值问题

与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．

【例1】在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________．答案：255

解析：(解法1)因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2

＋b 2

－

8－a 2－b 2

22ab ＝3(a 2＋b 2)－84ab ≥3ab －4

2ab

，所以

ab ≤

43－2cos C ，从而S ＝12ab sin C ≤2sin C 3－2cos C .设t ＝2sin C

3－2cos C

，则3t ＝2sin C ＋2t cos C ＝

2t 2＋1·sin(C ＋φ)，其中tan φ＝t ，故3t ≤2t 2＋1，解得t ≤255，所以S max ＝25

5，当且仅

当a ＝b ＝2155且tan C ＝5

时，等号成立．

(解法2)以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A ????－c 2，0，B ????c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8得????x －c 22＋y 2＋????x ＋c

22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2

＋y 2

＝4－5c 24，即点C 在圆x 2＋y 2＝4－5c 24上，所以S ≤c 2r ＝

c 2

4－5

c 2＝12·－54????c 2－852＋165≤255，当且仅当c 2

＝85时取等号，故S max ＝255

【方法规律】

1. 注意到a 2＋b 2＋2c 2＝8中a ，b 是对称的，因此将三角形的面积表示为S ＝1

2ab sin C ，利用

余弦定理将ab 表示为C 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．

2. 将c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C 所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a 2＋b 2＋2c 2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB 上的高所满足的条件．

3. 解法1是从将面积表示为角C 的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a 2＋b 2＋2c 2＝8中的a ，b 是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．

【例2】在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B

cos A ＋cos B

(1) 求角C 的大小；

(2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．解析：(1) 因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B

cos A ＋cos B ，

所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，

即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，所以sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π