2016年高考理科数学全国1卷-含答案

2016 年普通高等学校招生全统一考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1） 设集合 A

x x 2

4 x 3 0，B

x 2x 3 0，则A B

（ A ）（ 3 ， 3 ） （B ）（

3 ）

（ C ）（，3

）

（ D ）（

3

2 3 ，

1

， 3 ）

2

2

2

（ 2） 设 (1 i) x

1 yi ，其中 x , y 是实数，则 x

yi

（A ）1

（ B ）

2

（C ） 3

（ D ）2

（ 3） 已知等差数列

a n 前 9 项的和为 27， a 10

8，则 a 100

（A ） 100

（B ）99

（C ）98

（ D ）97

（ 4） 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，

且到达发车站

的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是

（A ）

1

（B ）

1

（C ）

2

（D ）

3

3

2

3

4

（ 5） 已知方程

x 2 y 2

1表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为

4，则 m 的取值范围是

m

2

n 3m

2

n

（A ）（ 1， 3） （ B ）（ 1， 3 ） （C ）（ 0，3） （D ）（ 0 ，

3 ）

（ 6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半

径．若该几何体的体积是

28 ，则它的表面积是

3

（A ）17π

（B ）18π

（C ） 20π

（D ）28π

（ 7） 函数 y

2x 2 x

在

2，2 的图象大致为

e

y y y y

1

1

1

1

-2 O

2

x

-2 O

2 x

-2 O

2

x

-2 O

2

x

（ A ）

（ B ）

（C ）

（ D ）

（ 8）若a b

1， 0 c 1，则

开始

（A ）a c b c（ B）ab c ba c输入 x, y, n

（C）a log b c b log a c（ D ）log a c log b c

x x n 1

, y ny

n n 1

（ 9）执行右图的程序框图，如果输入的x 0 ,y1,n1，则输

2

出 x, y 的值满足

x2y236

否

（A ）y 2x（ B）y 3x（ C）y 4x（ D）y 5x是

（ 10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交 C的准线于D,E两输出 x, y

点．已知 AB 4 2，DE25 ，则C的焦点到准线的距离为

结束（A ）2（B）4（C） 6（D）8

（ 11）平面过正方体ABCD A1 B1C1 D1的顶点A，∥平面 CB1D1，∩平面 ABCD m ，∩平面 ABB1 A1 n ，则m, n所成角的正弦值为

（A）3

（ B）2（C）3（D）

1 2233

（ 12）已知函数f ( x)sin( x) (0,) ， x为 f ( x) 的零点，x为 y f ( x) 图象

244

的对称轴，且 f (x) 在(, 5

) 单调，则的最大值为

1836

（A ）11（ B）9（C） 7（D）5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13) ～ (21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22) ～ (24) 题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。

（ 13）设向量a

222

(m,1) ， b (1,2) ，且 a b a b ，则m．

（ 14）(2x x) 5的展开式中， x3的系数是．（用数字填写答案）

（ 15）设等比数列a n满足 a1 a310 ， a2a4 5 ，则 a1 a2a n的最大值为．

（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 . 生产一件 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料1kg，用 5 个工时；生产一件 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg ，用 3 个工时 . 生产一件 A 产品的利

润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为900 元 . 该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（ 17）（本小题满分12 分）

△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，已知 2 cosC (a cos B b cos A) c .

（Ⅰ）求 C ；

（Ⅱ）若 c7 ，△ABC的面积为3 3

.求△ABC的周长. 2

（ 18）（本小题满分12 分）

如图，在以 A, B, C , D , E, F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD ，AFD90 ，

且二面角 D AF E 与二面角C BE F 都是60°.（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角 E BC A的余弦值.

C

D

E

A F

B

（ 19）（本小题满分 12 分）

某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰. 机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 .

现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜频数

集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得

40

下面柱状图：

20

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器

更换的易损零件数发生的频率，记 X 表示2台机器三年内O

891011 更换的易损零件数共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求 X 的分布列；

（Ⅱ）若要求 P（ X n）0.5 ，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n 19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？

（ 20）（本小题满分12 分）

设圆 x2y 22x 15 0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过 B 作AC的平行线交AD 于点 E .

（Ⅰ）证明EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线C1，直线l交 C1于M , N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

（ 21）（本小题满分12 分）

已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x1)2有两个零点.

（Ⅰ）求 a 的取值范围；

（Ⅱ）设 x1 , x2是f ( x)的两个零点，证明：x1x2 2 .

请考生在第（22）、（ 23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（ 22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲

如图，△OAB 是等腰三角形，AOB120 .以 O 为圆心，1

OA 为半径作圆. 2

（Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O相切；

D C

（Ⅱ）点 C, D 在⊙ O 上，且 A, B, C , D 四点共圆，证明：O

AB∥CD .

A B （ 23）（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中，曲线C1的参数方程为x a cost,

0 ).在以坐标原点y1

( t为参数，a

a sin t ,

为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .

（Ⅰ）说明 C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线 C3的极坐标方程为0 ，其中0 满足tan0 2 ，若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上，求a.

（ 24）（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲

已知函数 f ( x) x 1 2x 3 .

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出y f ( x) 的图像；

（Ⅱ）求不等式 f (x) 1 的解集.

y

1

o

1x

2016 年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析

一、选择题

【答案】

（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B （11）A （ 12） B

【解析】

（ 1）A x x24x 3 0x1 x 3 ，B x 2x 3 0x x3，∴

2

A B x 3

x 3 ．2

（）∵

(1 i ) x 1 yi 即

x xi 1 yi

∴x

1

，解得：

x1

，∴

x yi x

2

y

22

．

2x y y1

（ 3）∵

9(a1a9 )92a5

9a527∴ a5 3 ，∵ a10 8∴ d

a

10a5

1，∴S922105

a

100a

1090d98．

（ 4）如图所示，画出时间轴：

7:307:407:508:008:108:208:30

A C D B

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，

根据几何概型，所求概率p 10101

．

402

（ 5）x2y 21表示双曲线，则(

m2)(32)0

，∴m

2

n 3m

2

m2n3m2n n m n，2c4

∵

2( m2n)(3m2n)4m2

c

解得 m 21，∴ 1 n3．

（ 6）原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的1/8 后的三视图，表面积是7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，

∴ S

7 4

2

2

3

1

2 2 17

8

4

（ 7） f (2)

8 e 2 8 2.82

0 ，排除 A ； f (2)

8 e 2 8 2.72 1，排除 B ；

x 0 时， f ( x) 2x 2 e x ， f ( x) 4x e x ，当 x

(0, 1

) 时， f ( x) 1 4 e 0

0 ∴

4 4

f ( x) 在 (0, 1

) 单调递减，排除 C ；

4

故选 D

（8）对 A ：由于

c

1

，∴函数 y x c

在 R 上单调递增，因此

a

b

1 a c

b c ，A 错误；

对 B ：由于 1 c 1

，∴函数 y x c 1 在 1,

上单调递减，

∴ a b 1 a

c 1

b c 1

ba c ab c ，B 错误

对 C ：要比较 a log b c 和 blog a c ，只需比较

a ln c 和

b ln c

，只需比较

ln c 和 ln c ，只需 bln b

ln b

ln a

bln b aln a

和 a ln a 构造函数

f x xln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0， f x 在

1,

上单调递增，因此

f a

f b 0 a ln a b ln b 0

1

1

bln b

a ln a

又由

c 1 得 ln c

0 ，∴

ln c

ln c blog a c

a log

b

c ，C 正确

a ln a

b ln b

对 D ：要比较

log a

c

和

log b

c

，只需比较

ln c

和

ln c

ln a

ln b

而函数

y

ln x

在

1,

上单调递增，故 a b

1

ln a ln b

1

ln a

又由

c 1 得 ln c

0 ，∴

ln c

ln c log a c log b c ， D 错误

ln a

ln b

故选 C ．

1

1

1

1

【 2°用特殊值法，令

a 3,

b 2,c

2

2 2 ，排除 A ； 3

2 2

得 3

2

3 log 2 1 2log 3 2 ， C 正确； log 3

1

log 2 1 ，排除 D ；∴选 C 】

2

2 2

（ 9）如下表：

判断

循环节运

n 1

y y

ny

x x

x

2

y

2

36

行次数

x

2

运行前 0 1 / 第一次 0

1 否

第二次

1

2

否

2

第三次

3

6

是

2

1

ln b

1

2 32 ，排除 B ；

是否 n n n 1

输出

/ 1

否

2

否

3

是

输出 x

3 6 ，满足 y

4 x

故选 C ．

， y

，

2

（ 10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为 y

2

2 px

p 0 ，设圆的方程为

x 2 y 2 r 2 ，题目条件翻译如图：

F

设 A x 0 ,2 2 ， D

p

, 5 ，

2

点

A

x 0 ,2 2 在抛物线 y 2

2 px 上，∴ 8

2 px 0 ??①

p p 2

D 5 r 2

, 5 2

点 2 在圆 x 2 y 2 r 2 上，∴ ??②

点

A

x 0 ,2 2 在圆 x 2 y 2 r 2 上，∴ x 02 8 r 2

??③

联立①②③解得： p 4

，焦点到准线的距离为 p 4 ．

2°【如图，设抛物线方程为

y 2 2 px ，圆的半径为

r ,

AB, DE 交 x 轴于 C, F 点，则 AC

2 2，即 A 点纵坐

标为 2 2 ，则 A 点横坐标为

4

，即

OC

4 ，由勾股定

p

p

理知 DF 2 OF 2 DO 2 r 2 ， AC 2 OC 2 AO 2

r 2 ，

即 ( 5)

2

( p )2

(2 2)

2

( 4

)2 ，解得 p 4 ，即C 的

2

p

焦点到准线的距离为 4】

（ 11）如图所示：

∵ ∥平面 CB 1D 1 ，∴若设平面 CB 1D 1

平面 ABCD m 1 ，则 m 1∥m

又∵平面

ABCD ∥平面 A 1BC D ，结合平面 B D C

平面 ABCD

B D

1 1 1

1

1

1 1 1

1

1

1

∴

B 1

D 1

∥m

1

，故

B 1

D 1

∥m

D

C

α

A

B

同理可得：

CD 1

∥n

故

m

、 n

的所成角的大小与 B 1 D 1 、 CD 1 所成角的大小

D 1

C 1

相等，即

CD 1B 1 的大小．

A 1

B 1

理科数学试卷A型第8页（共5页）

而

B 1

C B 1

D 1CD

1

（均为面对交线） ，因此 CD 1B

1

，即 sin CD 1B 1

3 ．

3

2

（ 12）由题意知：

π k 1 π

+

4

π +

k 2 π+

π

1 ，其中 k Z

4

2 则2k

f (x) 在

π,

5π

单调，

5 18 π T

,12

18 36

36

12

2

接下来用排除法

11,

π

π 3π

3π 5π

4 ，此时 f ( x)

π ， f (x) 在

若

递增，在

递减，不满

sin 11x

18 ,

,

36

4

44 44

足 f (x) 在

π

,

5π

单调； 18 36

π

9,

sin 9 x

π

，满足 f ( x) 在 π,

5π

单调递减

若

4 ，此时 f ( x)

4

18 36

二、填空题

【答案】

（ 13）-2

（ 14） 10 （ 15） 64 （ 16）216 000

【解析】

（13） 由已知得 a

b

(m 1,3) , ∴ a

2

2

2

1)

2

3

2

m

2

1

2

1

2

22 ，解

b

a

b

( m 得 m

2 ．

2

2

2

2° a

b

a

得 a

b ，∴ m

1 1 2

0，解得 m

2 ．

b

5 r

r （14）

5

r

5 r

r

5 r r 2

x)

C 5 (2 x) ( x)

2 C 5 x ( r 0 1 2

5)

5

3

(2 x

的展开式的通项为

2

得 r

4 ，所以 x 3 的系数是 2C 54 10 ．

a 1 a 3

10

2

a 1

8

（15） 设等比数列

a n 的公比为 q(q

0) ，∴

a 1 a 1q 10

，解得

1 ，

a 2

a 4

q

5

a 1 q a 1 q 3

5

2

n 4

1(3)(2) （n 4）

1 n( n 7) 1

，∴ a 1a 2

a n

1

2

1

故 a n

2

2

2

2

n 3或 4 时， a 1a 2

a n 取得最大值 26 64 ．

1

72

49 n

2

2

4

∴当

（ 16） 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线

性规则约束为

1.5x 0.5y ≤ 150

x 0.3 y ≤ 90 5x 3 y ≤ 600 x ≥ 0

y ≥ 0

x N * y N *

目标函数

z 2100 x 900 y

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为

(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)

在(60,100)

处取得最大值，z 2100 60 900 100216000

三、解答题

（17）解：

（I）由已知及正弦定理的，

2 cosC (sin Acos B sin B cos A)sin C ，

即 2 cosC sin( A B)sin C ，

故 2sin C cosC sin C ，

可得 cosC

1

．

，∴ C

3

2

（ II ）由已知，

1

ab sin C33，

22

又 C，∴ ab 6 ，

3

由已知及余弦定理得，a2b22ab cosC 7 ，

故 a 2 b 213 ，从而( a b)225 ，

∴△ABC的周长为 57

（18）解：

（I）由已知可得 AF ⊥DF ， AF ⊥ FE，∴ AF⊥平面 EFDC ．又AF 平面 ABEF，故平面 ABEF ⊥平面 EFDC ．（II）过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G，由(Ⅰ ) 知 DG⊥平面 ABEF，以 G 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．

由 ( Ⅰ ) 知∠ DFE 为二面角的平面角，故∠=60°，

则，，可得，，，，

由已知， AB ∥EF ，∴ AB∥平面 EFDC ，

又平面 ABCD平面EFDC =CD，故AB∥ CD，CD∥EF，

由BE∥ AF，可得 BE⊥平面 EFDC ，∴∠ CEF 为二面角 C- BE- F 的平面角，∠ CEF =60°，从而可得 C(-2,0,),

∴，，，，

设是平面 BCE 的法向量，则，

即, ∴可取，，

设是平面 ABCD 的法向量，则，

，同理可取

，

则，，故二面角 E- BC- A 的余弦值为.

（ 19）解：

（ I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2，从而

P(X=16)=0.2 × 0.2=0.04 ，

P( X=17)=2 ×0.2 × 0.4=0.16 ，

P( X=18)=2 ×0.2 × 0.2+0.4 × 0.4=0.24 ，

P( X=19)=2 ×0.2 × 0.2+2 × 0.4 × 0.2=0.24 ，

P( X=20)=2 ×0.2 × 0.4+0.2 × 0.2=0.2 ，

P( X=21)=2 ×0.2 × 0.2=0.08 ，

P( X=22)= 0.2× 0.2=0.04，

所以 X 的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04（II）由 ( Ⅰ)知 P( X≤

18)=0.44 ，P( X≤19)=0.68 ，故 n 的最小值为19．

（ III ）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），

当n=19 时， EY=19× 200×0.68+(19 ×200+500) × 0.2+(19 × 200+2× 500) × 0.08+(19 × 200+3

×500) × 0.04=4040 ．

当n=20 时， EY=20× 200×0.88+(20 ×200+500) × 0.08+(20 × 200+2× 500) × 0.04=4080 ．

可知当 n=19 时所需费用的期望值小于n=20 时所需费用的期望值，故应选n=19．

（ 20）解：

（I ）∵

， EB ∥ AC ，故∠ EBD =∠ ACD =∠ ADC ．

∴

，故

．

又圆 A 的标准方程为 ( x

1) 2

y 2 16, 从而

，∴

．

由题设得 A (-1,0) ，B (1,0) ，

，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： x

2

y 2 1（ y 0）．

4

3

（II ）当 l 与 x 轴不垂直时，设

l 的方程为 y k (x 1)（ k

0） M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2, y 2 ) ．

，

y k( x

1)

2

2

2

2

由

2 2

，得 (4

3)

8

4

12

0 ．

x

y

x

x

1 k

k k

4 3

则

x 1 x 2

8k 2

， x 1 x 2 4k 2 12 ；∴ MN

1 k 2

x 1 x 2

12(k 2 1) ．

4k 2

4k 2

3

4k 2

3

3

过点 B(1,0)

且与 l 垂直的直线 m ： y

1

( x 1) ， A 到 m 的距离为

2 ，

k

k 2

1

∴

PQ

2

4

2

(

2

)

2 4

4k 2

3

k 2

k 2

．

1

1

故四边形 MPNQ 的面积 S

1

MP PQ

12 1

4k 1 ．

2

2

3

可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为

(12，8 3) ．

当 l 与 x 轴垂直时，其方程为

x 1, MN 3, PQ 8 ，四边形 MPNQ 的面积为 12．

综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为

[12，8 3）

（ 21）解：

（I ） f ( x)

( x 1)e x

2a( x

1) ( x 1)( e x

2a) ．

（ i ）设 a 0 ，则 f (x) (x 2)e x ， f (x) 只有一个零点．

（ ii ）设 a

0 ，则当 x

(

，1) 时， f (x)

0 ；当 x

(1， ) 时， f (x)

0．

∴ f (x) 在 ( ，1) 单调递减，在 (1， ) 单调递增．

又 f (1)

e ，

f (2)

a ，取

b 满足 b

0 且 b ln a

，则

2

f (b)a

(b2) a(b1)

2

a(b 2

3

b)0 ，22

故 f (x) 存在两个零点．

（ iii ）设a0，由 f ( x)0 得 x1或 x ln(2a) ．

若 a e

1，故当 x(1，) 时， f ( x)0，因此 f (x) 在 (1， ) 单调，则 ln( 2a)

2

递增．又当 x 1时， f (x)0，∴ f (x) 不存在两个零点；

若 a e

1，故当 x(1，ln(2a)) 时， f( x)0 ；当 x (ln( 2a)，)，则 ln( 2a)

2

时， f(x)0 ．因此 f (x) 在 (1，ln( 2a)) 单调递减，在 (ln(2a)， ) 单调递增．又当 x1时， f ( x)0 ，∴ f ( x) 不存在两点零点．

综上， a的取值范围为(0，) ．

（II ）不妨设

，由Ⅰ知， x，

，

(1，) ，x，

，

f ( x)

在

( ，1) x1x2()1(1)x222

(

1)

单调递减，∴ x1x22 f ( x1 ) f ( 2 x2 )，即 f ( 2x2 )0 ．

∵ f (2 x2 )x2e2 x2a( x21)2，而 f ( x2 )(x22)e x2a( x21)20 ，

∴ f (2 x2 )x2e2 x2(x22) e x2．

设 g( x)xe2 x( x2)e x，则 g ( x) ( x1) (e2 x e x ) ．

∴当 x1时， g ( x)0 ，而 g(1)0 ，故当 x1时 g( x)0．

从而 g (x2 ) f ( 2x2 )0 ，故 x1x2 2 ．

（22）解：

（I）设 E 是 AB 的中点，连结 OE．

∵OA =OB，∠ AOB =120°，∴ OE⊥ AB ，∠ AOE =60°．

在 Rt△AOE 中， OE= AO，即 O 到直线 AB 的距离等于⊙

O 的半径，∴ AB 与⊙ O 相切．

（II ）∵ OA =2OD ，∴ O 不是 A, B, C, D 四点所在圆的圆心．设

D C

O

A

O'

E B

O 是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO′．

由已知得O 在线段 AB 的垂直平分线上，又O′在线段 AB 的垂直平分线上，∴OO ′⊥ AB ．同理可证， OO ′⊥ CD ．∴ AB ∥CD．

（ 23）解：

（I）消去参数t得到C1的普通方程x2( y1) 2 a 2． C1是以（0,1）为圆心，a为半径的圆．将 x cos， y sin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为

22sin 1 a

20 ．

（II ）曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组2 2 sin 1 a20 ，

4 cos

若0 ，由方程组得 16 cos28sin cos 1 a20 ，由已知 tan 2 ，可得

16 cos28 sin cos0，从而 1 a 20，解得 a1（舍去）， a 1 ．

a 1 时，极点也为C1,C2的公共点，在C3

上．∴ a 1．

（ 24）解：

x，x1

（I） f (x) 3x，13， y f (x)的图像如图所示．

2x

2

x4，x3

2

（II ）由f ( x)得表达式及图像，当

f ( x)1时，可得 x1或 x 3 ；

当 f ( x)1时，可得x 1或3

x 5；

故 f (x)1的解集为x1x 3 ；

f ( x) 1 的解集为

x丨 x 1

或 x 5 ．3

∴ f (x) 1 的解集为

x丨 x 1

或1 x3或 x 5 ．

3

y

1

o

1x