运筹学复习笔记

运筹学复习笔记

Part 1 题型

1.选择题（20分）

2.填空题（40分）

3.建模题（40分）

4.决策问题（20分）

5.运输问题（10分）计算

Part 2 需要掌握的知识点

Chapter 2 线性规划与单纯型法

一、线性规划问题（建模）

二、求解两个变量的线性规划模型——图解法

附：图解法的启示

1)图解法求解结果的几种可能情况：

唯一最优解

无穷多最优解

无界解（并不是说可行域是无界的线性规划问题的解就一定是无界解）

无可行解

2)若线性规划问题的可行域非空，则可行域是一个凸集。

3)若线性规划问题的最优解存在，则一定可以在可行域的凸集的某个顶点达到。（线性规

划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。）

三、单纯形法准备知识——标准型

1) 标准型的四个条件

目标函数为极大（max ） 所有的约束条件满足等式 所有的决策变量非负 右端常数均为非负数 2) 化为标准型的方法

若要求目标函数实现最大化，即max z=CX 。这时只需将目标函数最小化变换求目

标函数最大化，即令 z ′=-z ，于是得到max z ′= －CX 。这就同标准型的目标函数的形式一致了。

约束方程为不等式。这里有两种情况：

一种是约束方程为‘≤’不等式，则可在‘≤’不等式的左端加入非负松弛变量j x ，把原‘≤’不等式变为等式，j x 0；

另一种是约束方程为‘≥’不等式，则可在‘≥’不等式的左端减去一个非负剩余变量k x （也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件,目标函数中加上

k x 0 (松弛变量).

若变量约束中：0≤i x ，则令i i x x -='，得到0≥'

i x ；若R ∈j x ，则令

"'=j j j x x x -，其中0≥"'j j x x ，，用 '

i x 、'j x 、"j x 分别代替i x 、j x 后得到线

性规划的变量约束均为非负约束。 资源限量bi ≥0。

四、单纯型法准备知识——线性规划问题解的概念

1) 可行解：满足约束条件式（等式约束、非负约束）的解。 2) 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。

3) 基：约束方程组的系数矩阵n m A ?的一个满秩的子矩阵m m B ?，B 称为线性规划问题的

一个基。

附：

基向量：B矩阵中每一个列向量都称为基向量。

x（可以不止一个）称为基变量，其他的变量基变量：选定的向量（基向量）对应的变量

i

称为非基变量。

4)基解：有一个基就可以求出一个基解（运用克莱姆法则）。

5)基可行解：满足非负条件式的基解（基解是根据等式约束条件得到的，还没有涉及目标

函数和变量非负的约束条件，相当于对一个非齐次线性方程组求解。当这样的基解满足变量非负的约束条件时，我们称它为基可行解。PS：并不一定是最优解。）

6)可行基：与基可行解相对应的基称为可行基。

7)可行域（可行空间）

8)几何性质——凸集的概念

考题：求基解、判断是否为基可行解、是否为最优解

五、线性规划问题的一些性质

六、单纯形表（了解，知道如何寻找主元）

口诀：

最大最小找主元

初行变换得新解（新的基可行解）

目标函数有改善

例题：

1.例2-1线性规划问题建模

2.用图解法求解例2-1中建立的线性规划模型

3. 把例2-1中建立的线性规划模型化为标准型

4. 指出例2-1中建立模型的基、基变量、基解、基可行解和可行基

5. 单纯型表相关的题型

→j c

2

3

i θ B C

B X b

1x

2x

3x

4x

5x

0 3x

8 1 2 1 0 0 4 0 4x 16 4 0 0 1 0 - 0

5x

12

0 4 0 0 1 3 i j z c -

2

3

进行一轮计算以后得到下表

→j c

2

3 0 0 0 i θ

B C

B X

b

i j z c -

6. 一个更为复杂的建模题

某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如表，若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立线性规划模型。

季度）

（j 生产能力）

（j a 生产成本）

（j d 需求量）（j b 1 30 15 20 2 40 14 20 3 20 15.3 30 4

10

14.8

10

Chapter 3 对偶理论与灵敏度分析（4分）

一、影子价格

1)含义：代表在资源最优利用条件下，对第i种资源一单位的估价，这种估价不是资源的

市场价格，而是根据资源在生产中做出的贡献而做的估价。

2)经济意义

影子价格反映资源对目标函数的边际贡献，即资源转化成经济效益的效率。

影子价格反映了资源的稀缺程度。

影子价格反映了资源的边际使用价值。

Chapter 4 运输问题（10分）

一、确定初始基可行解——最小元素法、伏格尔法

确定初始可行解的方法考试不要求，但是对于理解最优解的判别很有帮助。

单位运价表

销地

产地

B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10

A2 1 9 2 8

A3 7 4 10 5

产销平衡表

产地

销地

产量B1 B2 B3 B4

A1 7 A2 4 A3 9 销地 3 6 5 6 --

最小元素法

思想：从单价中最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到给出初始基可行解为止。Step 1

产地

销地

B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10

A2 19 2 8

A3 7 4 10 5

产地

销地

产量B1 B2 B3 B4

A1 7 A2 3 4 A3 9 销地 3 6 5 6 --

Step 2

产地

销地

B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10

A2 1 9 28

A3 7 4 10 5

产地

销地

产量B1 B2 B3 B4

A1 7 A2 3 1 4 A3 9 销地 3 6 5 6 --

Step 3

产地

销地

B1 B2 B3 B4 A1 3 11 310

A2 1 9 2 8

A3 7 410 5

产地

销地

产量B1 B2 B3 B4

A1 4 3 7 A2 3 1 4 A3 6 3 9 销地 3 6 5 6 --

口诀：

最小运价定方向，

需求满足便退出，

供给耗尽线划去；

余下运价找最小，

直到运价全划去，

所得必是可行解。

伏格尔法

最小元素法的缺点：可能开始节省一处的费用，但随后在其他几处要多花几倍的运费。

伏格尔法的思想：对差额最大处采用最小运费调运。

Step 1 根据单位运价表分别算出各行和各列的最小运费和次小运费的差额。

产地

销地

行差额B1 B2 B3 B4

A1 3 11 3 10 0 A2 1 9 2 8 1 A3 7 4 10 5 1 列差额 2 5 1 3 -- Step 2 从行和列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中的最小元素，确定供给方向。（这一步是对伏格尔法思想的体现）

产地

销地

行差额B1 B2 B3 B4

A1 3 11 3 10 0 A2 1 9 2 8 1 A3 7 4 10 5 1 列差额 2 5 1 3--

产地

销地

行差额B1 B2 B3 B4

A1 3 11 3 10 0 A2 1 9 2 8 1 A3 7 4 10 5 1 列差额 2 5 1 2 --

产地

销地

行差额B1 B2 B3 B4

A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 1 A3 7 4 10 5 1 列差额 2 5 3 10 --

产地

销地

行差额B1 B2 B3 B4

A1 3 11 3 10 3 A2 1 9 2 8 1 A3 7 4 10 5 1 列差额 2 5 3 10 --

产地

销地

产量B1 B2 B3 B4

A1 5 2 7 A2 3 1 4 A3 6 3 9 销地 3 6 5 6 --

口诀：

行列运价求差额，

差额最大找最小（差额最大行、列处找最小的运价），

最小运价定方向；

需求满足便退出，

供给耗尽线划去；

余下步骤均相同，

直到运价全划去，

所得必是可行解。

二、最优解的判别方法——闭回路法

要求：求检验数、调整方案、往下进行一步（4~6分）（选填题）

最优解的判别方法：计算空格（非基变量）的检验数。当检验数还存在负数时，说明原方案不是最优解，需要继续改进。

例题：用闭回路法检验上一步中最小元素法得到的初始基可行解是否为最优解。

产地 销地

产量 B1

B2 B3 B4 A1 4 3 7 A2 3 1 4 A3 6 3 9 销地

3

6

5

6

--

闭回路法计算检验数的经济解释：在已给出初始解的上表中，可以从任一空格出发，如（A1，B1），若让A1的产品调匀一吨给B1。为了保持产销平衡，就要依次做调整：在（A1，B3）处减少一吨，（A2，B3）处增加一吨，（A2，B1）处减少一吨，即构成（A1，B1）空格为起点，其他为数字格的闭回路。

检验数——调整后运费的增减数

本例中的检验数为：)(11)1(2)1(3)1(3)1(元=?-+?++?-+?+，以其他空格为起点可以得到更多的检验数。如果得到的检验数全为正，则说明初始方案无法得到进一步改进，即初始方案为最优解；反之，初始基可行解不为最优，还存在改进的空间。

三、运输问题的一些性质

基变量的个数（上一个知识点中，通过最小元素法得到的初始基可行解的基变量的

个数为6）

PS ：在产销平衡的运输问题中，1-销售个数产地个数基变量的个数+=。 闭回路的顶点数永远是偶数（只有这样才能保证产销的均衡）

Chapter 5 整数线性规划（20分）

一、整数规划问题（建模）：把文字描述分析转化为数学模型

整数规划问题：是一类特殊的线性规划问题，是指要求部分或全部决策变量的取值为整

数的规划问题。其中，重点掌握整数线性规划问题。

二、整数规划问题的决策 三、整数线性规划问题的类型

纯整数线性规划（重点掌握）——全部决策变量都必须取整数值

混合整数线性规划——决策变量中一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值 0-1型整数线性规划（重点掌握指派问题）——决策变量只能取0或1（用于表现

分析投资还是不投资这类问题）

四、人力资源的分配问题（选填题）

要求：明白求解的逻辑和方法，求解的结果不要求给出 标准指派问题的数学模型

1 指派第 i 个人做第 j 件事

=j i x

0 不指派第 i 个人做第 j 件事

∑∑

===n

j ij

ij n

i x

c Z 1

1

min

????

?????=====∑∑==1

0,...2,1,1,...2,1,1.1

1或ij

n

j ij n

i ij x n j x n i x t s PS ：一项任务只能由一个人完成，一个人只能完成一项任务。 指派问题的匈牙利解法

匈牙利法求最优解的理论依据——指派问题最优解的性质：若从系数矩阵（ij c ）的一行（列）各元素中分别减去该行（列）的最小元素，得到新的矩阵（ij b ），那么以（ij b ）为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求得的最优解相同。

Step 1使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素（只有这样才能保证每个人都被分配到任务）。

系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素；再从系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素；若某行（列）已有0元素，那就不必再减了。

Step 2进行试指派，以寻求最优解。

目标：寻找独立的0元素（位于不同行不同列的0元素），独立的0元素的位置便是需要安排人的地方，这样的安排所需要的总时间最少（总耗费最低）。

目标的实现方法：当n（任务数或者人数）较小时——观察法、试探法（重点掌握）；当n较大时采用以下步骤寻找0元素：

Step 2.1 从只有一个0元素的行开始，给这个0元素加圈圈。这表示对这行所代表的人，只有一种任务可指派。然后划去圈圈所在列的其他0元素，记作Φ。这表示这列所代表的任务已经指派完，不需要再考虑其他人了。

Step 2.2 给只有一个0元素列的0元素加圈圈。这表示这列所代表的这项任务，只有一个人做。然后划去圈圈所在行的其他0元素，记作Φ。这表示这行所代表的人已经被只拍了任务，对其他的任务不再考虑。

Step 2.3 反复进行step 2.1 和step 2.2 ，直到所有的0元素都被圈出和划掉为止。

Step 2.4 （这一步太复杂，等以后慢慢研究吧）

Step 2.5 若画圈圈元素的数目m等于矩阵（方阵）的阶数，那么指派问题的最优解已得到。

例题1 整数线性规划问题的建模与求解

某厂利用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱体积重量、可获利润及托运限制如下：

体积重量利润甲 5 2 20

乙 4 5 10 托运限制24 13 --

两种货物各托运多少箱使利润最大？

例题2 建模——人力资源的分配问题（指派问题）

有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记做E、J、G、R。现有甲、乙、丙、丁4人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需的时间如下，问应指派何人去完成何种工作，使所需总时间最少？

c

效率矩阵（系数矩阵）

ij

人员

E J G R

任务

甲 2 15 13 14

乙10 4 14 15

丙9 14 16 13

丁7 8 11 9

例题3 指派问题的求解——匈牙利解法（有难度）

任务

人员

A B C D E 甲12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙7 17 12 14 9 丁15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9

Chapter 8 & 9 图与网络分析（10分）

一、了解一些图的基本的概念

结合图形理解下列概念：

边、弧：把两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。

无向图：如果一个图是由点及边所构成的，则称之为无向图（也简称为图），记为

G （V ，E ）。

有向图：如果一个图是由点及弧所构成，则称为有向图，记为D （V ，A ）。 无向图的一些名词和记号：

（边的）端点、（点与点）相邻、（边是点的）关联边、环（两个端点相同的边）、多重边（两个点之间有多余一条的边）、简单图（无环无多重边的图）、多重图（一个无环，但允许有多重边的图）、

次：以点v 为端点的边的个数称为点v 的次，记为d(v)。要求：会计算（数）端点的次、特别注意有环存在时的次（记两次）。

悬挂点、悬挂边：次为1的点称为悬挂点、悬挂点的关联边称为悬挂边。 孤立点：次为零的点称为孤立点。

奇点、偶点：次数为奇的点称为奇点，次数为偶的点称为偶点。 链、中间点、圈

初等链：中间点均为不同点的链称为初等链（一个点不经过两次）； 初等圈：中间点均为不同点的圈称为初等圈。

简单链（圈）：链（圈）中含有的边均不相同（同一个边不经过两次）。 连通图、不联通图：任何两个点之间至少有一条链的图，否则称为不连通图。 连通分图：若G 是不连通图，它的每个连通的部分称为G 的一个连通分图（简称分图）。

支撑子图：给一个图),(E V G =，如果图),(E V G ''='，使V V '=及E E '∈，则称G '为G 的一个支撑子图。

有向图的一些名词和记号

基础图：设给了一个有向图)A ,(D V =，从D 中去掉所有弧上的箭头就得到一个

无向图，称之为D 的基础图，记为)D (=G 。“有向图无向化以后得到有向图的基础图”。

始点、终点：给D 中的一条弧a=(u,v)，称u 为a 的始点，v 为a 的终点。 路 回路

链（P 标号、T 标号）

二、树

树的定义：一个无圈的连通图称为树 树的性质

① 设图),(E V G =是一个树，2p(G)≥，则G 中至少有两个悬挂点。 PS ：图G 或图D 的点数记为p(G)或p(D)，边（弧）数记为q(G)或q(D)

② 图),(E V G =是一个树的充分必要条件是G 不含圈，且恰有1-p 条边 ③ 图),(E V G =是一个树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链（无论去掉哪一条边，都会变成一个不连通图）

三、图的支撑树

支撑树的定义：设图),(T E V '=是图),(E V G =的支撑子图，如果),(T E V '=是

一个树，则称T 是G 的一个支撑树。

寻求连通图的支撑树的方法——破圈法、闭圈法

这两种方法的理论支持：图G 有支撑树的充分必要条件是图G 是连通的。 破圈法：任取一个圈，从圈中去掉一边，对余下的图重复这个步骤，直到不含圈时为止，即得到一个支撑树。

闭圈法：

四、最小支撑树问题

知识准备——赋权图

最小支撑树：在所有的支撑树中权最小的树

最小支撑树的求法

避圈法

破圈法

五、最短路问题

知识准备——最短路

最短路的算法——双标号（T标号、P标号）算法，也叫狄克斯拉算法

理论基础：假定{(1，2)，(2，3)，(3，4)}是点1到4的最短路，则{(1，2)，(2，3)}是点1到3的最短路；{(2，3)，(3，4)}是点2到4的最短路。

Chapter 10 存储论（4分）（选填题）

一、模型一：不允许缺货、备货时间很短

要求：计算最佳经济订购批量、模型的运用条件（假设条件）