函数的单调性·典型例题精析
2.3.1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3| (2)y (3)y = = x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示. 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 解当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x. 当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1] 上是在x∈[-1,1] 上是. 而=在≥上是增函数. y u0 u ∴函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1]. 【例2】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范
围. 解 当a =0时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数. 当≠时,对称轴= , 若>时,由>≤,得<≤. a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a <0时,无解. ∴a 的取值范围是0≤a ≤1. 【例3】已知二次函数y =f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线,试比较大小: (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y =f(x)的图像开口向下,且对称轴是x =3,∴x ≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴=,∴=,而< <,函数在≥15 时为减函数. ∴>,即>.f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数= ≠在区间-,上的单调性.f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(-1,1),且x 1<x 2. ∵-= ∵-<<<,+>,->,-<,-<.∴ >f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a >0时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上是增函数. 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证 取任意两个值x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2. ∵-=-++这里有三种证法:当<时,++=+->当≥时,++>f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一
第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第8讲:函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数). (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫做f(x)的单调区间;若函数是增函数则称该区间为增区间,若函数为减函数则称该区间为减区间. 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数f(x),若函数图像从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增;若函数图像从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减. 3. 复合函数的单调性 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x∈(a,b)时,u∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:增增(或减减)则增,增减(或减增)则减. 4. 函数单调性的常用结论 (1)对?x1,x2∈D(x1≠x2),f(x1)-f(x2) x1-x2>0?f(x)在D上是增函数; f()x1-f()x2 x1-x2<0?f(x)在D上是减函数. (2)对勾函数y=x+a x(a>0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为(-a,0)和(0,a). (3)在区间D上,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值(1)
【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 知识点二函数的最值 第1页共9页
第 2 页 共 9 页 【特别提醒】 1.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y = 1 f (x ) 的单调性相反. 2.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的单调增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.(2020·新课标∈)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( ) A. 是偶函数,且在1(,)2 +∞单调递增 B. 是奇函数,且在11(,)22 -单调递减 C. 是偶函数,且在1 (,)2 -∞-单调递增 D. 是奇函数,且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ,关于坐标原点对称, 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x ∴为定义域上的奇函数,可排除AC ; 当11,22x ?? ∈- ?? ?时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--, ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增,()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减,
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间: 例1.下列函数中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x ”的是( ) A .()f x =1x B .()f x =2(1)x - C .()f x =x e D .()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数:①1 2y x =,②12 log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增,则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围: 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+=?≥?为R 上的减函数,则a 的取值范围为_______ 演变1.已知函数(2)1,1(),1x a x x f x a x -+=? ≥?是R 上的增函数,那么a 的取值范围是______ 3.利用单调性求最值: 例1. 函数y =的值域为 演变1.已知()f x 的值域为34 [,]89 ,则()y f x =的值域为
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明:在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0,x2>0,∴∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华:可以用同样的方法证明此函数在上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2;(2) 解:(1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;(2)(3). 解:(1)画出函数图象, ∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,
在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小. 解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则. 4. 求下列函数值域: (1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增,;
高考数学专题:函数的单调性
高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求:了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。 (2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。 (3)定量刻画,即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法: ①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 与之相等价的定义:⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 ②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`a 且0≤b 。 (年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的 (2)在哪些区间上升哪些区间下降 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降;
(2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 (2)f (x )=x 2. ①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 ②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化 解:(1)①从左至右图象是上升的; ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大. (2)①在区间(-∞,0)上,随着x 的增大,f (x )的值随着减小; ②在区间[0 ,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着增大. 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ,满足12x x <且12()()f x f x <,那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗 解:不一定,例如下图: 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数. 解:函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---; 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数,在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 证明:设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x < (取值) 则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ (作差)
专题一:导数与函数的单调性
专题一:导数与函数的单调性 题型一:求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为( ) A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()y f x =的图象是( ) A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三:已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数,求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数,求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少? 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数,求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数,求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围。
函数的单调性和奇偶性典型例题
函数的单调性和奇偶性 例1(1)画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间. 解:函数图像如下图所示,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数. 评析函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上. (2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围. 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征. 解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x =1-a.因为在区间(-∞,1-a]上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-∞,4]上单调递减,对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a≥4,a≤-3. 评析这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合. 例2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=- (2)f(x)=(x-1). 解:(1)f(x)的定义域为R.因为 f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-f(x). 所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下: (1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)±f(x)=0是否成立,从而判断函数的奇偶性. 例3已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性. (2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论. 解:因为f(x)的定义域为R,又 f(-x)===f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数. 其证明:取x1<x2<0, f(x1)-f(x2)=- ==. 因为x1<x2<0,所以 x2-x1>0,x1+x2<0, x21+1>0,x22+1>0, 得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在(-∞,0)上为增函数. 评析奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反. 例4已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.
微专题30函数的单调性答案
微专题30 例题1 答案:(1){x|x >1,或x <-4}; (2)-2. 解析:∵f(x)是定义域为R 上的奇函数,∴f (-x )=-f (x ),令x =0,得f (0)=0,k -1=0,k =1. (1)∵f (1)>0,∴a -1a >0,又a >0且a ≠1,∴a >1,f (x )=a x -a -x ,∵f ′(x )=a x ln a +a -x ln a =(a x +a -x )ln a >0,∴f (x )在R 上为增函数(令解析:设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=(ax 2-ax 1)+])1()1[(21x x a a -,因为a >1,则ax 2-ax 1>0,21)1()1(x x a a ->0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,则f (x )在R 上为单调增函数).因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数,则不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0可化为f (x 2+2x )>f (4-x ),又f (x )在R 上为单调增函数,所以x 2+2x >4-x ,解得x <-4,或x >1,所以不等式的解集为{x |x >1,或x <-4}. (2)∵f (1)=32,∴a -1a =32,即2a 2-3a -2=0,∴a =2或a =-12 (舍去),∴g (x )=22x +2-2x -4(2x -2-x )=(2x -2-x )2-4(2x -2-x )+2.令t =2x -2-x (x ≥1),则t =2x -2-x (x ≥1)为增函数, 即t ≥21-2-1=32 .所以g (x )=h (t )=t 2-4t +2=(t -2)2-2≥-2(当t =2, x =log 2(1+2)时取等号).则g (x )在[1,+∞)上的最小值为-2. 例题2 答案:22. 解析:因为函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R ),所以4是函数f (x )的周期.则f (15)= f (4×4-1)=f (-1)=|211|+-=12,所以f (f (15))=f )2 1(=cos π4=22. 变式联想 变式1 答案:(1)略; (2)???a =-1,b =-2,或?????a =1,b =2;(3)当? ????a =1,b =2时,D =R ; 当?????a =-1,b =-2时,D =(0,+∞),或D =)7 5log ,(2-∞. 解析:(1)证明:当a =b =1时,f (x )=1-2x 1+2x +1 ,f (-1)=14,f (1)=-15,所以f (-1)≠-f (1),则f (x )不是奇函数.
高三数学 函数的单调性专题复习 教案
江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标: ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题. 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地,设函数()f x 的定义域为I : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间M 上具有_____________(区间M 称为____________)。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 (2)导数法 ①若()f x 在某个区间内可导,当'()0f x >时,()f x 为______函数;当 '()0f x <时,()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导,当()f x 在该区间上递增时,则'()f x ______0,当()f x 在 该区间上递减时,则'()f x ______0。 (3)利用函数的运算性质:如若(),()f x g x 为增函数,则①()()f x g x +为增函数; ②1 ()f x 为减函数(()0f x >);③()f x 为增函数(()0f x ≥);④()()f x g x 为增 函数(()0,()0f x g x >>);⑤()f x -为减函数。
专题函数单调性的证明
函数单调性的证明 函数的单调性需抓住单调性定义来证明,这是目前高一阶段唯一的方法。 一、证明方法步骤为: ① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x <2x ② 将()1f x 与()2f x 作差或作商(分母不为零) ③ 比较差值(商)与0(1)的大小 ④ 下结论,确定函数的单调性。 在做差比较时,我们常将差化为积讨论,常用因式分解(整式)、通分(分式)、有理化(无理式)、配方等手段。 二、常见的类型有两种: (一)已知函数的解析式: 例1:证明:函数()1=x-1 f x 在x ∈(1,+∞)单调递减 例2:证明:函数()3 =x +x+1x f x R 在∈时单调递增 例3:证明:函数()x [1+f x ∞∈,)时单调递增 例4:讨论函数()1=x+ 1+x-1 f x ∞在(,)的单调性,并求最小值 例5:求函数()x+2= x-1 f x 的单调区间
练习:1、证明函数()a =x+a 0x f x ∞(>)单调递增 2、讨论函数()f x 的单调性 (二)抽象函数的单调性: 抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用,同时,要注意选择作差还是作商,这一点可观察题意中()f x 与0比较,应作差;与1比较,应作商。如下三例: 例1:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立,且当x >0时,f (x )>0.证明:f (x )在R 上单调递增. 例2:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立,且当x >1时,f (x )>0.证明:f (x )在(0,+∞)上单调递增. 例3:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立,且当x >1时,f (x )> 1.若f (x )≠0.证明:f (x )在(0,+∞)上单调递增. 练习: 1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ,总有 ()()()()()2+=+y x 00=-.3 y 1f x f f x f x f ,且当>时,<; (1)求证:()f x 在R 上是减函数 (2)求()f x 在[-3,3]上的最大值与最小值
1.3.1函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 (1)12-=x y ; (2)322++-=x x y ; (3)2 )2(1-++=x x y ; (4)969622++++-=x x x x y 相应作业1:课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤:取值 作差变形 定号 下结论 ?取值,即_____________________________; ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等; ?定号,即____________________________________________________________; ④下结论,即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (1)证明:1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式: 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数; [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明:x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数; (3)证明:21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数; 法一: 作差 法二:作商