高中数学二轮复习 函数专题(整理)人教版
专题一 函 数
【考点聚焦】
考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值； 考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；
考点3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用； 考点4：反函数的定义、求反函数、函数图象的位置关系； 考点5：抽象函数问题的求解
考点6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题 考点7：导数的概念及运算，导数的应用. 【自我检测】
1、函数的定义是_______________________________________________.
2、对于函数定义域内任意x ，若有＿＿＿＿＿＿则f (x )为奇函数，若有＿＿＿＿，则f (x )为偶函数.奇函数的图象关于＿＿＿＿对称，偶函数的图象关于＿＿＿＿对称.
3、给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1,x 2∈D，当x 1 4、设函数y =f (x ), x ∈D, 如果存在非零常数T ，使得对任何x ∈D，都有＿＿＿＿＿＿，则称f (x )为周期函数，T 为函数f (x )的一个周期. 5、求反函数的三个步骤分别为＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿. +a -p =_____(注意条件)，零指数幂a 0 =_____；分数指数幂n m a ＝＿＿＿；n m a a ＝＿ ＿＿＿；n m a )(＝＿＿＿；（ab ）m =_______. 8、对数的运算性质及恒等式：)(log MN a ＝＿＿＿＿＿；)( log N M a ＝＿＿＿＿＿＿；n a M log ＝＿＿＿＿；N a a log =________;a a log =_______;1log a =____. 9．换底公式：N a log =______. 10、指数函数、对数函数的图象和性质 ＿＿＿. 12、写出常见函数的导数： 13、导数与单调性：f ＇(x )≥0?＿＿＿＿＿，f ＇(x )≤0?＿＿＿＿＿ 【重点?难点?热点】 问题1：函数的定义域问题 函数由定义域，解析式，值域三要素构成，而注重解析式同时还要注意定义域的限制，定义域的求法主要是使得解析式有意义，另外含参数函数以及复合函数的定义域是难点，含参数函数定义域往往需要分类讨论，复合函数定义域求法： ()f x 定义域为[,]a b ，[()]f g x 的定义域是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； 而若已知[()]f g x 定义域为[,]a b 是指[,]x a b ∈，此时求()f x 定义域是指在 [,]x a b ∈的条件下，求()g x 的值域 1. 函数1 y x = 的定义域为 2. （含参数）求函数0,1,0,1)a a b b y >≠>≠= 的定义域 ()1)0,2)0,0,{|log }0,0,{|log } 01,0,x x x a b a b a k b a k b k x R k a b x x x k k a b x x x k k a b x R ->?>≤∈>>>∈>><<∈<<<=>∈ 3. 【06湖北高考】22()lg x x f x +-=，则2 2()()x x f f +的定义域为(4,1)(1,4)--U 4. (lg(1))f x +的定义域为[0,9]，则函数(2)x f 的定义域为(,0]-∞ 5. （逆向思维）()f x =的定义域为R,则求m 的取值范围（答案 [0,4]） 问题2：函数的解析式问题 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 要在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力。求解函数解析式的方法主要有。 1. 代入法 2 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 3 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 4 消参法（构造方程组法），若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法。 6. 函数2,(0) ()1,(0)x x f x x x ?≥?=?+ ，则不等式(1)2f x +>的解集为 思路分析：代入法，过程略 7. (1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2 x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式 思路分析 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t =log a x (a >1，t >0；0 因此 f (t )= 1 2 -a a (a t －a －t ) ∴f (x )= 1 2 -a a (a x －a － x )(a >1,x >0;0 (2)设f (x )=ax 2+bx +c ，由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c 得??? ?? ? ???=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－ 1， 所以所求函数为 f (x )=2x 2－1 或f (x )=－2x 2+1 或f (x )=－x 2－x +1 或f (x )=x 2－x －1 或f (x )=－x 2+x +1 或f (x )=x 2+x －1 点评 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力。解题时要深刻理解“f ”的意义，用好等价 转化，注意定义域。 8. 已知f (2－cosx )=cos 2x +cosx ,求f (x －1) 点拨与提示：本题用换元法或配凑法求解. 9. 设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2， 0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象 点拨与提示 本题主要考查运用待定系数法求函数表达式以及分段函数图象的作法，分段函数是高考的热点题型之一，对分段函数的分析需要较强的思维能力。 10. 已知2211 ()f x x x x -=+，则(1)f x += 11. ()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式 思路分析：构造方程组法，过程略 12. 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且对于定义域内的任意x ，都有 2()()2f x g x x x -=-，求()f x 与()g x 的解析式 析：2()()2f x g x x x ---=+即2()()2f x g x x x --=+又2()()2f x g x x x -=- 得()2f x x =-，2()g x x =- 13. （08安徽）若函数(),()f x g x 分别为R 上的奇函数和偶函数且满足： ()()x f x g x e -=，则有（D ） .(2)(3)(0).(0)(3)(2) .(2)(0)(3).(0)(2)(3) A f f g B g f f C f g f D g f f <<<<<<<< 14. （07安徽）已知函数()y f x =是定义在区间33 ,22 []-上的偶函数，且 3 2[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式 (2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值 思路分析：利用函数的奇偶性求解（1）2 235(0)2 35(0)2 ()x x x x x x f x ?--+≤≤????-++-≤ （2）不妨设A 在第一象限，设2(,5)A t t t --+， ()302 t <≤， 则2(,5)B t t t ---+ 2()2(5)S t t t t =--+322210t t t =--+令'2()64100S t t t =--+=得1t =或53 t =-（舍） 01t <<时，'()0S t > 32 1t <≤时，'()0S t < 则1t =时，max ()(1)6S t S == 15. 已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数 ()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在 [1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5 （1）证明：(1)(4)0f f += （2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式 （3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式 （1）证明：()f x Q 为周期函数，且5T = (4)(1)f f ∴=-，又Q ()y f x =(11)x -≤≤是奇函数 ∴(1)(1)0f f +-=即(1)(4)0f f += （2）[1,4]x ∈时，设25()(2)f x a x -=-， Q (1)(4)0f f +=∴5450a a -+-= ∴2a = ∴2()2(2)5f x x =--（[1,4]x ∈） （3）Q ()y f x =(11)x -≤≤是奇函数 ∴(0)0f =设[0,1]x ∈时()f x kx =， Q (1)(4)0f f +=又由（2）知(4)3f =，则(1)3f =-∴3k =- ∴[0,1]x ∈时()3f x x =- [1,0]x ∈-时，[0,1]x -∈，()3f x x -=()f x =-∴()3f x x =- ∴[1,1]x ∈-时，()3f x x =- ∴[4,6]x ∈时5[1,1]x -∈-,()(5)3(5)315f x f x x x ∴=-=--=-+ [6,9]x ∈时，5[1,4]x -∈，2()(5)2(7)5f x f x x -∴=-=- 2 315(46) 2(7)5(69)()x x x x f x -+≤≤??--<≤?∴= 16. 已知函数()f x 的图像与函数1 ()2h x x x =++的图像关于点A(0,1)对称 （1）求函数()f x 的解析式 （2）若()()a g x f x x =+，且()g x 在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围 17. 设()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时， 2()2f x x x =-，求[2,0]x ∈-时()f x 的解析式 思路分析：演变1：利用函数的对称性；演变2：利用函数的周期性 问题3：函数值域的应用 (1)函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)运用函数的值域解决实际问题，此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决，此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 18. 函数y x =，求值域 19. 函数y x = 20. 函数1 (13)21x y x x += <<+，求值域 21. 函数2 34x x y +=(1)x >，求值域 22. 已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =2 1时，求函数f (x )的最 小值 (2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a =21时，f (x )=x + x 21 +2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)= 2 7 (2)解法一 在区间［1，+∞)上， f (x )=x a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立 设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增， ∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3 解法二 f (x )=x + x a +2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正； 当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a , 当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3 点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 23. （05年上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、 B,j i AB 22+=(i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2－x －6． (1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数 ) (1 )(x f x g +的最小值． 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，)(1)(x f x g +＝252+--x x x ＝x+2+2 1 +x － 5，用不等式的知识求其最小值． 24. 2,22 cos ,[]y x x x ππ -=∈- ，求值域 演变1（05年北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ． （I ）求f (x )的单调递减区间； （II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 25. 设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m + 1 1 -m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M (2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值 (3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1 易错题 26. 3()log 2f x x =+，[1,9]x ∈，求函数22[()]()y f x f x =+的值域 解：2 1919 x x ≤≤??≤≤?得13x ≤≤ 2233(2log )log 2y x x =+++=233(log )6log 6x x ++ 令3log t x =（01t ≤≤） 266y t t =++2(3)3t =+- 613y ∴≤≤即值域为[6,13] 27. 定义在R 上的函数()f x 对一切实数,x y 满足：()0f x ≠，且 ()()()f x y f x f y +=。已知()f x 在(,0)-∞上的值域为(1,)+∞，则()f x 在R 上 的值域为(0,)+∞ 28. 定义域为R 的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()y f x a =+的值域为[,]a b 29. 已知二次函数2()f x ax bx =+，(0)a ≠，满足条件(5)(3)f x f x -+=-，且方 程()f x x =有等根。 （1）求()f x 的解析式 （2）问：是否存在实数,m n ，使得()f x 的定义域和值域分别为[,]m n ，和[3,3]m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，说明理由 问题4：函数的性质 函数的性质是函数部分的重点，而函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 30. ()f x 为定义在R 上的奇函数，且()y f x =图像关于直线1 2 x = 对称，则(1)(2)...(2010)f f f +++= 析：()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=- ()y f x =图像关于直线1 2 x = 对称，则()(1)f x f x -=+， 得(1)()f x f x +=- ∴()f x 为周期为2的函数 由(0)0f =得(1)0f =，(2)0f = 得(1)(2)...(2010)(1)(2)0f f f f f ++=+= 31. 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；判断函数的奇偶 性：先看定义域是否关于原点对称；再判断关系式：()()f x f x -=-奇函数； ()()f x f x -=偶函数对于(2)，判定 2 11 21x x x x --的范围是焦点 证明 (1)由f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2 1x x x --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减 令0 2 11 21x x x x --) ∵0 1 21 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0< 12121x x x x --<1,由题意知f (2 1121x x x x --)<0， 即 f (x 2) ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数 点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力，对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 32. 定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a 、b ∈R， 有f (a +b )=f (a )f (b )，（1）求证：f (0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R，恒有f (x )>0； （3）证明：f (x )是R 上的增函数； 点拨与提示：根据f (a +b )=f (a )·f (b )是恒等式的特点，对a 、b 适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f ”得到关于x 的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法. 33. 已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在 实数m ,使f (cos 2θ－3)+f (4m －2mcos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2 π ］都成立？ 若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由 点拨与提示 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力 要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 34. （04全国）设()f x 为定义在R 上的偶函数，且图像关于直线1x =对称，对 于任意的121 ,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x += （1）设(1)2f =，求11 (),()24 f f （2）证明：()f x 为周期函数 解：（1）()()()022 x x f x f f =≥ 2111(1)()()()2222f f f f ===1 ()2 f ∴=同理：141 ()24 f = （2）()f x 为定义在R 上的偶函数 ∴()()f x f x -= 又Q 图像关于直线1x =对称 ∴()(2)f x f x -=+ ∴()(2)f x f x =+ ∴()f x 为周期为2的周期函数 35. 函数()f x 满足：(1)2f =，1() (1)1() f x f x f x ++= -，则(3)f = ， (1)(2)...(2009)f f f = 析：可判断()f x 为周期为4的函数，而11 (1)2,(2)3,(3),(4)23 f f f f ==-=-= (1)(2)(3)(4)1f f f f =，所以(1)(2)...(2009)f f f =(2009)(1)f f ==2 36. 设函数()f x 在R 上满足：(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在区间 [0,7]上，只有(1)(3)0f f == （1）试判断函数()f x 的奇偶性 （2）试求方程()0f x =在区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论 解：（1）(2)(2)()(4)f x f x f x f x -=+∴-=+Q (7)(7)()(14)f x f x f x f x -=+∴-=+Q (4)(14)f x f x ∴+=+ ()(10)f x f x ∴=+ (1)(3)0f f ==则(7)0f -=而(7)0f ≠ ∴()f x 为非奇非偶函数 （2）由题意可得在[0,10]上只有(1)(3)0f f ==，在[10,0]-上只有 (7)(9)0f f -=-=，所以在[0,2005]，(2001)(2003)0f f ==所以有 20022404?+=个，在[2005,0]-，有2002400?=个，所以在[2005,2005]-，有804个根 问题5：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题 三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具。高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 37. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足 a > b > c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围 (1)证明由???-=++=bx y c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0 Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +4 3)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴4 3c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ a b 2,x 1x 2a c |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2 22222 24444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--== 22134[()1]4[()]24 c c c a a a =++=++ ∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0，∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是 2 1=a c a c ∈(－2,－21 )时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3) 点评 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 解答本题的关健是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合由于此题表面上重在“形”，因而一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数” 38. 已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非 负的，求关于x 的方程 2 +a x =|a －1|+2的根的取值范围 问题6：含参数的指数函数、对数函数与不等式综合问题 掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域. 39. 在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000( 10 a )x (0 值范围； (3)设C n =lg (b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由 思路分析 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认 识，从中找出n b 与n 之间的关系式. 解 (1)由题意知 a n =n +21,∴b n =2000(10 a )21 + n (2)∵函数y =2000( 10 a )x (0b n +1>b n +2 则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n , 即( 10a )2+(10 a )－1>0，解得a <－5(1+2)或a >5(5－1) ∴5(5－1)