选修2-2定积分学案
1.5 定积分的概念
学习目标
知识与技能：
1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 过程与方法：
通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。 情感态度与价值观：
通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学习数学的兴趣。
学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 学习过程：
问题 曲边梯形的面积
例如：求图中阴影部分是由抛物线2
y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
解： （1）．分割
在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n
10,n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -??
????
记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -??
=?
???
，其长度为
11i i x n n n -?=
-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
1S ?，2S ?，…，n
S ?i n
i -1n 1O
y
x
y=x 2
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边
图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边
是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”
的思想的应用．
显然，1
n
i
i S S ==
?∑
（2）近似代替
记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ?
很小时，在区间
1,i i n n -??
????
上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
1
i n
-处的函数值1i f n -?? ???
，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小
曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -??
????
上，用小矩形的面积i S '?近似的代替i S ?，即在局部范围内“以直代曲”，则有
22
1111
(1,2,
,)i i i i i S S f x x i n n n n n
---??????'?≈?=?=?== ? ? ??????? ①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积n S 为2
111111
n n
n
n i i i i i i S S f x n n n ===--????'=?=?= ? ????
?∑∑∑
= =
= = 从而得到S 的近似值n S S ≈= （4）取极限
分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，
即x ?趋向于0时，1111132n S n n ????
=
-- ???????
趋向于S ，从而有 1
11
1111lim lim lim 11323n
n n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-??????===--= ? ?????????∑i n
i -1n 1O
y
x
y=x 2
事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 ☆定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和
式：
()()1
1
n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-?=∑
∑
当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：
()b
a
f x dx ?
， 即
()b
a
f x dx ?
=()i n
i n f n
a
b ξ∑
=∞
→-1
lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，()f x dx 叫做 ，区间[,]a b 为 区间，b 叫做积分 ，a 叫做积分 。 说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ?
是一个常数 ；
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：
1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑?； （3）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =
?
；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =?.
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ??
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±?
?? （定积分的线性性质）
性质3
()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<
（定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广：
1212[()()()]()()()b
b b
b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±
±=±±
±?
???
②推广:
()12
1
1
()()()()k
k k
b
c c c b
a
a
c c c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=++
++?
???
?
课堂练习
1、定积分
?
b
a
cdx （常数0c >）的几何意义是
2、由sin y x =，0x =，2
x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是
3、定积分
?
b
a
dx x f )(的大小（ ）
A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关
B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关
C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关
D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 4、下列等式或不等式成立的个数是（ ） ①
??=1
01
)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ???=+π
πππ
2
20
sin sin sin
③
dx x dx x a a
a
??
=-0
2
④1
1dx
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 5、计算下列定积分 （1）2
1
(1)x dx +?
； （2）2
2
x dx -?；
（3
）
a
a
-?
（0a >）； （4）()4
f x dx ?
其中(),01
1,134,34x x f x x x x ≤
=≤≤??-<≤?
.
*6、思考题：你能使用定积分计算出椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的面积吗？
（由()22
2210x y a b a b
+=>>解出椭圆在x 轴上方部分曲线的函数表达式（此时0
y ≥
），然后根据定积分性质1以及上面第5题（3）的结果可求出椭圆在x 轴上方部分的面积）
1.6微积分基本定理
学习目标
知识与技能目标：
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分。 过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 情感态度与价值观：
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
学习重难点
重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，
并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义
学习过程
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
问题：变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系：
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为()s t ,速度为()v t （()0v t ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程的计算可用两种方法： 方法一：可用速度函数表示为
2
1
()T T v t dt ?
；
方法二：这段路程还可以通过位移函数()s t 在12[,]T T 上的增量()()21s T s T -来表达。
那么我们有
()()2
1
21()T T v t dt s T s T =-?
而位移函数()s t 与速度函数()v t 的关系为'()()s t v t =，上式可写为
()()21
21'()T T s t dt s T s T =-?
定义：如果在区间I 上，函数()f x 是函数()F x 的导函数，即对任意x I ∈有
()()'F x f x =
则称()F x 是()f x 在I 上的一个原函数。
如上例中位移函数()s t 便是速度函数()v t 的原函数。 问题：对于一般的连续函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()b
a
f x dx F b F a =-?
？
微积分基本定理
一般地，如果()f x 是区间[],a b 上的 函数，并且 ，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
该公式又叫做 。为了方便起见，还常用 表示()()F b F a -，即
微积分基本定理表明，计算定积分
()b
a
f x dx ?
的关键就是找到函数()f x 的一个原函数(即满
足()()F x f x '=的函数()F x ）。详细原函数对照表与定积分公式表见附录。
课堂练习
1、计算下列定积分.
（1）2
1
5dx -?
； （2）0
32
x dx -?； （3）0
?
； （4）9
1
?
； （5）311dx x ?；
（6）
1
1e
dx x --?
； （7）102x dx ?； （8）10x
e dx ?； （9）2sin xdx ππ?； （10）26
cos xdx π
π?
2、计算下列定积分。 （1）()()30
13t t dt -+?； （2）()
()2
20a
a
x a dx a x
+>?
；
（3）
2
cos
2
d π
θ
θ?
； （4）2
cos sin 22x x dx π
??+ ??
??
.
3、计算下列定积分。 （1）
4
12
dx x +?
； （2）()15
01x dx -?； （3）031x e dx --?； （4）10sin xdx π?.
4、计算下列定积分：
220
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
ππ
π
?
??。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3
(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
图1.6 一 4
（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值
为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于
x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
图 1 . 6 一 5
课后作业：课本第55页习题1.6：A组第1题、B组第1题
定积分的简单应用求体积
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
定积分的概念(教学内容)
授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。
教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ
微元法及定积分的几何应用教案
教案 教学目的与要求： 1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想； 2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题； 3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念 重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想 教学内容与教学组织设计（45分钟）： 第6.5节：定积分的几何应用 1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟 定积分的概念 ? b a dx x f )(0 1 lim ()n i i i f x λξ→==?∑. 教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源 多媒体、板书 授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用
2 介绍微元法 …………………………………..5分钟 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值： ()U f x dx ?≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 ) 则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =； (3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b a U f x dx =? . 这个方法叫做微元法。 微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。 3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟 类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解） 如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴 所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书） (1) 选变量：选x 为积分变量 (2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b a A f x dx = ? 练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解） 如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且 ()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
§1.7定积分的简单应用
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.5 定积分概念第一课时
1.5 定积分概念第一课时 （结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名 【学习目标】 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 重点：会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 难点：了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】 知识点一曲边梯形的面积 思考1如何计算下列两图形的面积？ 思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？ 思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 知识点二 求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以用 、 、 、 的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 【合作探究】 类型一 求曲边梯形的面积 例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积． 类型二 求变速运动的路程 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)， 那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单 位：km)． 【学生展示】探究点一 【教师点评】探究点二及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】 1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 2．函数f (x )＝x 2在区间?? ??i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i )
定积分的简单应用(6)
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
N0.14《定积分的概念》导学案
N0.14《定积分的概念》导学案 目标展示： 1、掌握求曲边梯形面积的步骤。 2、了解定积分的定义和几何意义。 课程导读（阅读教材P38—P49后完成下列问题） 化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 2．在求由x ＝a ，x ＝b (a 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?1 0)1( D ．dx n x p ?10)( 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间????i －1n ，i n 上的值能够用下列哪个值近似代替( )． A ．f ????1n B ．f ????2n C ．f ??? ?i n D ．f (0) 5.求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( ) A.????i －1n ，i n B.????i n ，i ＋1n C.????t (i －1)n ，ti n D.????t (i －2)n ，t (i －1)n 6．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形 面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B.111256 C.110270 D.2564 7．在等分区间的情况下，f (x )＝ 11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式准确的是( ) A.lim n →∞∑i ＝1n [1 1＋????i n 2·2n ] B.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????2i n 2·2n ] C.lim n →∞∑i ＝1n ????11＋i 2·1n D.lim n →∞∑i ＝1n [11＋????i n 2·n ] 8．已知??13f (x )d x ＝56，则( ) A.??12f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??122f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 9．下列等式成立的是( ) A a b xdx b a -=? B. 5.0=?xdx b a
定积分教学设计
定积分的简单应用 一、教学目标 1、 知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、 过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、 情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 二、 教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。 三、教学过程 （一）创设问题情境： 复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 引入：．计算 dx x ? --2 2 2 4 2．计算 ?-22 sin π πdx x 思考：用定积分表示阴影部分面积 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为 （二）研究开发新结论 1计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成图形的面积S. 2计算由抛物线2 y x =在[]0,1上与X 轴在第一象限围成的图形的面积S. 总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形. 2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. dx x f dx x f s b a b a ??-=)()(21
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4计算定积分. （三）巩固应用结论 例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得 到。 解：2 01y x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、 （1，1），面积 S=1 20 x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象； 2.求交点； 3.用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =- 与曲线y =的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线y = 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积． 解方程组4 y y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线y =8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 28 4 4 [(4)]x dx = +--? ? ? -1
2017年定积分导学案
1.5定积分的概念 (一) 一，学习任务 1．连续函数 2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形： (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割： ②近似代替： ③求和： ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 【例题1】求由直线x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2所围成的图形的面积S . 思考1在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么？ 思考2求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？ 3．变速直线运动的路程 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内的位移s . 【例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝ - t 2+2 , 求汽车在t ＝0到t ＝1这段时间内运动的路程s . 二，巩固练习 1．和式)1(y 5 1i i ∑=+可表示为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1) B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1 C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5 D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1) 2．在求由x ＝a 、x ＝b (a
[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 ( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于。。。。。。。。。。。。( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1) C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]) D ．以上答案均不正确 4．在求由函数y ＝1 x 与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分 成n 个小区间，则第i 个小区间为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) A ．[i －1n ，i n ] B ．[n ＋i －1n ，n ＋i n ] C ．[i －1，i ] D ．[i n ，i ＋1n ] 5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) A ．4π B ．5π 2 C ．3π D ．2π 6．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间],1[n i n i (i ＝1,2，…，n )上的值可以用______近似代替 ( ) A.n i B ．）（n f 1 C ．）（n i f D ．n 1 7．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积． 学习报告（学生）： 教学反思（教师）：
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)
教学题目： 选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用 教学目标： 一、知识与技能： 1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 二、过程与方法： 1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点： 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 课型、课时： 新课，一课时 教学工具： 常用教具，多媒体，PPT课件 教学方法： 引导法，探究法，启示法 教学过程
积分?b a f (x )dx 在几何上表示 x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形 的面积。 当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a 经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、 定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分 经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x) 定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计 教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) ( 1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=）， 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。 即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=? 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b 定积分的基本概念 摘要：定积分的概念,原理,思想方法。 关键词：分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点：定积分的数学定义 难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值： 1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图） 2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。 3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。 由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力 F（x）的做的功。 F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
定积分的简单应用
§1.5.3定积分的概念教案
定积分的应用教案
定积分的基本概念
知识讲解_定积分的简单应用(基础)